lindre sur un point de sa surface extérieure, on aura pour les points extérieurs; reste à déterminer K. Mais prenons l'équation (2) dans le cas du cylindre circulaire; elle donne l'intégrale étant prise depuis la valeur de r égale au rayon intérieur de la couche cylindrique; mais pour cette valeur de r l'attraction est nulle; ainsi on a seulement en désignant par A la portion de la section circulaire de la couche cylindrique comprise entre son rayon intérieur et le rayon r du point attiré. Si r=a on a dv 2A =K= dr a ainsi la formule relative aux points extérieurs est dv 2A A représentant la section circulaire de la couche cylindrique. Attraction des Ellipsoïdes. 5. Soient K, K', K" les trois axes d'un ellipsoïde homogène (nous supposerons la densité égale à 1), x, y, z les trois coordonnées de l'élément dm; nous aurons dmdxdydz, et Nous rendrons toutes les limites de cette intégrale triple indépendantes, par la transformation suivante : x = Kr cose, y K'rsine cosa, z = K′′r sine sin”. Les variables r, • et ✯ devant s'étendre depuis r=0 jusqu'à r1, depuis eo jusqu'à e, et depuis jusqu'à nous 27; nous aurons alors dxdydz =KK'K"rdr sin eded. Nous pouvons donner à cet élément une autre expression qui sera fort utile. Considérons la couche elliptique dont la surface intérieure aurait pour équation Soit l'épaisseur de cette couche, de l'élément superficiel correspondant pris sur sa surface; on aura dxdydz=eds. Soient X, Y, Z les cosinus des angles que fait avec les axes des coordonnées la normale à la surface intérieure de la couche, dx, dy, dz les différentielles des coordonnées, en ne faisant varier que le paramètre r; nous aurons + = Xdr + Ydy + Zdz. On calcule aisément cette formule, et l'on trouve Appelons M la masse de l'ellipsoïde, qui est égale, comme on sait, à πKK'K", et faisons VMZ; nous aurons Différentions cette équation par rapport aux axes K, K', K", et désignons ces différentielles par la caractéristique. Or nous Mais _KK'K"r dr sin ededw=ids2, X=7drK2 › Z=rdrk" résultats aisés à tirer de ce qui précède. On aura donc La seconde de ces intégrales représente la somme de tous les élémens de la surface dont l'équation est multipliés chacun par le cosinus de l'angle qui forme la normale dirigée du dedans au dehors, avec le rayon mené au point attiré et divisés par le carré de ce rayon. Or on prouve aisément qu'une pareille somme est nulle ou égale à 4′′, pour une surface quelconque fermée, selon que le point qui est l'origine des rayons est à l'extérieur ou à l'intérieur de la surface (*). (*) L'élément ( x − a) X + ( y − b ) Y+(z — c) Z 3 ·ds n'est autre chose [ ( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 ]2 que celui de la surface d'une sphère d'un rayon égal à 1, dont le centre serait au point qui a pour coordonnées a, b, c, Soit u = o l'équation de la surface, on a le signe de l'expression de l'élément dont il s'agit sera le même que celui de la quantité Par conséquent, si le point attiré est extérieur à l'ellipsoïde, nous aurons &Z=o, l'intégrale multipliée par rdr étant nulle pour toutes les valeurs de r, ainsi «La fonction calculée pour les points extérieurs à l'el M' "lipsoïde, ne dépend que des excentricités de cet ellipsoïde. » Mais si le point attiré est dans l'intérieur de l'ellipsoïde, et situé sur une surface dont l'équation soit L'intégrale multipliée par rdr ne sera nulle que pour toutes les valeurs de r moindres que r', et sera égale à 47 pour toutes les autres; intégrant donc depuis rr jusqu'à r=1, Pour intégrer ces expressions, j'observe que Z et ses dérivées doivent être nulles pour K = . Représentons, pour plus de clarté, par h, h', h" les axes de l'ellipsoïde, et faisons Soient ri, ra, r3 les racines réelles de l'équation u transformée. Ces racines étant rangées par ordre de grandeur. On sait que sera alternativement po du dr sitif ou négatif, lorsqu'on fera successivement r=11, r=r2, etc... Si donc le nombre des valeurs de r est pair, la somme des élémens que nous considérons sera nulle pour chaque valeur de et de 9. L'intégrale entière sera donc nulle. La surface étant fermée, c'est bien le cas où le point aux coordonnées a, b, c est extérieur. Si au contraire ce point est intérieur, le nombre des valeurs de r sera impair, et alors la somme des mêmes élémens sera positive et égale à un seul d'entr'eux. L'intégrale entière prise pour toutes les valeurs de et de sera donc égale à 47, surface d'une sphère d'un rayon égal à 1. |