sont de même longueur, et tous deux égaux à l'arc BS du diamètre Bd. Donc les arcs infiniment petits aa', S't' décrits dans le même tems, sont aussi de même longueur; donc les forces Pet Q qui se font équilibre, sont égales entre elles.

Nous avons considéré deux cercles dont les lignes des pôles sont parallèles; supposons maintenant que ces lignes servant d'axes de rotation se coupent, et comprennent entre elles un angle donné.

Soient (fig. 3, pl. 5) w'L, 'l les lignes des pôles de deux cercles des rayons LM, Im; les longueurs des arcs décrits dans le même tems par les points m et M de ces cercles, sont dans un rapport donné, par exemple de 1 àn, c'est-à-dire, que le point m décrit une circonférence entière du rayon Im, tandis que le point M parcourt la neuvième partie de la circonférence du rayon LM. Ayant partagé l'angle La'w des lignes des pôles en deux autres angles, par une droite B, telles que les perpendiculaires AB, Ba abaissées d'un point B de cette droite sur les lignes 'L, a'l soient dans le rapport de n à 1, on regardera les deux cercles des rayons AB, Ba comme fixés, l'un au cercle du rayon LM, l'autre au cercle du rayon lm, et on ne considérera que la transmission du mouvement circulaire du cercle A, dont le rayon est AB, au cercle du rayon Ba, en observant que ces deux cercles sont tangens l'un à l'autre, et que leurs plans font entre eux un angle AB, supplément de l'angle Aw' formé par les lignes des pôles qui servent d'axes de rotation.

La fig. 4, pl.5 représente en perspective les deux cercles des rayons AB, Ba qui se touchent au point B, et les lignes des pôles autour desquelles ils doivent tourner, sont les droites Aw', a'. Une courbe aSa', fixée sur le premier cercle, pousse le second cercle par un point S de sa circonférence. Nommant P et Q les forces appliquées tangentiellement aux deux cercles; dp, dq, les petits arcs décrits dans le même tems par les points de tangence, la condition d'équilibre sera Pdp Qdq o. Si l'on demande que les forces Pet Q soient égales, il faut qu'on ait dans toutes les positions des deux cercles dp 1 dq. On satisfait à cette dernière condition, en prenant pour la courbe aSa', l'épicycloïde sphérique qui est engendrée par un point du cercle du rayon wB, et`qui ́ a pour base (*) le cercle du rayon AB. Si ce dernier cercle a tourné autour de A' d'un arc quelconque Ba, emportant avec lui l'épicycloïde dont l'origine est un poiut B, le cercie du rayon Ba décrira dans le même tems autour de ww', un arc BS égal en longueur à l'arc Ba (Traité des machines, chap. 2, art. 17). D'où il suit qu'on aura constamment, arc Ba = arc BS, et dp = dp.

(*) On appelle base d'un épicycloïde, le cercle fixe sur lequel roule le cercle mobile.

Le cercle du rayon AB restant le même, substituons au cercle du rayon Ba (fig. 4), un autre cercle du rayon Bd (fig. 5) qui touche le premier au point B, et supposons que les nouveaux axes de rotation soient les lignes des pôles AH, dH, qui se coupent au point H, le mouvement circulaire du premier cercle pourra se transmettre au second cercle par le mécanisme suivant. Ayant fait une rainure suivant un rayon dȘ' du second cercle, on fixe sur le premier cercle une autre rainure dont la ligne milieu est la courbe aSa'; une droite inflexible, mobile au tour du point H, passe par le point d'intersection des lignes milieux des deux rainures, et se prolonge au-delà de ce dernier point. Lorsque le cercle du rayon AB tourne, il emporte la courbe aSa', entraîne la droite inflexible, et cette droite fait tourner le cercle du rayon B. Dans ce mouvement, le point commun aux deux rainures et à la verge inflexible décrit le rayon S'Sd, en allant du point S', extrémité de ce rayon, au centre d du cercle; la droite HS' décrit un còne oblique dont le sommet est le point H, et qui a pour base le cercle du diamètre Bd.

Quelle que soit la courbe aSa', la condition d'équilibre entre les forces Pet Q tangentes aux cercles des rayons AB, Bd, sera exprimée par l'équation Pdp - Qdq=o, dp et dq étant les petits arcs décrits dans le même tems par les points d'application.

Pour que ces forces soient égales, il faut qu'on ait dp dq, quels que soient les arcs p et q décrits dans le même tems. On satisfait à cette condition en prenant pour la courbe (*)`aSa' l'épicycloïde sphérique engendrée par un point d'un cercle qui est situé dans le plan du cercle donné, dont le centre est en d, et dont le rayon ad ou B est moitié du rayon Ed; la base de cette épicycloïde est le cercle du rayon AB. Si ce dernier cercle tourne d'un arc Aa, la droite AS décrit dans le même tems la portion de cône oblique qui correspond à l'arc BS. Or, cet arc BS (Traité des machines, chap. 2, art. 8) est de même longueur que l'arc BS' d'un rayon double; donc les deux arcs Ba et BS' ou p et q, décrits dans le même tems par deux points des circonférences des rayons AB, Bd, sont constamment de même longueur.

