GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Note sur les tangentes aux sections planes de la surface engendrée par une ligne droite; par M. HACHETTE.

J'ai démontré, dans le Supplément de la Géométrie descriptive de Monge (pag. 50, art. 58 et 59), que la surface la plus générale engendrée par la ligne droite, était touchée, suivant une génératrice, par une surface du même genre, que nous avons nommée hyperboloïde à une nappe, et qui jouit de cette propriété, qu'elle peut être engendrée par une ligne droite, de deux manières différentes, ensorte que le plan qui touche cette surface en un point, est déterminé par les deux droites qui se croisent en ce point. J'ai fait voir qu'on pouvait prendre pour directrices de la génératrice de l'hyperboloide, trois droites menées dans les plans qui touchent la surface générale en trois points quelconques de la génératrice commune aux deux surfaces. Si l'on considère le point de cette génératrice qui appartient à une section plane de la surface générale, la tangente en ce point de la section, est évidemment la droite d'intersection du plan de la section et du plan tangent à l'hyperboloïde. Les droites directrices de la génératrice de l'hyperboloïde étant seule ment assujéties aux conditions de passer par trois points en ligne droite de la surface générale, et d'être menées dans les plans tangens en ces mêmes points, l'objet de cette note est de faire remarquer qu'on peut prendre pour les directrices, des droites parallèles au plan de la section de la surface générale; alors l'hyperboloïde à une nappe devient le paraboloïde hyperbolique, et la tangente à la section est nécessairement une droite de ce paraboloide. On déduit de cette considération un moyen trèssimple de mener les tangentes aux sections planes de plusieurs surfaces gauches employées dans la coupe des pierres, et notamment de celle qu'on engendre en prenant pour directrices de la droite mobile, deux cercles situés dans des plans parallèles, et une perpendiculaire à ces plans. Les petites voûtes qu'on nomme biais passé, arrière-voussure de Marseille, sont terminées par une surface de ce genre, dont les sections verticales forment les têtes de quelques-uns de leurs voussoirs. On construira facilement les tangentes de ces sections, par la méthode que nous venons d'indiquer, et qui se réduit à trouver une seule position de la génératrice du paraboloïde tangent à la surface gauche, qui termine la voûte.

Recherches sur un Jeu de combinaisons; par C. J. BRIANCHON, Capitaine d'artillerie, Adjoint au Directeur-général des manufactures d'armes.

(Art. 1.) Les n billets, ou numéros, A, E, I, O,....U, dont se compose une loterie, étant tirés secrètement, et au hasard, par une société de n personnes, qui, chacune, en prennent un: nous allons faire voir par quel artifice on peut obtenir une certaine donnée, qui, seule, décèle tout le mystère de cette répartition et permet d'assigner ce qui est échu à chacun.

(Art. 2.)

Après cette dernière opération, faite en votre absence, vous trouvez que, des D jetons que vous aviez laissés, il n'en reste plus que d. La connaissance seule de ce nombre d va nous conduire à la solution du problème.

3. En effet le produit 1 X2 X3......Xn=m, exprimant de combien de manières différentes on peut distribuer n choses entren individus, D-d n'est susceptible que de m valeurs dont on figurera le tableau en parcourant successivement tous les changemens d'ordre que peuvent subir les billets entre les sociétaires. Ainsi, la première de ces valeurs étant

K'J' + K"J" +......+K"J",

on formera les m1 autres en laissant à leurs places les coefficiens K, et en permutant les lettres J jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les arrangemens qu'elles peuvent avoir; d'où l'on voit que chaque expression algébrique de D-d se composera de la somme des n coefficiens K, ordonnés selon leurs accens et multipliés, chacun , par l'un des termes J. Ce tableau, que, pour abréger, nous désignerons par T, indiquera, d'une part, tous les cas possibles de la répartition des n numéros; de l'autre, il exprimera les relations qui lient la variable d aux constantes J, K, D.

Or, comme on est maître de ces dernières, on les choisira telles, que de toutes les valeurs résultantes de D-d, il n'y en ait pas deux qui soient numériquement égales. Par ce moyen, aussitôt qu'on sait quelle est la quantité d de jetons restans

il suffit de jeter les yeux sur la formule T' pour conclure quelle est la disposition des billets à l'égard des personnes.

4. Voici maintenant une méthode pour faire ce choix convenable des constantes.

Si l'on prend deux à deux toutes les expressions de D-d,

en les soustrayant l'une de l'autre, on obtiendra

m(m-1) dif

2

férences dont aucune ne devra s'annuler lorsqu'on y remplacera les signes Jet K par les nombres qu'ils représentent, et toute hypothèse qui ferait évanouir une seule de ces différences ne serait pas admissible.

Donc, si l'on égale à zéro toutes les différences ainsi formées, et qu'on traite séparément chacune des équations résultantes, en y regardant comme variables celles des inconnues J et K qu'elle contient, l'ensemble de toutes les racines entières et positives de ces équations individuelles fera connaître les séries de nombres qu'il faut exclure dans les suppositions à faire sur ces inconnues. La difficulté se trouve ainsi ramènée à une discussion régulière d'analyse indéterminée.

