Comme la quantité m a deux valeurs, suivant que l'on substituera l'une ou l'autre dans les valeurs de a et 6, on aura les coordonnées des deux centres de similitude, dont l'un sera au-delà des deux centres de figures, et dont l'autre sera entre les deux.

(Voyez l'application de cette théorie du centre de similitude, dans le Traité des surfaces du second degré, vol. in-8°., pag. 194, édition 1813,)

Démonstration d'un théoréme (*) de Trigonométrie sphérique; par M. CORNELY (**).

Dans un triangle sphérique ABC ( pl. 1, fig. 3), les trois arcs de grands cercles AO, BO, CO, abaissés des sommets A, B, C perpendiculairement sur les côtés opposés, se coupent en un même point 1.

Cela revient à démontrer que les trois plans (fig. 4) SAO, SBO', SCO", menés par les trois arêtes SA, SB, SC, perpendiculairement aux faces respectivement opposées, se rencontrent suivant une même droite SI. En effet, concevons par le point c un plan perpendiculaire à l'arête SC, et soit abc, l'intersection de ce plan avec la pyramide; le plan de la face SBC est perpendiculaire au plan du triangle abc, et au plan SAO, ou Sao, mené par l'arête SA perpendiculairement à la face opposée à cette arête; donc il est perpendiculaire à l'intersection commune ao. de ces deux plans; d'où il suit que les deux droites ao et bc, situées sur le plan abc, sont perpendiculaires entr'elles.

?

On prouve de la même manière que la droite bo', intersection de la face ASC et du plan SBO' perpendiculaire à cette face, coupe a angle droit le côté ac du triangle abc. Les perpendiculaires abaissées des trois sommets a, b, c du triangle rectiligne abc, se

(*) L'auteur de ce théorême est M. de Stainville, qui l'a démontré par l'analyse, dans un Recueil de problêmes, qu'il a publié à Paris, en 1809, 1 vol. in-8°. \ (**) Les auteurs des cinq articles suivans de géométrie, ont été admis à l'Ecole Polytechnique, en 1812.

coupent en un même point i; d'où il suit que la droite cio" est perpendiculaire au côté ab de ce triangle, et a cause de Sc perpendiculaire au plan abc, le plan du triangle Sco" ou du triangle SCO" est perpendiculaire au plan de la face ASB, opposée à l'arête SC; donc les trois plans SAO, SBO', SCO" passent par la niême droite Sil, et (fig. 3) les trois perpendiculaires AO,BO',CO# passent par le même point I.

Proposition de Géométrie, démontrée par M. CHASLES.

«Si par un point quelconque H (fig. 5, pl. 1), de l'une des diagonales d'un quadrilatère gauche ou plan ABCD, on mène deux droites dont l'une coupe les côtés AB, AD, et l'autre les a côtés BC, CD, on aura

AI.BM.CK.DNAN.DK.CM.BI

En effet, les trois points H, I, N étant en ligne droite, on a dans le triangle ABD (Correspondance, 2o. volume, page 258), HB.AI.DN HD. AN.BI.

On a de même dans le triangle BDC,

HD.CK.BM HB. CM.DK;

=

multipliant ces deux équations membre à membre, on obtient AI.BM.CK.DNAN.DK.CM.BI.

Il est clair que si réciproquement cette équation a lieu, les deux droites NI, KM sé couperont en un même point H de la diagonale BD prolongée. Donc les deux droites KI, MN seront toujours dans un même plan KHN, et se couperont en un point G. Cette démonstration doit être ajoutée au théorême de M. Chasles, page 446 du tome 2 de la Correspondance.

Démonstration de quelques Théorémes de géométrie; par M. GIORGINI.

Désignons par a, b, c les trois distances (fig. 6, pl. 1) OA, OB, OC, auxquelles un plan ABC coupe trois axes rectangulaires OX, OF, OZ; l'équation de ce plan, par rapport à ces trois axes, sera

་

Représentons de plus par (x), (r), (z) les angles que le plan BAC forme avec les trois axes des x, des y et des z, et par (x,y), (x, z), (y, z) les angles de ce même plan avec ceux des x, r ; x z; r, Z ; les angles (z), (y), (x) seront respectivement les complémens des angles (x,y), (x, z), (j, z); de sorte que l'on aura

sin (z) = cos(x,y), sin (y) = cos(x, z),,

sin (y)= cos(x, z),, sin (x) = cos (y', z).

De l'origine des coordonnées O, abaissons sur le plan BAC une perpendiculaire OH, et joignons A, H; le triangle OAH; rectangle en H, donnera ÓH=04 sin OAH, ou bien,

ou bien

=

P
cos (x, z)

cos (x, y),

x sin(x) + y sin (y) + sin (z) = p,
x cos (y, z) + y cos (x, z) + z cos (x, y) = p.