Quel que soit le mécanisme par lequel on fasse tourner deux cercles, le principe des vitesses virtuelles donne sur-le-champ l'équation de condition qui exprime que les forces appliquées tangentiellement aux cercles sont en équilibre. Il est évident que dans ce cas, les petits espaces parcourus par les points d'applica

(*) La nature de cette courbe fixée sur le premier cercle, dépend de la forme de la rainure tracée sur le second cercle.

tion des forces, sont dans la direction de ces forces. Si l'on cherchait cette condition d'équilibre par le principe de la composition des forces, le problême serait beaucoup plus compliqué, comme on peut le voir par l'article suivant de M. Ampère, qui a considéré le cas le plus simple, celui de deux cercies situés dans le même plan et tournant autour d'axes parallèles.

« La courbe OMT ( pl. 4, fig. a) tournant librement autour du point C, est soumise, 1°. à l'action de la force Q appliquée à un point fixe M de cette courbe, perpendiculairement à C'M. 2o. à la pression d'un point pouvant seulement glisser sur cette courbe, lié au centre fixe C, actuellement en M, et sollicité par la force P, perpendiculaire à CM.

On demande la relation entre P et Q, dans le cas de l'équilibre. MN étant la normale à la courbe OMT, et P représentée par MK étant décomposée en MN, et MU détruite par le point C, P

MN= presse la courbe suivant la normale; cette force étant

décomposée suivant MS, et MR qui est détruite par le point C', on a

et il faut pour l'équilibre que MS=Q, ce qui donne

P cos cos q.

La même relation se tire du principe des vitesses virtuelles en effet, la force Q (pl. 4, fig. b) étant appliquée à la courbe tournant autour de C', son point d'application reste à la même distance de C'en tournant avec elle; il vient donc en V, de manière que l'arc MV décrit perpendiculairement à C'M, est dans la direction de Q, dont le moment = QxMV. Le point lié à C où est appliquée P, vient en Z en glissant sur la courbe, de manière que l'arc MZ perpendiculaire à CM, est dans la direction. de P, dont le moment = P x MZ.

La condition l'équilibre est donc Px MZ-Qx MV. Mais MY étant la partie de la normale en M, comprise entre les deux positions de la courbe, on a

Sur le cas irréductible, dans les équations du troisième degré; par M. DE STAINVILLE.

ᎠᎬ

q

Soit l'équation du troisième degré x3- px+9=0; pour démontrer que dans le cas irréductible, les trois racines sont

1

rėeļļes, substituons dans cette équation r

on aura une autre équation, qui étant divisée par

33r+

o; mais puisqu'on a

<

sera

4

27

27

27

9

plus petit que 2. Si donc on représente

par 2a, a sera,

27

plus petit que l'unité, et la quantité r sera donnée par l'équation 3r+20=0. Si pour r on substitue successivement les nombres − 2, — 1, 0, 1, 2, les signes des résultats qui correspondent à ces substitutions seront, lorsque sera positif —,+, +, -, +, et lorsque a sera négatif - 十,一, +; par conséquent dans le cas ou a est négatif, comme dans celui où il est positif, il y aura trois valeurs de r qui satisferont à l'équation suite trois valeurs de x qui satisferont à

Le théorême que nous venons de démontrer, n'est qu'un cas particulier d'un autre théorême plus général, et qui consiste en ce que toute équation de degré impair de la forme "+px+9=0 à toujours trois racines réelles, et m-3 imaginaires, Jorsque est égal ou plus petit que zéro, et quelle ne

(1)+(n)

m

P

m

peut avoir qu'une seule racine réelle, lorsque (_)+(-)TM

est plus grand que zéro.

m

Nous observerons d'abord que l'équation dont il s'agit, ne peut

avoir plusieurs racines réelles, à moins que p ne soit négatif, puisque si cela avait lieu, il y aurait au moins une quantité réelle positive ou négative qui satisferait à l'équation mam-'+po, qui est la dérivée de la proposée, ce qui n'a pas lieu. Lorsque p est négatif, l'équation x px +9= o ne peut admettre plus de trois racines réelles, puisque si cela avait lieu, la dérivée en admettrait plus de deux, ce qui est impossible.

Si dans l'équation xm - px+9=0, on fait x=r

on aura une équation qui étant dégagé du coefficient de la plus haute puissance de r, sera rm

mr +

P

9

= 0 et

m

comme dans le cas où (;
(1)-(

m

P

m

<m

m

-I; on pourra représenter le dernier terme

par (m -T 1) a " étant plus petit que l'unité : la réalité des

trois racines de l'équation pròposée dépendra donc de l'existence de trois racines réelles, dans l'équation r — mr + (m I) @ = 0. Si dans cette équation on substitue pour r o et 1, les signes des résultats, lorsque est positif, sont de signes contraires. Ainsi l'équation a une racine réelle positive. Si on la divise par le facteur qui correspond à cette racine, on aura une équation de degré pair dont le dernier terme sèra négatif, et qui par conséquent aura deux racines réelles, l'une positive et l'autre négative; ainsi l'équation précédente a trois racines réelles, dont deux seulement sont positives et l'autre négative. Si a est négatif, la substitution de o et de I donnant des résultats de signes contraires, l'équation à une racine réelle négative comprise entre ces deux nombres; si on divise l'équation proposée par le facteur qui correspond à cette racine négative, on aura une équation de degré pair, dont le dernier terme sera négatif, et qui par conséquent aura deux racines réelles, l'une positive et l'autre négative; donc la proposée aura dans le cas de a négatif comme dans celui de a positif, trois racines réelles.

w

Il reste maintenant a considérer le cas où on aurait......