5. Tout étant symétrique en J et K, lorsqu'on aura fixé les nombres on sera maître d'intervertir l'ordre des termes de cha' K

J

cune de ces deux suites, ou même de les substituer l'une à l'autre, sans que, pour cela, elles cessent d'être applicables, et sans qu'aucune des équations soit vérifiée. 6. Parmi ces équations, il s'en (Ja — J ̃) ( KY —K) = o, et celles - là sont n(n-1)]; elles n'apprennent rien sur les valeurs abso

il s'en trouve de la forme

2

en nombre

lues des quantités cherchées, mais elles montrent qu'on ne peut J tels qu'il n'y résoudre la question qu'en prenant les termes

en ait pas deux qui soient égaux.

K

7. Telles sont les conditions générales auxquelles sont assu→ jetties les 2n constantes J, K. Quant à D, qui du reste est arbitraire, il est évident que, pour chaque solution, il doit être au moins égal à la plus grande des valeurs numériques de D-d.

8. On peut égaler à zéro l'un des termes J, et en même tems l'un de ceux K, sans que T perde la propriété d'indiquer les arrangemens qui répondent aux valeurs données de Dd. Il est aisé de se rendre compte de ce fait en obserdès qu'on connaît les lots de n - 1 actionnaires, ou

vant que,

les rangs de n-1 billets, il n'y a plus d'incertitude sur le sort du n nème

9. La manière dont sont composées les équations mentionnées ci-dessus, montre, d'une part, que, si on veut limiter la multitude des solutions que comporte le problème, on peut disposer J à volonté de tous les termes de l'un des systèmes

K'

en s'astreignant toutefois à les prendre différens entr'eux (§ 6); de l'autre, elle fait voir que si, à l'un de ces systèmes, on substitue, dans un ordre quelconque, les termes consécutifs d'une progression par différence, le nombre des équations se réduit à moitié. Nous remplacerons donc chaque coefficient K par l'un des n termes de cette progression

0, 1, 2, 3,..... .72- 1;

toutes les équations s'abaissent alors d'un degré et deviennent linéaires.

2 autres sont

10. Reste à statuer sur les quantités J, dont deux quelconques, J' et J", par exemple, sont arbitraires, mais qui, toutes, doivent être distinctes (§ 6); les limites inférieures des n des fonctions de n; et on en facilite beaucoup la recherche J en supposant d'abord que, dans chaque système les lettres K' affectées des plus forts exposans représentent les plus grands nombres. D'après cette convention, faisant Jo (§ 8), J" 1, on reconnaît que, de toutes les valeurs de J" qu'il faut exclure, la plus haute est donnée par l'équation

J' (K"—K") + J" (K”— K') + J"(K'— K") = 0, dont la racine est n-1. Donc J"n est admissible. De même, la limite inférieure de Jv se tire de J'′ (K'—K")+J" (K"—K")+J"(K"—K')+J11(K"—K") dont la racine est 1+n(n-1); d'où J1v=2+n(n−1)· En poursuivant, on trouve que

=0

J'(K'—K") + J" (K"—K") + J"(K1—K")+J1(K"—K') { +J(K"-K1)=0

conduit à J'— 2n + (n − 1) [2+n(n−1)], et

J' (K'—K") + J" (K"—K") + J"(K"—K") + J1(K'—K1) +J'(K”—K') + J11(K1—K') = =0 àJ=n+2+(n-1)+(n-1){an+(n−1)[a+n(n−1)]}

Ainsi des autres.

11. En adoptant ainsi une solution particulière, le tableau T peut être réduit au système des permutations des numéros, disposées selon la progression des valeurs de d, avec lesquelles elles sont appariées. Ces deux suites conjuguées, dont l'une est littérale et l'autre numérique, retraceront au premier coup d'œil toutes les circonstances du tirage des billets.

Et, puisqu'il suffit de connaître les lots de n- 1 partenaires, on pourra supprimer la dernière lettre de chacun des groupes de la première série, qui, ne présentant plus alors que l'ensemble des combinaisons n -1 à n—1 des n numéros, donnera tous les arrangemens que peuvent prendre les billets à l'égard des n-1 premières personnes.

Nous allons appliquer cette théorie à quelques exemples qui fourniront autant de théorèmes particuliers propres à faire découvrir, par une seule interrogation, comment 3, 4, 5;.. choses quelconques ont été réparties entre 3, 4, 5,

Et, comme on est maître de transposer les termes (§ 5), nous prendrons

J'=1, J"=3, J"o, et, K=1, K"=2, K"=0.

Le maximum de D-d est alors égal à 7. Posant donc D=8 (7), il vient, pour les six valeurs de d, classées par ordre de grandeur,

2, 3, 5, 6,

7,

et les combinaisons des trois billets, pris deux à deux (§ 11), sont respectivement

AE, IE, EA, IA, EI, AI;

d'où l'on tire cette règle : « Pour deviner comment trois numé"ros, A, E, I, ou trois objets quelconques, ont été distri» bués à trois individus,

le nombre

» Cela fait, demandez ce qu'il reste des huit jetons;