tube en ce point sera parallèle à l'élément de l'hélice (ce, c'e') au point (m, n); donc, si le niveau des eaux passe par le point (c, c), ou au-dessus de ce point, cet arc d'hélice ce, cle", contenant l'eau, sera le plus grand possible; mais il peut arriver que l'arc d'hélice correspondant à l'arc de cercle que l'orifice inférieur du tube décrit au-dessus du niveau des eaux, et qui se remplit d'air, ne soit pas égal en développement à la portion d'hélice (ce, c"e"): dans ce cas (III), on n'élevera pas à chaque révolution de la vis, une portion d'eau égale à celle dont cet arc est capable. Le maximum d'effet de la vis dépend donc du rapport entre une portion d'hélice, dont la limite est déterminée par l'inclinaison du tube héliçoïde, et la portion d'arc de cercle décrit par l'orifice inférieur du tube au-dessus du niveau des eaux.

Note sur la vis d'Archimède; par M. NAVIER ingénieur des ponts et chaussées.

La vis d'Archimède est une des machines les plus propres à piquer la curiosité, et sur la nature de laquelle il est le plus difficile de se former des notions exactes. Sa théorie a été traitée par plusieurs savans. Pitot a donné des recherches sur ce sujet dans les Mémoires de l'académie pour 1736. Soit MN, M'N' (fig. 2, pl. 3) un tube roulé en hélice sur un cylindre; et soit mené des plans horisontaux pq, p'q', etc., tangens aux révolutions de l'hélice; ces plans intercepteront sous eux des arcs pNq, p'N'q', etc., dans lesquels il se tiendrait de l'eau, si l'on suppose qu'une vis étant en repos, on en verse par son extrémité supérieure. C'est ce que Pitot nomme arc hydrophore. I suppose que quand une vis est en mouvement, les arcs hydrophores montent remplis d'eau, et calcule en conséquence la quantité qu'elle peut fournir, et l'effort qu'il faut employer pour la faire mouvoir.

Daniel Bernoully a traité dans son Hydrodynamique, qui a paru en 1738, la théorie de la vis d'Archimède, à-peu-près de la même manière que Pitot, quoiqu'il y ait toute apparence qu'il n'avait pas connaissance de son travail.

Euler a repris la théorie de la vis d'Archimède dans un Mémoire imprimé dans le tome 5 des Mémoires de Pétersbourg.

Je ne connais point sur ce sujet de recherches analytiques postérieures à celles d'Euler qui méritent quelque attention.

Tous les ingénieurs connaissent un tableau d'expériences faites sur la vis d'Archimède, sous la direction de M. Garipuy, directeur du canal du Languedoc. On se servait de vis dont l'angle d'in

la

clinaison de l'hélice sur l'axe était de 60° anciens. On a varié les hauteurs, les diamètres et les inclinaisons. Il est résulté que vis ne montait point d'eau quand son axe faisait avec l'horison un angle d'environ 60°, et qu'elle donnait le plus grand produit quand cet angle était de 30°; en sorte qu'il paraît que l'angle d'inclinaison qui comporte à vitesses égales le maximum d'eau élevée, est la moitié de l'angle que l'hélice fait avec son axe, et est indépendant de la vitesse de rotation. Il est très-remarquable que ce résultat, si simple et si utile, n'ait été trouvé par aucun des savans qui se sont occupés de cette machine.

Le rapprochement des expériences faites dans les épuisemens par la vis d'Archimède, a appris que moyennement un homme pouvait, en vingt-quatre heures, monter 90 mètres cubes d'eau à un mètre de hauteur, par le moyen de cette machine. (Voyez le Traité de la construction des ponts, par M. Gauthey, tom. II.)

Ces deux résultats suffisent sans doute à tous les besoins de la pratique, et on n'a ici pour objet que de faire quelques observations sur la nature du mouvement de la vis.

