directions des forces, seraient proportionnels à ces mêmes vitesses. Donc on pourrait substituer ces espaces finis aux vitesses « dans l'équation ci-dessus sans en changer la nature, et sans qu'elle cessât d'exprimer les conditions de l'équilibre. Il ne reste donc plus qu'à chercher quelle doit être la disposition d'une niachine pour que, dans toutes les situations qu'elle peut prendre, les vitesses virtuelles des points d'application des forces conservent une valeur constante.

Cela posé, soit une machine quelconque en mouvement, à laquelle des forces sont appliquées. Tous les points d'application décrivent, dans un même instant infiniment petit, des petits espaces que je nomme de', de", de, etc. Soit e', 0, 0, etc. les angles que la direction de chaque force fait avec l'espace parcouru par son point d'application, on aura

Or, pour que dp', dp", dp"", etc. aient des valeurs constantes dans toutes les situations du systême, il faut, nécessairement, en général, que les valeurs de de', de", de", etc. soient constantes, ainsi que celles des angles ",", "", etc.

Pour distinguer maintenant les cas où de', de", de", etc. ont des valeurs constantes, on remarquera que L=0, M=0, etc. étant les équations de condition du systême, exprimées en fonction des coordonnées x', y', z' ; x!!, y'!!, z etc. des corps; on obtient, en les différentiant, les équations dL = o, dM = o, etc.; d'où l'on déduit les relations que comporte la nature du systême entre les espaces infiniment petits dx', dy', dz'; etc. que chaque corps peut décrire en même tems dans le sens de chacune de ses coordonnées. On a ensuite

pour les espaces effectifs que ces corps décrivent. Or, les valeurs de de', dell, de", etc. ne peuvent être constantes qu'autant que dx', dy', dz', etc. le seront aussi. Mais il faut pour cela que les équations dlo, dMo, etc., d'où les valeurs des différen

tielles sont déduites, soient indépendantes des coordonnées, et par conséquent que les équations primitives Lo, Mo, soient des fonctions linéaires de ces coordonnées, afin que la différen tiation les ait fait disparaître; d'où l'on conclut que les espaces effectifs infiniment petits parcourus en même tems par les différens points, ne peuvent en général avoir des valeurs constantes dans toutes les situations d'une machine, qu'autant que les équations de condition seront des fonctions linéaires des coordonnées. Si cette condition est remplie, et si ensuite la machine est tellement disposée que les directions des forces fassent toujours des angles égaux avec les espaces que décrivent les points d'application, les vitesses virtuelles seront constantes, et les espaces finis décrits par les corps dans le sens de chaque force, seront proportionnels aux vitesses virtuelles, et pourront les remplacer dans l'équation d'équilibre.

Il est aisé de voir que lorsque la disposition d'une machine satisfera à ces.conditions, les valeurs que ces forces devront avoir pour se faire équilibre, seront les mêmes dans toutes les situations du systême. D'ailleurs, le réciproque n'a pas toujours lieu, comme on peut le voir dans l'exemple suivant. Soit un levier aux extrémités duquel sont suspendus deux poids P' et P", (fig. a, pl. 3). Ces poids se font équilibre dans toutes les situations du levier; mais les angles formés par leurs directions avec les arcs que décrivent 'les points m3, m", varient, et on voit aussi que les poids ne sont point réciproquement proportionnels aux espaces finis décrits par les points m', m" estimés dans les sens des cordons m' P', m" F"; ils le sont seulement aux espaces finis réellement décrits par ces points.

