AmB, de manière que A et B soient ses extrémités, et m un point quelconque répondant aux coordonnées x, y, z. Supposons que la partie mB de la courbe soit rendue inflexible et fixe, et que l'autre partie mA devienne seulement inflexible en conservant la liberté de tourner autour du point m: l'équilibre de la ligne entière devra encore subsister; par conséquent les forces données qui agissent sur la partie mA, et les forces d'élasticité qui ont lieu au point m, devront se faire équilibre autour de ce point fixe, ce qui exige que les sommes des momens de ces forces, pris par rapport à trois axes menés par le point m,' soient égales à zéro.

Or, l'élasticité au point m tend à produire deux effets distincts. D'abord, elle tend à remettre en ligne droite les deux élémens de la courbe qui aboutissent en ce point, ou plus généralement, si la forme naturelle de cette courbe n'est pas la ligne droite, l'élasticité tend à rendre à l'angle de contingence en m la valeur, plus grande ou plus petite, qu'il avait dans l'état naturel de la courbe. Ce premier effet peut être attribué à une force qui s'exerce dans le plan osculateur de la courbe au point m; appelons donc Ele moment de cette force, pris par rapport au point m. L'axe perpendiculaire à son plan fera avec ceux des coordonnées, les angles que nous venons de désigner par,,y; donc, puisque les momens des forces se décomposent suivant les mêmes lois que les forces elles-mêmes (*), il s'ensuit que ceux de la force que nous considérons, rapportés à des droites menées par le point m et parallèles aux axes des x, des y et des z, seront respectivement

u(dzd3y-dyd2z), u(dxd2z-dzdx), u(dyd2x-dxd3y). Lorsque la ligne élastique a été tordue sur elle-même, l'élasticité au point m tend à produire un second effet, qui consisterait à faire tourner la partie mobile mA de la courbe autour du prolongement indéfini de l'élément qui aboutit au point m, et qui appartient à la partie fixe Bm. Nous attribuerons ce second effet à une force qu'on peut appeler la torsion, et qui

(*) Voyez mon Traité de Mécanique, tom. Ier, pag 3. Nous entendons ici pat moment relatif à un axe, celui de la force projetée sur un plan perpendiculaire à

cet axe.

s'exerce dans un plan perpendiculaire à la tangente au point m. Soit son moment, pris par rapport à cette tangente; les cosinus des angles que cette droite fait avec les axes des x,

z sont

dx dy dz

ds' ds' ds

l'élément de la courbe étant représenté

par ds; par conséquent, les momens de la torsion, par rapport aux mêmes axes, seront

Enfin désignons par X, Y, Z les composantes des forces données qui agissent, suivant les x, y, z, sur le point de la courbe correspondant à ces coordonnées; la somme des momens, par rapport à l'axe des x, des forces semblables qui agissent sur la partie mA de ces courbes, sera donnée par l'intégrale f(zYyZ)dm, dans laquelle dm représente l'élément matériel de la courbe; et si l'on veut rapporter les momens de ces forces à la droite menée par le point m, parallèlement à l'axe des x, il est aisé de voir qu'il faudra ajouter à cette intégrale, la quantité yfZdm- zfYdm. On aura des résultats semblables relativement aux axes des y et des z; donc les sommes des momens des forces données, pris par rapport aux trois droites menées par le point m, parallèlement aux axes des x, y, z, seront exprimées par ces formules:

f(zY yZ)dmyfZdm zYdm 2
xz-zXdm + zfXdm -xfZdm,

(yX– xY)dm + xfYdm – yí Xdm..

Les six intégrales qu'elles contiennent sont censées renfermer chacune une constante arbitraire provenant des forces particulières qui peuvent être appliquées au point A.

En ajoutant maintenant les momens des forces données et des forces d'élasticité qui se rapportent au même axe, et égalant les sommes à zéro, nous aurons les trois équations d'équilibre de la ligne élastique à double courbure et tordue sur ellemême, savoir :

(1)

+ S(xZ — zX)dm + zfXdm-xfZdm = 0;

+ S(yX − xY)dm + xƒY&m — yfXdm

= 0.

Si l'on différentie ces équations, on aura

edx

dzd(ud3y) — dyd(ud3z) + d.+ dysZdm—dzfYdm = 0,

dxd(udaz) — dzd(ud°x) + d. edy+dz fXdm-dxfZdm=0,

ds

edz

dyd(ud2x) — dxd(ud3y) +d.- +dxfYdm-dyfXdm=0;

ds

et si l'on ajoute celles-ci, après les avoir multipliées resdx dy dz

pectivement par ds' as ds on aura

(dra.dx + dy a dy + dza. d.)

mais on a identiquement

ds

ds ds ds

=0;

d'où il résulte deo, équation qui montre que le moment de la force de torsion est une quantité constante dans toute l'étendue de la courbe élastique en équilibre..