Il y a dans toute machine deux élémens qui constituent son produit; l'un est la quantité d'eau qu'elle monte, et l'autre la vitesse d'ascension. Quelquefois ces deux élémens sont très-distincts, comme dans une pompe où on considère facilement à part le volume d'eau monté à chaque levée du piston, et le nombre de levées que le piston fait dans un tems donné. Dans la vis d'Archimède, ces deux élémens sont confondus, et il paraît que c'est à cela que tient principalement l'espèce d'obscurité qu'offre le jeu de cette machine.

Du volume d'eau monté par une vis.

α.

On

=a. Si

Soit faite la projection de la vis sur un plan vertical_passant par son axe, et supposons que le point M (fig. 3. pl. 3) projetté sur l'axe soit l'orifice d'entrée du tube; soit MT la tangente à l'hélice au point M; soit menée l'horisontale MN, et nommons a l'angle nMN que fait l'axe de la vis avec l'horison, et ♦ l'angle constant nMT que cet axe fait avec l'hélice. L'angle que fait la tangente MT avec l'horison est voit d'abord que l'eau n'entrera point dans le tube si esta, l'eau tendra à y entrer avec la force accélératrice g sin ( a), g étant la gravité. Or, pour suivre la comparaison de la vis avec une pompe, le volume d'eau monté à chaque levée du piston, est proportionnel à la force accélératrice à laquelle l'eau cede en franchissant la soupape. De même, dans la vis, le volume d'eau monté sera proportionnel à la quantité g sin(-a).

De la vitesse avec laquelle l'eau monte dins la vis.

Soit la vitesse angulaire imprimée à la vis, et r le rayon du cylindre. La vitesse de rotation vr se communiquera à l'eau qui y sera contenue : il en résultera que cette eau prendra, dans le sens des hélices, la vitesse vr sin e, laquelle équivaut, dans le sens de l'axe de la vis, à la vitesse vr sin cos è, et dans le sens vertical, à la vitesse vr sin cos sin a. Cette dernière quantité exprimera donc la hauteur verticale dont l'eau contenue dans la vis montera dans une seconde.

De l'inclinaison sous laquelle la vis donne le plus grand produit.

Le produit d'une machine est proportionnel au volume d'eau élevée multiplié par sa vitesse verticale. Donc le produit de la vis est proportionnel à la quantité

g sin (a) vr sin è cos è sin «,

ou, en supprimant les facteurs constans, à la quantité

sín (-a) sina,

En déterminant a de manière que cette quantité soit un maximum, on trouve a, conformément à l'expérience.

De la force nécessaire pour monter par une vis une quantité d'eau donnée à une hauteur donnce.

Il ne paraît point facile de déterminer par le calcul le volume d'eau qu'une vis monte dans une seconde, ou du moins on arriverait pour cela à des formules très-compliquées, et on ne pourrait guère tenir exactement compte de circonstances importantes, telles que la contraction à l'entrée de l'eau dans la vis, et le frottement de l'eau dans les tubes. Mais comme on vient de trouver une quantité à laquelle ce volume est proportionnel, il suffit de faire usage des expériences connues sur les vis de divers diamètres pour le calculer dans tous les cas par une simple proportion. La quantité d'eau qu'une vis de position et de construction données montera par seconde étant fixée, il s'agit de savoir quelle force il faudra appliquer à la manivelle.

On remarquera à ce sujet que, si on fait abstraction des frottemens et contractions, il ne peut y avoir dans la vis aucune perte de force vive. Donc la force vive imprimée à la manivelle doit

être égale à la force vive représentée par l'ascension de l'eau, plus celle que l'eau peut conserver à l'instant où elle quitte la vis. Or, il est aisé de voir que cette dernière force vive est nulle; car le mouvement giratoire de la vis ne peut imprimer à l'eau, dans le sens des hélices, la vîtesse vr sin e, que parce que les hélices se meuvent en sens contraire avec cette même vitesse : en sorte que l'eau se trouve emportée par la machine, en sens contraire de son mouvement, avec une vitesse égale à la vîtesse relative avec laquelle elle se meut dans la machine. Done elle n'a aucune vitesse à l'instant où elle la quitte, du moins si l'on néglige la vitesse provenant de la force centrifuge, comme cela est d'usage dans des cas semblables.

