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et par suite

aura

tang (1+f sin 3). tang E' =

1 +f cos s tango+fo M. Lagrange cherche, par un procédé très-élégant , la différence Σ.

-o en série convergente, où la valeur du premier terme, dans les cas extrêmes, est moindre que is de seconde. Pour parvenir à cette conclusion par une voie plus élémentaire et plus courte, prenons le logarithme de chaque membre de l'équation précédente, et développons ; il viendra une série de la forme

log tang &' = log tango Kfcos stango+Kf'R Kf3S..., dans laquelle K=0,434294 est le module des Tables. Or le terme Kf cos s tanga, qui est le plus considérable de la série, acquiert la plus grande valeur lorsque cos s=1: soit donc

=5°; dans ce cas la quantité f ne pouvant surpasser tang 8“,5, puisque pour le soleil n=8“,5 à très - peu près, on

Kf tanga = 0,0000016, c'est-à-dire que le log tang, devrait être diminué de 0,0000016. Mais par hypothèse, tang o=tang 5°; d'où log tango=8,9419518; ainsi log tang E' ne différant de log tang o que de 0,0000016,

E' =r-0",06. Il est donc prouvé que dans les éclipses de Soleil, et à plus forte raison dans les passages de Vénus et .de Mercure sur cet astre, on peut toujours faire tang E' = tanga, sans craindre de jamais commettre une erreur de e de seconde de degré.

Enfin le même géomètre démontre que l'expression (M), quoique déjà fort réduite, peut cependant l'être davantage. Voyez la connaissance des Tems pour 1817, pag. 256.) En effet, d'après ce qui précède on a, par rapport au soleil,

m - real ut
p'— P'=

1 -
mmetry(I-14)(1424)-

1-24
m-(-1)

1 en négligeant les termes du second ordre comme étant extrêmement petits. Pareillement

il s'ensuit que

m

1

د س ]

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n

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ny

rol d'-Q=

1 ant

(4-4),

1-4 mais 1 différant toujours très-peu de l'unité, on peut supposer, dans le terme lt, que l=1; ainsi on a simplement m-M(-4

) p-P'a

4-Q= 1 - 2

Ipartant, l'équation (M) devient

V[m=r(4=»)*+n—14—)), (N) tang==

1-a laquelle donne la distance apparente des centres, avec une précision toujours très-suffisante, soit dans les éclipses de Soleil ou les passages des planètes sur son disque, soit dans les occultations des étoiles

par

la Lune. Dans ce dernier cas, l'on doit diriger l'axe des x" par l'étoile ou par le centre de la planète occultée, et alors on a = A, B =B; faisant donc a-A=t, b-B=u, les relations (b) (c) prendront la forme suivante, comme il est facile de s'en assurer,

ICOS u - 2sin? t cos B cos b
(6") m = sint cos b

n = sin u + esin? t sin B cos b
a = cos (g - A) cos B cos

ah
pe = sin (g - A) cos h
r = cos B sinh

- cos (g - A) sin B cosh, et l'on aura en outre 0 =0, s'il s'agit des étoiles.

9. Au commencement et à la fin d'une éclipse, les disques des astres paraissent en contact, et alors la distance apparente des centres est égale à la somme des demi-diamètres apparens. Ces diamètres apparens variant en général à différentes hauteurs des astres sur l'horizon, la somme dont il s'agit ne peut être rigoureusement la même que celle qui est déduite des Tables astronomiques ; mais la variation des diamètres apparens 'n'étant réellement sensible que pour la Lune, qui est l'astre le plus près de la Terre, on se borne à évaluer l'augmentation de son diamètre. Or si d est le demi-diamètre horizontal de la Lune, donné par les Tables , et d son demi-dianiètre apparent dans ụp instant quelconque; si, de plus, r et r' sont respectivement

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+ sin B

les distances du centre de cet astre au centre de la Terre et au lieu de l'observateur, on aura évidemment

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Reste à trouver l'expression du rapport. D'abord si on élève au carré chacune des équations (5), et qu'on fasse une somme des résultats, on aura

N'= 28 (cos (g-a) cos b cos h + sin b sin h] + 8, ou , en vertu de la 3° relation (d), et à cause de = sinx =*;

=1-24 (la + m + nytt.

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Si ensuite on néglige dans la formule (N) les très - petits termes rey et ot, ce qui est permis dans cette circonstance et qu'on ait égard aux relations citées, il viendra, après avoir développé, (1 - 14) tang s' = V(m Ref + n-out)

= V(1—1") + (1—14) — 24(mp +no), d'où l'on tire aisément ( 124) tango x + (1 - af) =1 - 24 la to mus + n) + ; ainsi

(lma).

i enfin

sin d cos E.

