b&do. Ainfi le fecond terme du theo reme general ferao. On peut continuer ainfi,&c. Et parce que EXEMPLE I V. Pour extraire la racine d'une ferie infinie, où on fupofe z=ax―bx2—cx3+dx++ex3, &c. Pour trouver la valeur d'x en une ferie compofée d'un nombre infini de termes affectés de z, & delivrés d'x. D'abord on fupofe x = ƒ z+hz2+ Kz3 +lz4+mz5+ nz &c. maintenant par le theoreme x2ƒ2x2 + 2 fb z3 ++b2z++2bk z 5 → k2 z6 +2fkz4+2flz5+2blz6 +2fmz6 &c. = Maintenant fubftituant ces valeurs dans l'équation o z+ax+bx2+cx3 +dx++ex3, &c.on trouve par-là= ༤ 20 →ax=→ afz➡ahz 2+ akz3 + alz + amz+a n z6, &c. +bx2=* bƒ2x2+2bfbz3→bb2z++2bflz5 +bk2z6 +2bbkz4+2bhk z +2bfmz 2 +cx3=** +cƒ3z3 +3 ¢f2hz ++cfb2 25 — + 3 c f2 lz6 +3cf2kz5+ &c. dx+= *** +dƒz4+4dƒ3 z3 exs * * +efs~s + 5 e ƒ + b z 6 Maintenant fi vous fupofez égale à e,la fomme de tous les coefficiens des termes de cette équation, vous trouverez les valeurs des coefficiens f, h, k, l, m, n, de cette maniere. La fomme des coefficiens du premier terme z fera af—1. af dans lequel fi 4ƒ—1=0, alors ƒ==. Ainfi la somme des ab coefficiens du second terme z2 fera ah +ƒ2.Or a h+ bf2 b .de la même maniere celle du coefficient du troifiéme terme étant égal à o, ak÷2 bfb+ —4265 +84ab3c—28 a2bc—28a3bd→7a3cd→7a3ed→7a3bea+f. Enfin fubftituant toujours les valeurs des coefficiens f, b k, l, m, n, dans l'équation propofée x=fz++ hz2 + k z3 +lz++mz+nz, &c. La racine cherchée fera x — a + Nota. S'il y a quelques termes de moins dans l'équation propofée, il eft évident que ces termes manqueront également dans la racine; par exemple, fi z=axcx3 +ex3, ax+bx2++cx5+dx7+ex9, &c. Alors il arrivera le con SCHOLI E. 3. Ces deux expreffions de la racine d'x ainfi trouvées, ferviront de regle, pour trouver par fubftitution la racine d'une équation infinie propofée. Par exemple, fi on veut extraire la racine de cette équa xx tion z x 2 3 4 &c. Il n'y a qu'à fubftituer dans la premiere équation I pour a, I pour d, & pour e ; vous aurez + 24, &c. obfervant que la 24 racine de cette équation z = x7 x x3 + + 3r 1727 6219 + + + 31525 283598 &c. en I pour b 3r L'unité d'une la différentielle eft l'element. Comme 'Integrale d'une expreffion differentielle donnée, eft la l'integrale de dx eft x ; celle de d x → dy, est x + y : l'integrale de x dy+y dx, eft x y : celle de m x m-1 dx, cft Si l'ordonnée P M 4. (y) d'une courbe ou ligne droite, AM, coupant à angles droits l'afciffe AP ( x ), cft multipliée par Pp (dx), qui reprefente une differentielle quelconque; alors l'aire APM fera l'integrale de cette differentielle ; & au contraire, le rectangle formé par l'ordonnée P M, multipliée par dx, difference de AP, fera la differentielle de l'efpace AP M. Car ce rectangle peut être pris pour le trapeze PM mp, qui eft la differentielle réelle de cette aire : leur difference étant feulement le petit triangle M m n, qui eft infiniment plus petit que P M m p; donc il peut être négligé, fuivant l'axiome premier, partie pre miere. 5. D'où il est évident que la méthode inverfe des fluxions, ou la méthode des integrations, revient à celle de trouver la fomme d'une ferie. SCHOLI E. 6. Nous devons obferver ici qu'une integrale ne peut avoir qu'une difference, mais qu'au contraire une difference peut avoir nne infinité d'integrales. Par exemple, l'integrale a x ne peut avoir que cette feule differentielle a dx: mais la differentielle a dx peut avoir une infinité d'integrales; car fi on fupose b,c,d,f,g, &c. des quantités conftantes, alors a x + b, axe, a x +f, a x + g, &c. ou a x + une infinité d'autres quantités conftantes, donnera pour integrale non pas feulement a x, mais a xp ; orp eft une quantité donnée quelconque qui peut reprefenter une expreffion compofée de quantités conftantes. Il faut entendre la même chofe dans toutes les autres expreffions differentielles & integrales. Comme il eft aife d'élever une quantité à une puissance donnée quelconque, & qu'on n'en peut pas au contraire trouver en termes finis la racine quelconque ; de même dans les differentielles il eft facile de trouver les differences d'une quantité quelconque variable, ou compofée de variables & de conftantes; mais au contraire on ne peut trouver que rarement en termes finis l'integrale d'une difference quelconque; ainfi comme dans l'algebre nous avons recours aux aproximations pour les racines fourdes qui ne peuvent pas être exactement exprimées; de même dans les integrales nous nous fervons de feries infinies, lorfque nous ne pouvons pas les trouver exactement. PROBLEME PREMIER. 7. Trouver l'integrale d'une expreffion differentielle donnée. Premier cas. 1o. Ο Uand les expreffions differentielles ne font point mêlées de quantités conftantes, mais font les produits des integrales multipliées par les differences, ce qu'on doit entendre de toutes grandeurs variables, comme dans cette expreffion x dy+ydx, ou x y d z + z x dy zy dx; pour lors fuivant la regle on trouvera les integrales par le revers de l'operation directe; par exemple ; |