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» qu'on accusera étant nécessairement un de ceux que renferme T, » cherchez au tableau la permutation correspondante, et vous » saurez quel numéro chacun a pris. »

Je suppose qu'il reste cinq jetons. Le groupe IA placé, dans l'index T, en regard du nombre 5, m'apprend que, dans ce cas, les billets I, A sont tombés en partage aux première et deuxième personnes, respectivement,

Cette récréation mathématique est connue sous le noih de Tour des trois bijour. On peut en varier l'exécution d'une infinité de manières, en modifiant convenablement les nombres J, K, D.

Pour jeter plus de merveilleux sur cette ingénieuse divination, et aussi pour soulager la mémoire, on a imaginé de lier les six couples de voyelles AE IE

EA IA EI AI par ce vers hexamètre :

L'ART DE LIRE CELA DIRA CE QU'IL A PRIS, scandé

par
la série :
3 5 6

7. Cet artifice de Mnémonique réduit le tableau à une formule mentale qui ne laisse aucune prise à la pénétration des spectateurs. (Art. 13.) J...0, 1, 4, 14

J=1, J" = 4, J"=14, Jo n = 4, série

D= 52.
K... 0, 1, 2, 3

K'=I, K"=1, K"=3, K"=0
T.

1

2

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Que, par exemple, 17 soit le nombre de jetons restans : le groupe IAE dénote que, dans ce cas, les numéros I, A, E sont échus aux première, deuxième et troisième personnes, respectivement. (Art. 14.) 11...0,1,5,22,98

. J' =1, J"=5,7"=22,7"=98,7' = n=5, système

D=470. \K..0,1,2, 3, 4 K'=1,K"=2,K"= 3,K"=1,K"=0

T.

26

29

134.

140

ITO

178

199

207

304

349

359

374.

18 AEIO, , UEIO , Exio, valo, EUIO, AUIO, AIEO, VEO,

31
33

43 IAEO, VAŁO, IUEO, AUEO, EIXO, UIAO, IEAO, UEÃO,

, , IUÃO, EURO, EIUO, Aluo, EuO, AỆUO, IAų, Exto, AĒDI, VÉOI, EÂOI, UAOI, EUOI, AUDI, AVEI, UOEI, 123 127. 128 131 132

144 OAEI, UAEI, QUEI, AUEI, EOAI, UOẢI, OEAI, UEAI,

150 152 154 155 162 165 167 169 OUAI, EUAI; EOUI, AOUI, OEUI, AEUI, OAÚI, EAMI, 171

181 183 185 187 188 AIDE, UIOE, AOE, UAOE, IUOE, AUOE, AOIE, UOIE, 203 204

229
232 233

237 OAIE, UAIE, QUIE, AUIE, IOAE, UOAE, OIAE, UIAE,

248 249 251 253 255 258 265 266 QUAE, IUAE, IQUE, AQUE, QIUE, AIUE, DAUE, LAUE, 267 269 271

274
281 282

284

286 EIOA, UIOA, IEÓA, UEOA, ĮUOA, EUOA, EOI), UOIA, 292 296 302

305

308 309 313 OEIA, VEÍA, QUIA, EUIA, IOEA, UOEA, OIEX, VIEA , 324 325

350 353 355 358 QUEA, IUEA, IOUX, EQUA, OIUA, EIUA, OEUA, IEUA, 365 366 369. 371

375 382 383 EIOU, AIOU, IEOU, AEOU, IAOU, EAQU, EOIU, AOIU, 390 393 395 397 403 405 407

410 OEIU, AEIU, CAIU, EAIU, IOEU, ADEU, OIEU, ATEU,

417 418 425 426 429 431 434 435 OAEU, IAEU, ĻOAU, EOAU, OIAU, EIĄU, OEAU, IEAU.

Prenons que, des 470 jetons, il n'en reste que 87; les billets A, U, 0, I sont alors entre les mains des première, deuxième, troisième et quatrième personnes , respectivement; conséquemment, la cinquième est en possession du billet E.

15. La personne qui exécute le tour doit être secrètement munie du tableau T, qui est la clef de l'opération. Il est facile de donner à ce tableau une forme telle qu'on puisse le consulter ostensiblement sans que l'assemblée en découvre le sens. Dans tous les cas, une seule interrogation fera discerner l'arrangement de billets qui a eu lieu.

Au-delà de cinq numéros, la complication des calculs rendrait impraticable ce jeu de combinaison. Telle sera donc la limite de nos recherches. Il nous suffit d'avoir prouvé que, pour toutes les valeurs de n, la difficulté est accessible et résoluble; ensorte que, par exemple, pour n=12., au milieu de plus de quatre cent millions d'événemens, tous également possibles on démêlera le véritable, à l'aide seulement du nombre d, qui est l'unique donnée du problème.

.

ou

ou

GÉOMÉTRIE. Théorème. Si l'on construit la développante d'un arc de cercle, puis la développante de cette développante, et ainsi de suite ; la série infinie, composée de l'arc de cercle et de ses développantes successives, peut être sommée par un arc fini de spirale logarithmique.