(2)

(3)

Cela posé, l'équation (2) démontre que la somme des trois perpendiculaires abaissées des trois projections d'un même point M du plan BAC, sur ce même plan, est égale à la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées, et par conséquent « que « la somme des trois pyramides ayant pour base commune une figure tracée dans un plan, et pour sommets les trois projec<«<tions de ce point sur les trois plans des coordonnées, est égale à une pyramide de même base et qui aurait pour sommet l'origine des coordonnées. »

«

En effet de la projection P du point M sur le plan des x,y, abaissons, sar le plan BAC, la perpendiculaire PK, et joignons M, K; le triangle MPK, rectangle en K, nous donnera, PK MP sin PMK z sin (); d'après cela, si l'on représente la perpendiculaire PK par, et par '," les deux perpendiculaires abaissées des deux autres projections du point M,

nous aurons

*=z sin (z), `*' y sin (y), "=x sin(x),.

et par suite d'après l'équation (2),
" + "'+=" =P,

ce qu'il fallait démontrer.

Quant à l'équation (3), elle démontre ce théorême de M. Monge : « La somme des trois pyramides ayant pour sommet commun « un point du plan, et pour base les trois projections d'une figure plane, es égale à la pyramide ayant son sommet à l'ori«gine, et pour base cette figure. » En effet, le plan BAC étant le plan d'une figure dont l'aire serait représentée par F, multipliant l'équation (3) par F, nous aurons

"

{x.Fcos (y, z)+} y.Fcos(x, z) + } z. Fcos(x, y) =}p.F: or, p. Fest la solidité de la pyramide ayant son șommet à l'origine, et pour base la figure plane; et les expressions F cos y, z), Fcos (x, z), F cos(x,y) représentant les trois projections de la figure F, les trois termes du premier membre représenteront les trois pyramides ayant pour sommet un point du plau, et pour base ces trois projections.

*, Nous allons voir tout-à-l'heure que ce dernier théorême n'est qu'un cas particulier d'un autre plus général, et que nous énoncerons après avoir expliqué ce que nous entendrons par projec tion de l'ordre n.

La figure F projettée sur les trois plans des coordonnées donnera les projections du premier ordre de cette figure; si de nouyeau l'on projette les projections du premier ordre sur le plan de la figure, on aura trois nouvelles figures, qui, projettées sur les trois plans des coordonnées, donneront les projections du second ordre : on passera de même des projections du second ordre aux projections du troisième, ainsi de suite. D'après cette construction, il est clair que les projections de l'ordre n seront au nombre de 3", et je dis

Que la pyramide ayant son sommet à l'origine et pour base « une figure plane, est égale à la somme des 3" pyramides ayant pour sommet commun un point du plan de la figure, et pour «base les 3 projections de l'ordre `n de la figure. »

Pour démontrer ce théorême, nous allons d'abord faire voir que si l'on projette sur le plan de la figure les projections d'un ordre quelconque, la somme des figures qui en résulteront sera toujours égale a la figure donnée. En effet, considérons d'abord les projections du premier ordre de la figure F: elles ont pour expression

F.cos (y, z), F.cos(x, z),

F.cas (x,y),

et leurs projections f,f',f" sur le plan de la figure seront f=Fcos' (y, z), f'=Fcos' (x, z), "Fcos' (x, y),

et par suite

ƒ+ƒ' +ƒ" = F( cos2 (y, z) + cos2 (x, z) + cos2 ( x, y ) );

et comme

cos2 (x, z) + cos2 (x, z) + cos2 ( x, y ) = 1,

il s'en suivra

ƒ+ƒ' +ƒ" =F,

ce qui démontre le dernier principe énoncé pour les projections du premier ordre. Pour rendre ce principe tout-à-fait général, il suffira donc de faire voir qu'étant démontré pour les projections de l'ordre n1, il l'est aussi pour les projections de l'ordre n; or, représentons par, ', représentons par ❤, ', o", etc., les projections sur le plan de la figure des projections de l'ordre n-1 -1; à chacune de ces figures répondront trois projections de l'ordre n, qui pourront être regardées comme leurs projections du premier ordre, et qui, d'après ce que nous venons de démontrer, donneront chacune sur le plan de la figure trois projections dont la somme lui sera égale. Si donc à la figure o répondent les trois 4, v', t′′; à la figure of, les trois 4,,,,,, etc., etc., il s'en suivra que

+q'+etc.=+↓'+4′′++,++,+4,"+etc':

or, par hypothèse, + '+etc. F;

donc aussi

++"+etc.F,

ce qu'il fallait démontrer.

Cela posé, puisqu'il est généralement démontré que q, q, q", etc., étant les projections sur le plan de la figure, de ses projections de l'ordre n-1, qui sont évidemment au nombre de 3"1, on a

1

il en résulte que la pyramide ayant son sommet à l'origine, et pour base la figure F, est égale à la somme des pyramides ayant même sommet, et pour base les figures, ', etc.; or, chacune de ces dernières est égale à la somme de trois pyramides ayant pour sonimet un point du plan, et pour base ses trois projections du premier ordre, qui sont trois projections de l'ordre n de la figure, il s'ensuivra que la somme de toutes ces pyramides, ou la pyramide, ayant pour sommet l'origine et pour base la figure F, sera égale à la somme de toutes les pyramides ayant leur sommet en un point du plan de la figure, et pour base ses projections de l'ordre n, ce qu'il s'agissait de démontrer.