Ainsi la torsion n'est point une force dont on puisse déterminer la loi par une hypothèse, comme on le fait ordinairement pour l'élasticité proprement dite. La torsion ne dépend ni de la forme de la courbe, ni des forces telles que la pesanteur ou d'autres qui agissent en tous ses points; elle est produite par une force appliquée à l'une ou l'autre extrémité, et dont le moment, par rapport à la tangente extrême, détermine la valeur de ; et cette quantité, une fois donnée, reste la même pour tous les autres points de la courbe, de manière que si l'on venait à couper la courbe en un point quelconque, il faudrait, pour l'empêcher de se détordre, employer une force dont le moment, par rapport à la tangente en ce point, serait égal au moment de la force extrême qui a produit la torsion. M. Binet a eu égard le premier à la torsion dont les courbes élastiques sont susceptibles (*); mais on n'avait point encore expliqué la nature de cette force, et montré que son moment est constant dans l'état d'équilibre. Lagrange a donné, dans la Mécanique analytique (**), des équations de la ligne élastique à double

(*) Journal de l'Ecole Polytechnique, 17e cahier, pag. 418 et suivantes, (**) Seconde édition, tom. 1er, pag. 154.

courbure, qu'il a trouvées par une analyse très-différente de la
nôtre, et qui reviennent cependant à nos équations (1), en y
supposant = 0.

En ajoutant ces trois équations, après les avoir multipliées
dx dy dz
ds' ds
la quantité u disparaît, et l'on a

par

et

ds

ds

• + dx. S(zY—yZ)dm+dy • S(xZ—zX)dm+dz

ds

ds

MyX-xYdm zdy—ydz.ƒXdm=0. (2)

La quantité u disparaîtrait encore, en ajoutant ces mêmes équa-
tions, après les avoir multipliées par ds' ds' ds
d2x d2y d2z
; suppo-
sant de plus ds constant, ce qui est permis et ce qui donne
dsd's="dxd2x + dyd3y + dzd3z = 0, on aura

dez

dax

·S(zY-yZ)dm+.(xZ-zX)dm+
ds

ds・ЛyX-xY)dm

.SYdm+

+yd2x-xd3y.ƒZdm+ xd2z-zd2x zd3y −yd3ż ƒXdm=0 ;

ds

ds

ds

mais cette équation est une suite de la précédente, comme il est facile de le vérifier, en différentiant celle-ci dans l'hypothèse de ds constant, et observant que de

E

K'

O.

Il résulte de là que pour déterminer la courbe élastique, on pourra prendre l'équation (2), jointe à l'une des équations (1), ou à telle combinaison qu'on voudra de ces trois équations, pourvu qu'elle renferme encore la variable u. Quant à cette quantité, on a u = et l'on suppose communément le moment E de l'élasticité au point m, proportionnel au carré de l'épaisseur de la courbe, multiplié par l'excès de l'angle de contingence qui a lieu en ce point dans l'état d'équilibre, sur celui qui avait lieu au même point dans l'état naturel de la courbe. Ces angles étant en raison inverse des rayons de courbure qui leur répondent, cette hypothèse revient à faire

a étant un coefficient qui dépend de la matière de la courbe,
son épaisseur au point m ,p son rayon
de courbure au même
point, et r celui qui avait lieu en ce point dans l'état naturel
de la courbe. Comme elle est supposée inextensible, il s'ensuit

que l'arcs, compté de l'extrémité A et aboutissant au point m; ne doit pas changer, quand la courbe est infléchie par les forces qui lui sont appliquées; ainsi le rayon r pourra être censé donné en fonction de s, dans chaque cas particulier. L'expression du rayon, dans une courbe quelconque, est p= la même signification que plus haut; on aura donc

ds3

K ayant K'

pour la valeur de u qu'il faudra substituer dans la seconde équation de la courbe élastique. L'intégration de ces deux équations simultanées est impossible en général, et l'on ne parvient à y séparer les variables que dans des cas très-particuliers et les plus simples qu'on puisse traiter.

Nous terminerons cet article par une remarque qui pourra être souvent utile. Lorsque, dans une question de Géométrie ou de Mécanique, tout est semblable par rapport aux trois axes des coordonnées x, y, z, et si l'on a une équation relative à l'un de ces axes, il existera des équations analogues qui se rapporteront aux deux autres, qui se déduiront de l'équation donnée par de simples permutations des variables x, y, z, et de toutes les autres quantités qui s'y rapportent; mais pour ne pas risquer de se tromper, et pour que les quantités analogues conservent la même signification et ne changent pas de signe, il faudra effectuer cette permutation d'une certaine manière que nous allons indiquer, et dont on concevra aisément la raison. On rangera les lettres x, y, z, et toutes celles qui leur répondent, de cette manière:

puis on remplacera chaque lettre de la ligne supérieure par celle qui se trouve au-dessous dans la ligne inférieure; de sorte que aille prendre la place de y, y celle de z, et z celle de x: l'équation donnée se changera, par cette permutation, en une autre qui se rapportera à un second axe; et en effectuant sur celle-ci la même permutation, on aura l'équation analogue par rapport au troisième axe. C'est ainsi, par exemple, que nous. avons déduit la troisième équation (1), qui se rapporte à l'axe des %, de la première, qui est relative à l'axe des x, et ensuite, par une seconde permutation, la seconde équation, de la troisième,