Demonstration. Soient t et u les coordonnées polaires d'un point de la spirale logarithmique dont l'équation est t=lou, u=e', i étant un arc du rayon i, u le rayon vecteur correspondant à t, et e la base des logarithmes Nepériens. On a pour l'équation différentielle de la spirale :

udt

du et pour l'élément de cette courbe,

Vuodt + du", duva, dont l'intégrale est uvo + const. Quand l'arc de spirale est nul, u=i, et le rayon de courbure = V2. (Voyez le Traité du grand Calcul différentiel de M. Lacroix, page 483, et l'article de M. Poinsot , page 131 de ce volume de la Correspondance ). D'où il suit que la constante égale V2, et que l'arc fini de spirale logarithmique correspondant à l'arc de cercle t, est

(u — 1)V2, (es — 1)V2. Mais on sait (Voyez l'article de M. Poinsot, page 245 du premier volume de la Correspondance ) qu'en nommant t un arc de cercle du rayon 1; ť, t", 1".... les développantes successives,

t + t + " + tu..... + etc. = e'- 1; d'où il suit que cette somme est égale au quotient qu'on obtient en divisant par V7, ou par le rayon de courbure de la spirale qui correspond au rayon vecteur i, l'arc de spirale logarithmique compris entre les rayons vecteurs qui passent par extrémités de l'arc de cercle t. ( Cet article est extrait d'un Mémoire de M. Dubois-Aimé, ancien élève , membre de la Commission d'Egypte. )

Théorème. Si, par un point donné, on mène trois plans perpendiculaires entr'eux, qui coupent la surface d'une sphère , la sonime des aires des trois sections circulaires sera constante, quelle que soit la position des plans coupans,

ou

on

а

les

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Démonstration. Soient x', y', z les coordonnées du point donné rapportées à trois plans rectangulaires parallèles aux trois plans coupans , et x2 + y + z = R' l'équation de la sphère; les équations des plans coupans seront

y = y', z = Z'. Les rayons r, r', r" des sections circulaires ont pour expressions : m = VR- x??,

VR-y's m = V R-2". la somme des aires est, en appelant « le rapport de la circonférence au diamètre,

(++1), ou «[3Ro (x's + y's + 2)], quantité constante qui exprime l'aire d'un cercle dont le rayon est

VZR — (x" + y + z?). ( Ce théorème est extrait de la Géométrie de position , pag. 167.)

Propriétés des surfaces du second degré; par

M. FREGIER, ancier élève. M. Fregier résout d'abord ce problème :

« Avec une équerre pour tout instrument, mener une tan» gente à une section conique , par un point pris sur la courbe. »

Il fait passer par le point de contact deux droites quelconques perpendiculaires entr'elles, et il suppose que le point de contact étant fixe, les deux droites tournent autour de ce point; chaque couple de droites rencontre la courbe en deux points, par lesquels on mène une corde. On prouve que, toutes les cordes déterminées de la même manière, viennent se couper en un selil point qui est sur la normale. La normale étant connue, la tangente l'est aussi.

Cette proposition a son analogue pour les surfaces du second degré, ce qui donne lieu au théorème suivant :

Trois droites rectangulaires se meuvent dans une surface du second degré, en se coupant toujours sur un point fixe de cette surface ; les plans menés par les intersections déterminées sur la même surface par chaque système de droites rectangulaires , viennent concourir en un point ; le sommet du cône circonscrit suivant la courbe déterminée par chacun de ces plans, engendre une surface plane.

M. de Stainville, Répétiteur-Adjoint à l'Ecole Polytechnique, et M. Lambert, Professeur de Mathématiques au Lycée de Bourges, ont envoyé plusieurs articles intéressans, qui ne pourront paraître que dans les prochains cahiers de la Correspondance.

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S II. SCIENCES PHYSIQUES. Rapport fait à l'Institut, par M. Poisson, sur un

moire de M. Hacuette, relatif à l'écoulement des fluides par des orifices en minces parois , et par des ajutages appliqués à ces orifices.

Le travail de M. Hachette peut être divisé en trois parties : l'une a pour objet de mesurer la contraction de la veine fluide dans le cas d'une mince paroi; l'autre traite de la cause des singuliers phénomènes que présentent les ajutages cylindriques ou coniques; enfin dans la troisième, l'auteur décrit la figure de la veine fluide, et les variations qu'elle éprouve pour différentes formes de l'orifice. Nous ne nous arrêterons pas à faire sentir toute l'importance de ces diverses questions, soit dans la pratique, soit par rapport à la théorie de l'écoulement des fluides; et sans autre préambule, nous allons analyser successivement les trois parties du Mémoire que la Classe à renvoyé à notre examen.

PREMIÈRE PARTIE. Contraction de la Veine fluide. L'auteur examine d'abord si la figure de l'orifice en mince paroi influe sur la quantité de l'écoulement en un tems donné. C'est un principe généralement admis qu'à pression égale et l'aire de l'orifice restant la même, la dépense ne varie pas. M. Hachette en vérifie l'exactitude dans le cas où l'orifice est circulaire , trian, gulaire, elliptique, ou formé d'un arc de cercle et de deux lignes droites; mais il trouve des produits très-différens en plus ou en moins, lorsque le contour de l'orifice présente des angles rentrans; ce qui apporte une modification importante au principe que nous citons. Il considère ensuite d'une manière spéciale, le cas d'un orifice circulaire. Si le plan dans lequel il est percé n'est pas horizontal, la veine fluide forme une courbe qui doit être une parabole, correspondante à une certaine vitesse initiale que l'auteur a déterminée par des mesures directes. A partir de l'endroit de la plus grande contraction, l'épaisseur devient constante dans une grande étendue, c'est-à-dire jusqu'à ce que le jet, en se mêlant à l'air, finisse par se déformer ; dans cette étendue les molécules fluides décrivent toutes la même courbe, et la veine ressemble à un cristal parfaitement pur que l'on croirait immobile : il a donc été facile de mesurer les abscisses et les ordonnées de différens' points d'un même filet, et par la comparaison de ces mesures, l'auteur a reconnu que la courbe fluide ne s'écarte pas

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