Assurons-nous par la différentiation par rapport à 4, que cette formule est aussi l'intégrale en 4. On trouve en effet

1_ {K(K®-{" ́1) x − l′′ (l sin↓+lcos↓) (Zsin↓+lcos↓) — l'K(¿ cos↓-l sin↓){l cos↓ – l'sin↓) } d↓

I

– l′′ (l sin ↓ + l'cos ↓ ) ]2+K2 (l cos ↓ I'sin)

expression qui se réduit à

↓)]

[(K 3 — l12) x — 7′′ (sin+l'cos +)]* + K * (l cos ↓ — l'sin ↓) qui est la partie relative à dans la formule (d).

Remettant pour x sa valeur, l'équation que nous cherchons, et qui est la sixième intégrale des équations du mouvement de rotation, est

Pour construire cette expression trigonométrique, je vais introduire les angles que la droite perpendiculaire au plan invariable fait avec les axes des coordonnées. Soient a, ß, y ces angles, on aura (voyez la mécanique de M. Poisson)

Appelons a l'angle formé par cette droite avec l'axe du corps, nous

Mals fc cos B

c'cos a)"

— cosy (c cos a + c'cos ß)

ecos - c'cos @

=

sin'y sin(c cos a + c'cos)" ;

d'ailleurs (c cosa + c'cos B)2 = ( cos a cos y coś ê ja.

On a donc (4) cette nouvelle expression, au lieu de la précédente(A)

donc le sinus de l'arc, dont (4) est la tangente, est égal à

cose-Cosy COS a

(cose-cosy cosa)(cosa-cosycose)+sin'ysin'

Or, si nous observons que est l'angle formé

par

cose-cosYcOS

siny sin a l'axe du corps

la

et l'axe fixe, y celui formé par l'axe fixe et l'axe du plan principal, a l'angle de l'axe du corps et de ce dernier axe, nous voyons par

COS Y COS W sin sin w

est le cosinus de

l'angle formé par le plan, qui passe par l'axe du plan principal et par l'axe fixe, avec le plan passant par la première de ces deux droites et par l'axe du corps; lequel angle est le même que celui que la trace du plan des xy, pris dans les corps sur le plan principal, fait avec l'intersection de ce plan avec le plan fixe des xy. Nommant le complément cet angle ↓', on a

dans le plan principal à partir d'une droite quelconque qui sera l'axe des x dans ce plan; mais de manière que cet angle augmentant, l'angle qui sera formé avec l'axe des y, augmente aussi. La correspondance à établir entre ce résultat final et celui qu'on obtient en suivant la marche de l'ouvrage cité, est trop simple pour que nous nous y arrêtions.

De l'angle de contingence d'une courbe à double courbure. (Question proposée à la thèse de licence, soutenue par M. RODRIGUES, le 29 novembre 1813.)

Cet angle est formé, comme on sait, par deux tangentes consé cutives à la courbe. Soient a, b, c les cosinus des angles que forme avec les axes la première de ces tangentes; a+da, b+db, c + dc seront ceux des angles que forme la tangente consécutive. Et si l'on appelle l'angle de contingence, on aura

cos &= a (a + da ) + b ( b + db) + c ( c + dc ); mais à cause qué les coordonnées sont rectangles, on a: a2 + b2 + c2 = 1,

оц

(a + da)2 + (b + db )2 + ( c + dc)2 = 1,
— 2 (ada + bdb + cdc) = da2 + áb2 + dc2;

de l'expression de cos, je tire

sin31⁄2 —— 2 (ada +bdb+cdc—(ada+bdb+cdc)=da2+db2+c2,

en négligeant les infinimens petits du quatrième ordre. Mais

dx 2

donc

sin' =

ds

dy

dz

ds

(d. da)2 + (d. 1)2 + (d. 1

ou prenant l'arc à la place du sinus

ds

dy

ds

2

dz

ds

=V (d.dz )2 + (d. dr )' + (d. 14)`';

ds

Sur la résistance qu'éprouve un point matériel assu jeti à se mouvoir sur une courbe donnée; par

M. RODRIGUES.

Appelons N cette résistance qui est dirigée normalement à la courbe donnée. Soient les angles que sa direction fait avec les axes des coordonnées. Cette résistance est, comme on-s n-sait, égale et directement opposée à la pression que le point exerce sur la courbe dans son mouvement. Les équations de ce mouvement sont

Je me propose ici de démontrer d'une manière purement analytique, que cette force N est égale et directement opposée à la résultante de deux forces normales à la courbe, l'une provenant des forces imprimées au mobile, et qui serait, dans l'état d'équi

libre, la pression que supporterait la courbe, l'autre due à la vitesse du mobile égale au carré de cette vitesse divisé par le rayon de courbure, et dirigée suivant ce rayon du dedans au dehors, tendant en effet à éloigner le mobile du centre de la courbure; et qu'on nomme pour cela force centrifuge.

Mais il est nécessaire de rappeler ici l'expression analytique des cosinus des angles que la direction de ce rayon fait avec les axes des coordonnées. Appelons, d', ♪ ces angles; a et les coordonnées du centre du cercle osculateur; r le rayon de ce cercle, on aura évidemment

et ces cosinus ainsi pris, appartiennent nécessairement au prolongement du rayon à partir de la courbe, et en dehors de sa concavité.

Maintenant on trouve par la théorie des osculations, qu'en posant l'élément ds de la courbe constant,

2, et par les valeurs précédentes de cos,

sont les composantes des forces normales imprimées au mobile : en effet, pour avoir ces composantes, il faut des composantes totales X, Y, Z, retrancher les composantes de la force tangentielle dx d's dy d's dz d's

d's

savoir:

ds dt2 ds dr ds dr

On voit donc

là

par que

les

composantes N cost, Ncos', Ncos", de la résistance N sont égales

2

et de signe contraire aux sommes des composantes cos,

X

dx d's
ds.dt

r

etc.; d'où il est clair que cette résistance est égale

et directement opposée à la résultante de deux forces normales à la courbe, l'une provenant des forces imprimées au mobile, et l'autre due à la vitesse du mobile, laquelle se mesure par le carré de cette vitesse divisé par le rayon de la courbure, et est dirigée suivant ce rayon du dedans de la courbe au dehors, de manière à éloigner le mobile du centre de courbure.