1-24 Cela posé, soit D le demi-diamètre horizontal du Soleil, donné par les Tables astronomiques ; on aura, au commencement comme à la fin de l'éclipse , =ď +D,

sin d' = sin E' cos D- - cos E' sin D; substituant cette valeur de sind dans la précédente, on obtiendra définitivement

sin d (P) tang E' = tang D

(1 - 11) cos D Cette formule et celle (N) donnent le moyen de calculer

= (1-— -f) séc E' =

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cos Σ'

sin d =

ou

toutes les circonstances d'une éclipse; mais afin de pouvoir y appliquer aisément les logarithmes, il est nécessaire de leur faire subir préalablement quelques transformations. C'est pour avoir voulu les traiter directement, que M. Lagrange a rendu sa solution numérique extrêmement pénible, et même rebutante, quand on veut l'appliquer aux occultations des étoiles.

Les bornes de cet ouvrage ne permettant pas de donner plus d'étendue au sujet actuel, nous renverrons à la connaissance des Tems pour 1818, où nous avons exposé, avec tous les détails convenables, les procédés les plus simples pour déterminer, à l'aide des formules ci-dessus, les erreurs des Tables lunaires et les longitudes terrestres.

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Note de M. TERQUEM sur la hauteur de la ville de Mayence au

dessus du niveau de l'Océan , déterminée par la formule barométrique de M. de Laplace.

Pour évaluer cette hauteur, j'ai fait usage de la formule suivante, calculée pour la latitude d'un demi-angle droit; 2 (t + ť)

h z = it

1+

5. (Voyez la Correspondance , tom. II, pag. 353 et la Mécanique de M. Poisson, tom. I, pag. 442 ). h hauteur moyenne du baromètre au niveau de l'Océan=0m,7629.

température moyenne au niveau de l'Océan = 12 centigr. h = hauteur moyenne du baromètre à Mayence =0",7496. ť = température moyenne de Mayence

= 99,925() Substituant ces valeurs dans l'expression de z qui est la hauteur cherchée, on trouve z = 148met, 238.

Les valeurs de h et de t sont celles dont M. Biot s'est servi dans son Astronomie physique. h' est le résultat moyen de 1800 observations, et t le résultat nioyen de 5600, toutes faites

par M. Anschel (*), savant médecin et professeur au Lycée de Mayence.

feu

(*) Enlevé aux sciences et à l'humanité dans la force de l'âge et de son talen! pendant la funeste contagion qui a désolé en 1814 la ville de Mayence. Aussi distingué par les qualités du coeur que par ses profondes connaissances dans Part de guérir , nion malheureux ami a été victime des soins désintéressés et périlleux qu'il prodiguait dans ces tems desastreux, à la classe indigente. Les regrets des gens de bien , et les larmes des pauvres l'ont suivi dans la tombe.

COS U =

cos 6=

Sur les lignes élastiques à double courbure ; par

M. POISSON. Nous aurons besoin, dans cet article, de connaître les angles que fait la perpendiculaire au plan osculateur d'une courbe , avec les trois axes des coordonnées. Pour les déterminer, soit

Ax' + By' + Cz' =D, l'équation de ce plan; appelons a, 6, y les angles demandés de sorte que nous ayons, par

les formules connues,

B
VA+B+C VA+B:+

C
COS

VA+B++C Soient aussi x, y, z les coordonnées du point de la courbe , auquel se rapporte le plan osculateur; comme il doit passer par ce point et par les deux points consécutifs de la même courbe, nous aurons ces trois équations de condition :

Ax + By + Cz = D,
Adr + Bdy + Cdz = 0,

Adox+ Bd'y + Cd z= 0; d'où l'on devra tirer les valeurs de A, B, C. Si l'on effectue l'élimination, et que, pour simplifier ces valeurs, on prenne la quantité D, qui est indéterminée, égale au dénominateur commun de A, B, C, on aura simplement 4=dzdy-dydoz, c=dydoc-dxdy, B=dcdocdzdc, et par conséquent dzd’y dydoz

dcdo2

cos 6 = K

K K dydoc-dady

i

K en faisant, pour abréger, (dzdạydydoz) + (dxdʻz-dzdʻx) + (dydox_dxdRy)' = K,

Maintenant considérons une ligne élastique dont les points soient tirés par des forces données, et qui soit en équilibre. Désignons cette courbe (sans qu'il soit nécessaire de faire la figure) par

dzdar

COS a

COS y =

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