grions ensuite depuis jusqu'à μ=+1, il viendra ment, fournira un résultat qui ne différera de celui-ci que par le signe de m. La comparaison de ces deux résultats donne, lorsque m et m' sont différens, Si mm', on a successivement, en faisant p+1=n, = (m+n—1)(m+n—2)/(2—4°)0—2 (da 2Rm)"dμ; et de là, etc.... S(1—μ2) (dRm )*dμ = (m +1)m SR*„de, S(1—μ3)" (d'Em)*dp=(m—n+1)(m—n+2) ... ... .... ....m+n. ƒRo„Îμn (m-n+1)(m-n+2)...(m+n). (1.2.3...m)2 2+1 Cela posé, considérons l'intégrale double fZmYmduda, prise depuis 1 jusqu'à μ—+1, et depuis o jusqu'à ☎ =2′′ Ym étant une fonction de même forme que Zm, ensorte que m/ Si l'on a égard aux théorèmes (14) et (15), et aux résultats suivans : f sin pa sin qw da = 0, f sin pa cos qa. da = 0, S sin pa cos pa .da = 0, fsin'pada = cos2pwdw=x, on verra que si m et m' sont différens, SZmYm/duda=0, et par suite, ƒZmdμda = 0, (A) a(n) + B(n)b(n)) (m—n+1.m-n+2...m+n), le signe s'étendant depuis no jusqu'à n=m, et le premier terme de la somme Aa + Bb devant être remplacé par 2Bb. Si Zm=T(m) et qu'on substitue pour B(") et A") leurs valeurs données plus haut, on trouve ce théorème bien remarquable, I'm étant ce que devient Y en accentuant, ou bien, Formules pour l'attraction des sphéroïdes infiniment peu différens d'une sphère. 14. Supposons d'abord le point attiré extérieur au sphéroïde, et ce sphéroïde homogène, faisons p1. Soit r = a(1+ay') l'équation de sa surface, étant un très-petit coefficient dont nous négligerons le carré. Cela posé, nous aurons la valeur de par la série (4), dans laquelle V(m) = ƒ F(m),'m+2dr'du'da', Intégrant par rapport à r', depuis r'=o jusqu'à r'=a(1+ay'),' on trouve 1 V (m) = ST(m)am+3 (— — 3+ ay')du'da'. Si m=0, T=1, V(0) = ‡ xa3 + a3aƒy'dμ'da̸' ; en général, ST(1) dμ'da̸' = 0, et V (m) = am+3u ƒ T(m)y'du'da'. Faisons QST(m)y'dμ'dw', nous aurons yne contenant que V(m) = am+3α Qm• et a', et Tm) étant une fonction en tière et rationnelle des trois quantités μ, V1 —μ2 cosa, Visina, Q'm le sera de tion (9). De cette valeur générale de même et satisfera à l'équa (m), on tire Le premier terme est, comme on voit, l'attraction d'une sphère d'un rayon égal à a, et les autres sont de l'ordre. Les deux autres composantes de l'attraction du sphéroïde seraient aussi du même ordre, d'où il résulte qu'au carré près de «, toute dr l'attraction est exprimée dr· Si le point attiré est à la surface du sphéroïde, alors r = a(1+ay), y étant ce que devient y' lorsqu'on y change eten μ et a et les formules sont alors y = dv a2(1 — eу) + a2a(Q。 + Q1 + Q2....) dr = } xa (1—2αy) + aa (Qo +2Q1 +3Q2............). · 15. Traitons directement ce cas particulier. Nous avons v=f'r'd!'dpd=' w2=r°—2rr'[μμ + √ 1—μ° V/ 1—μ'"*cos(≈′- =)] dv 'r'dr'du'da' dr Cette intégrale doit être prise depuis rc jusqu'à r'=a, et ensuite depuis r'= a jusqu'à 1'=a(1+ay'). La première in tégration suppose a nul; mais alors V— πα = dv παλ dr = $ ensorte que la première partie de l'intégrale est égale à παλ Le reste de l'autre est égal, aux infiniment petits près de l'ordre 'y'du'da' et En prenant le rayon r pour origine des μ', on a u2—a2—2μ'ar+r3, 'du'da' y'du'da' 43 Posons art, t<1, le reste de l'intégrale cherchée sera Or t=1, aux quantités près de l'ordre, de sorte que cette quantité sera évidemment du premier ordre en a, tant que sera sensiblement différent de 1, ou, ce qui revient au même, tant que différera sensiblement de y. Nous pouvons donc supposer toujours y=y; mais alors Mettant pour r sa valeur a(1+ay), et observant que.... =a, aux quantités près de l'ordre a, on trouve Substituant dans cette équation les valeurs de V et de données plus haut, on en tire 4xy = Q +3Q1 + 5Q2 + etc...........(2m+1) Qm• • • Ainsi y se trouve essentiellement développé en une série de la y = Y + Y1+Y2, forme Ym étant une fonction entière et rationnelle des trois quantités μ, VIμcos, VI-μ satisfaisant à l'équation (9). Mais alors on a Qm=ST(m)y'du'da 4; et comme, par ce = 2m+1 que nous avons vu sur les fonctions telles que TmYm En prenant pour a le rayon de la sphère égale en solidité au sphéroïde, et pour origine son centre de gravité, Y. et Y, sont nuls. (Mécanique Céleste.) Lorsqu'on connaîtra d'avance le développement de y, ces formules seront employables immédiatement. Mais dans le cas contraire, elles n'auront aucun avantage sur les précédentes, puisqu'on ne pourra calculer Yo, Y., etc. que par les intégrales doubles Tm)y'duda, etc. Je termine ici mon Mémoire; tout ce qui reste à dire se trouve dans la Mécanique Céleste, et je n'aurais rien à y changer; je me bornerai seulement aux observations suivantes. Les séries (4) et (5) peuvent s'appliquer à des corps quelconques et fournir une théorie de leurs attractions, pourvu qu'elles ne cessent pas d'être convergentes, et j'ai montré en quoi consistait leur convergence ou leur divergence. On trouve dans la Mécanique Céleste deux théorèmes généraux, l'un sur les solides de révolution, l'autre sur les solides symétriques par rapport à trois axes, basés sur la considération de ces séries et sur les propriétés des fonctions Zm relatives aux intégrales doubles. Pour que ces théorèmes soient certains, il faut ne les appliquer qu'à des corps pour lesquels les séries employées soient essentiellement convergentes, et de plus, qu'à des corps continus; car les propriétés des fonctions Zm relatives aux intégrales doubles, supposent les intégrales prises dans toute l'étendue des variables et ', ce qui ne pourrait plus avoir lieu si la forme du rayon changeait brusquement dans l'intervalle des limites de ces variables. |