Mais si la condition que les mêmes valeurs des forces se font équilibre dans toutes les situations d'une machine, est réunie à celle que les directions des forces fassent des angles constans avec les espaces que décrivent les corps quand la machine marche, le cas d'exception remarqué par M. Fossombroni a également lieu, et il est aisé de s'assurer que l'existence de deux quelconques des trois conditions que l'on vient d'indiquer, eutralne celle de la

troisième.'

a

On peut vérifier ce qui précède sur les machines simples. En considérant d'abord les machines composées de poids suspendus à des cordes, on verra facilement que dans toutes les mouffles ou systêmes de poulies à cordons parallèles, où les équations de condition sont des fonctions linéaires des coordonnées, puisqu'elles expriment seulement que la montée d'un poids est dans un rapport donné avec la descente des autres, et où les directions des forces

se confondent avec les espaces réellement décrits par les corps, ces forces sont aussi toujours en raison inverse des espaces finis parcourus dans le mêine tems dans le sens de leurs directions et conservent des valeurs constantes dans toutes les situations du systême. Mais lorsque, dans le systême de poulies, il y a des cordons qui ne sont point parallèles, alors les équations de condition ne sont plus des fonctions linéaires des coordonnées; et on peut voir sur le systême de trois poids P', P" et P (fig. b, pl. 3), que quoique chaque force reste toujours dirigée dans le sens de l'espace parcouru par chaque point d'application, les poids ne sont point entre eux dans le cas de l'équilibre en raison inverse des espaces finis qu'ils parcourent en même tems, et les mêmes poids ne se font point équilibre dans toutes les situations du systême.

Dans le levier considéré d'une manière générale, les deux premières conditions énoncées ci-dessus ne sont point remplies: aussi ne peut-on point, dans cette machine, mettre les espaces finis à la place des espaces infiniment petits.

Elles le sont dans le systême de deux poids posés sur deux plans inclinés adossés et attachés à un même fil: aussi les espaces finis sont-ils proportionnels aux espaces infiniment petits.

Ces conditions sont également remplies dans la vis, où la même proportionnalité a lieu.

On peut donc établir la règle suivante :

Lorsque l'on veut savoir si, dans l'équation générale d'équilibre P'dp' Pdp" + P"dp" + etc. = 0,

on peut mettre à la place de dp', dp", dp", etc. les espaces finis décrits dans un même tems par les corps d'un systême, sans que cette équation cesse d'exprimer les véritables lois de l'équilibre, il faut examiner si la disposition du systême et des forces qui agissent sur lui est telle,

1°. Que les conditions de la liaison soient des fonctions li néaires des coordonnées, ou, ce qui revient au même, que les rapports des espaces infiniment petits, décrits en même tems par chaque corps, soient constans;

2°. Que les directions des forces fassent constamment les mêmes angles avec les lignes que décrivent leurs points d'application;

3°. Que les valeurs des forces qui se feraient équilibre sur la machine, soient les mêmes dans toutes les situations de cette machine.

Si, sur ces trois conditions, il y en a deux quelconques de remplies, la substitution des espaces finis aux vitesses virtuelles sera permise.

Application du principe des vitesses virtuelles, aúx machines élémentaires qui ont pour objet de transmettre le mouvement circulaire d'un cercle à un autre cercle, situé ou non dans le même plan que le premier; par M. HACHETTE.

Considérons d'abord deux cercles situés dont les plans sont paral lèles, et qui doivent tourner autour de leurs lignes des pôles, comme axes. Ayant mené un plan perpendiculaire à ces lignes, qui les coupe aux points (et d) (fig. 1, pl. 4), soit menée la droite Ad. Les vitesses de rotation d'un point pris sur chacune des circonférences des cercles donnés, étant connues, on divisera la droite Ad en deux parties AB, Bd, telles que le rapport de ces deux parties soit égal à celui des vitesses des cercles données. Sur les droites AB, Bd, comme rayons, on décrira deux cercles c et c', et on supposera ccs cercles invariablement fixés aux cercles donnés. Nous n'avons plus maintenant à considérer que les deux cercles c et c situés dans le même plan, et qui doivent tourner autour de leurs lignes de pôles et d. Pour transmettre le mouvement cirçulaire du premier cercle au second, supposons qu'on ait fixé sur le premier cercle c une courbe as qui tourne en même tems que ce cercle, et que cette courbe, considérée comme une rainure infiniment étroite, embrasse un point ou une cheville S située en un point de la circonférence du second cercle c' du rayon Bd et fixe sur ce cercle.