Il suit delà qu'abstraction faite des frottemens, la force vive dépensée à la manivelle doit être entièrement utilisée pour Pélévation de l'eau. Ces frottemens sont d'ailleurs très-peu considė – rables; en sorte que l'effet utile doit différer peu de la force vive dépensée.

Les causes de déchet dans la pratique, sont les pertes d'eau qui ont assez souvent lieu par les jointures de l'enveloppe extérieure, et sur-tout la nécessité où l'on est d'élever l'eau un peu plus haut que la buse de décharge, parce qu'elle doit retoinber de la vis dans cette buse. On peut avancer que moyennement l'eau est élevée à om 50 au moins plus haut qu'il ne serait nécessaire; en sorte que les vis ne montant guère l'eau dans les épuisemens à plus de 2 à 3 mètres, cctte circonstance fait perdre une partie très-sensible de la force dépensée.

On peut admettre qu'un homme employé à faire mouvoir une manivelle, y dépense dans sa journée une force vive équivalente à 155 mètres cubes d'eau élevés à un mètre. Mais les vis sont mues ou par des manivelles inclinées qui fatiguent beaucoup plus les hommes, ou par des balanciers auxquels il y a lieu de croire qu'ils communiquent moins de force vive; en sorte que je ne crois pas qu'on puisse estimer à plus de 120 mètres cubes d'eau élevés à un mètre la force vive réellement transmise par les manœuvres aux vis. Si on suppose la hauteur moyenne de l'élévation de l'eau de 2 mètres, l'eau aura réellement été élevée à 2.50; en sorte qu'il y aura un cinquième à retrancher sur la force vive dépensée : cela réduira les 120 mètres cubes d'eau élevés à un mètre de force vive dépensée, à 96 mètres cubes d'eau élevés à la même hauteur. En admettant qu'il y ait 6 mètres cubes d'eau élevés à un mètre, pour représenter les frottemens et les pertes d'eau, l'effet utile serait réduit à 90 mètres cubes, conformément l'expérience.

Sur les cas où l'équation déduite du principe des vitesses virtuelles a lieu entre les espaces finis, décrits par les corps, lors des changemens de position d'un systéme; par M. NAVIER, ingénieur des ponts et chaussées.

M. Lagrange a observé dans la Mécanique analytique que, pour que l'énoncé du principe des vitesses virtuelles exprimât dans tous les cas les véritables lois de l'équinore, il fallait que l'on prît les espaces infiniment petits décrits par chaque point dans le premier instant du mouvement dans le sens de la force qui lui est appliquée. M. Fossombroni, dans un Mémoire imprimé à Florence en 1796, a remarqué qu'il y avait beaucoup de cas où le principe avait lieu en prenant les espaces finis décrits par les corps dans les changemens de situation du systême; mais il n'a point donné de règle générale au moyen de laquelle on pût distinguer

ces cas.

Soit l'équation du principe des vitesses virtuelles

P'dp'+Pdp" + Pdp" + etc. o,

dans laquelle dp', dp", dp"", etc. sont les espaces infiniment petits parcourus par le point d'application de chaque force dans le sens de la direction de cette force, quand le systême change infiniment peu de situation; et P', P", P, etc. des forces qui se font équilibre sur le systême, en satisfaisant à l'équation précédente. On peut l'écrire de cette manière :

représentent les vitesses que prennent dans le premier instant les points d'application de chaque force dans le sens de sa direction, lorsque l'on imprime un mouvement au systême.

vitesses

Or il est aisé de voir que si, dans des cas particuliers, les dp' dp , etc. restaient constantes lorsque le systême passe d'une position à une autre ; les espaces finis que décrirait chaque point dans les mouvemens du systême, dans le sens des

dt dt