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grand que l'unité dans l'équation rm mr + (m −1 ) w = o. Si dans cette équation on substitue au lieu de r, le résultat sera positif, tant que det seront positifs; ainsi cette équation ne peut avoir de racines positives, et de plus elle ne peut avoir qu'une seule racine réelle négative, puisque si elle en avait plusieurs, elles seraient en nombre impair, et l'équation dérivée en aurait aussi plusieurs, ce qui est impossible. Si est négatif et plus grand que i, elle ne peut avoir de racines négatives; car si on substitue I ou — 1, le résultat sera négatif, et comme elle ne peut avoir de racines positives qu'en nombre impair, et que l'équation dérivée ne peut en avoir plus d'une, il en résulte que le théorême est démontré.

On démontrerait de la même manière que dans le cas de m pair, l'équation ne peut avoir plus de deux racines réelles, et qu'il faut, pour que cela ait lieu, qu'on ait

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Trigonométrie sphérique; par M. PUISSANT.

M. Delambre a publié dans la Connaissance de Tems, pour 18092 pag. 445, de nouvelles formules de trigonométrie sphérique, qui ont été démontrées ensuite par plusieurs géomètres, et qui se trouvent l'être fort simplement dans l'Abrégé d'astronomie de ce savant célèbre. Voici quelles sont ces formules, en désignant par A, B, C les angles d'un triangle sphérique, et par a, b, c les côtés qui leur sont respectivement opposés,

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(n)

cos' C=

sin (a+b+c) sin (a+b-c)

2

sin a sin b

On propose de trouver l'expression de l'aire T d'un triangle. spherique en fonction des trois côtés, et ensuite au moyen de deux côtés et de l'angle qu'ils comprennent. Or, on a comme l'on sait (Correspondance, tom. Ir., pag. 274),

T

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étant la demi-circonférence d'un cercle dont le rayon est l'unité.

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précédentes, on trouve

T sin C cos C

sin

2

cos c

[cos (a - b) - cos (a + b)]

2 sina sin b sin C cos C sina sin b sin C

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enfin remplaçant sin C et cos C par leurs valeurs déduites des relations (m) et (n), et faisant 2 s=a+b+c pour abréger, on a

sin

T Vsin s sin (s- — a) sin (s—b) sin ( s -c

2

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ce qu'il fallait trouver.

2 COS a cosb cosc

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leurs valeurs, il vient

T

COS

2

cos (a b) cos2C + cos(a + b) sin2 C

cos c

cos (a - b)+[cos(ab) cos (ab)] sin C

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- 2 sin a sin¦b sin2 ¦ C

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Divisant maintenant la valeur rationnelle de sin T par celle de cos T, on a pour la seconde expression cherchée,

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2

Ttanga tang b sin C-tang b sin 2C
+tanga tang3b sin 3C-etc.

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il en résulte, lorsqu'on élimine sin2 ¦ C, que l'on a

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COST

sin (sa) sin ( s — b)

sin (sa) sin (s
2 cosa cosb cosc

,

b)

;

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2 cosa cosb cos (a - b) — cos (a—b) + cos c

2 cosa cosb cos c

et comme cos (a b) = 2 cos2 (a - b), le numérateur du second membre de cette équation devient

[cos

(a—b)+cos(a+b)] cos(a—b) —cos' (a—b) + cos c'+1,

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Cherchons maintenant, à l'exemple de M. Legendre ( Géométrie,

note 10), l'expression du rapport

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cos T

sin T

; nous avons

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or, le numérateur de cette expression étant le développement de la quantité

(1 — cos2 a) (1 — cos2 b) — (cosa cos b— cos¦ c)', il s'ensuit qu'il peut être remplacé par le produit

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cos c)

sin a sinb+cosa cos b
(sina sin bcosa cos b + cos c) {

ou par cet autre

(cos(a - b) cos c) (cosc cos(a+b))

S b

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C

4 sin ) sin (*) sin (**) sin (†¤);

mais en général

sinx

Vsin x

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ainsi nous aurons définitivement la formule suivante due à M. Lhuil

lier de Genève

tang:T=√(tangtang (4)tang (=) tang (=))

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Toutes les formules précédentes sont connues; mais la route qui nous y a conduit est nouvelle, et une des plus directes.

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES DE PARIS, ANNÉE 1813.

PROBLEME DE

MATHÉMATIQUES (*).

On suppose deux cônes droits qui ont même sommet, même hauteur, et des bases égales.

L'un de ces cônes demeurant fixe, l'autre tourne sur lui, de manière que les arcs de la base du cône mobile, s'appliquent sur des arcs égaux de la base du cône fixe.

Dans ce mouvement un point quelconque de la circonférence de la base du cône mobile engendrera une courbe.

On propose de trouver les équations des projections de cette courbe.

:

Ensuite de prouver que cette courbe se trouve à-la-fois sur une sphère, et sur uu cône droit dont il faut aussi trouver les équa

tions.

PROBLEME DE

PHYSIQUE.

Exposer les lois que suit le calorique dans sa transmission, soit par le rayonnement, soit par communication immédiate, et comment son action est influencée par le poli et l'éclat des surfaces.

Les premiers prix de mathématiques et de physique ont été remportés par M. Duflos, élève du lycée Napoléon, admis cette année (1813) à l'Ecole normale.

(*) Voyez la solution synthétique de cette question, Supplément de la Géométrie descriptive, par M. Hachette, art. 100-105.

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