Quel que soit le sens dans lequel on fera tourner le cercle du rayon AD, la courbe aS poussera la cheville S, et le cercle du rayon Bd tournera en même tems. Ce mode de transmission du mouvement circulaire étant admis, on demande quel est le rapport des deux forces (P) et (Q) appliquées tangentiellement aux cercles des rayons AB, Bd, qui se font équilibre. Soient dp et dq les arcs infiniment petits parcourus par les forces Pet Q dans le sens de leurs directions; il est évident que, d'après le principe des vitesses virtuelles, on doit avoir

Pdp+Qdq=0;

et à cause que les petits arcs dp, dq sont égaux aux arcs aa', décrits dans le même tems par les points a et S des circonférences qui ont pour rayons AB et Bd, on aura

P.aa'Q.St=0;

d'où il suit que le rapport de deux forces Pet Q est égal à celui

des arcs infiniment petits aa' et St. Donc, si l'on demande que ces deux forces soient égales, il faut qu'on ait

aa' St.

Soit Bs l'épicycloïde décrit par le point B, pendant que la circonférence du rayon Bd roule sur le cercle du rayon AB, et supposons que cette courbe tourne en même tems que le cercle du rayon AB: tandis que le point B de cette courbe parcourra l'arc Ba, la cheville S, d'abord en B, décrira l'arc BS. Or, d'après les propriétés de l'épicycloïde, les arcs Ba et BS décrits dans le même tems, sont égaux. Donc les arcs aa' et St décrits dans un même tems infiniment petit, sont aussi égaux; d'où suit que le forces Pet Q qui sont appliquées tangentiellement aux cercles des rayons AB, Bd, et qui se font équilibre, sont égales entre elles. En prenant pour la coulisse as toute autre courbe que l'épicycloïde, cette égalité n'aura pas lieu; et néanmoins, quelle que soit cette courbe, les deux cercles des rayons AB, Bd tourneront en même tems, par l'action d'une force appliquée tangentiellement à l'un d'eux.

Substituons au mécanisme de la fig. 1 celui de la fig. 2, le cercle du rayon 1B porte une courbe ou coulisse aS: le cercle du rayon Bd est coupé suivant un rayon dSS' qu'on peut considérer comme une autre coulisse ou rainure; enfin, une cheville S est un point mobile qui glisse à-la-fois sur les deux rainures aS, dSS'. Quel que soit le sens dans lequel on fera tourner le premier cercle du rayon AB, la courbe as fixée à ce cercle poussera la cheville, et la cheville poussera le rayon ; d'où il suit que le second cercle tournera ; et nommant P et Q les forces tangentes aux deux cercles, qui se font équilibre, on aura, comme précédemment १

Pdp+Qdq=0.

=

Supposons maintenant que l'on demande la nature de la courbe ou coulisse as, pour que les deux forces P et Q soient égales. On satisfera à cette condition en faisant dp dq, ou (fig. 2) aa' S't', aa' et S'l'étant les arcs infiniment petits décrits dans le même tems par les points a et S'; l'un de ces points étant la nais– sance de la courbe aS sur la circonférence du rayon AB; l'autre, l'extrémité S' de la rainure dS'. Ayant décrit sur Bd, comme diamètre un cercle, et faisant rouler ce cercle sur le premier cercle donné du rayon AB, le point B engendre l'épicycloïde BS. Cette courbe étant fixée sur le cercle du rayon AB, elle prendra la position aS, et le rayon dS', entraîné par cette courbe, arrivera dans le même tems, en dSS'. Or, suivant les propriétés de l'épicycloïde, les arcs Ba, BS décrits dans le même tems par les points a et B,