Fig. 30.

l'abfciffe à l'ordonnée, dans quelques courbes géometriques que ce foit, l'efpace fpirale peut être quarré par les mêmes moyens que nous avons fuivis ci-devant. Par exemple; que AB foit à BM, comme l'abfciffe d'une parabole est à fon ordonnée; & que prenant p pour le parametre px=a2

2ydy-zady

P

24

dont l'integrale fera

4ap

3"

On peut de la même maniere trouver l'aire de l'efpace compris par l'arc AB, & la fpirale AM; dont l'élement & le trapeze BMmb—Bb→Mm × — mb, Mais Bb=dx, Mm

ydx

a

mb-a-y; par confequent BMmb ( dx→

a'dx-y'dx

24

que

ydx

Maintenant la courbe foit une fpirale parabolique, fubftituez ydy zady

38. Quarrer un espace quelconque ACMP, de la quadratrice, compris entre la baze AC, l'abfciffe AP, l'ordonnée correfpondante PM, & la partie CM de la même quadratrice.

Que ce foit le quart du cercle génerateur, A le centre: tirez AmM, & des points m M, abaiffez les perpendiculaires me, ME.

Faites AC=I, AP=x, PM=y. Enfuite par la propricté de cette courbe, AP (x) = EM=l'arc Čm du quart du cercle. Ainfi, par la fcholie premiere, exemple 4 de la

derniere fection, le sinus em, = I + x— '' x3-+

&c. & le finus du complement Ae=1

I

120

24

I

x&c. Mais à caufe des triangles femblables Ame;

720

I

APM, on aura me (1+x- — x3 + — x &c.) : Ae ( x

120

x6 &c.):: AP (x): PM (y) =

x &c.) d'où il fuit que ydx=

45

I

dx

x2 dx.

x4 dx

Fig. 31.

SECTION IV.

Vfage du calcul integral pour trouver la rectification des courbes.

PROBLEME,

39. Rectifier une courbe quelconque ; ou, trouver une ligne droite qui lui foit égale.

P

Uifqu'on peut concevoir une courbe comme formée par un nombre infini de petites lignes droites ; ainfi une de ces lignes étant trouvée par le calcul differentiel ordinaire, c'est-à-dire, l'élement de la courbe étant trouvé ; alors la fomme des élemens, ou, ce qui eft la même chofe, l'integrale de cette expreffion differentielle, fera la longueur d'une ligne droite égale à la ligne courbe,

2

à an

Maintenant, que PM (y foit l'ordonnée, coupant gles droits l'abfciffe AP (x) d'une courbe quelconque AM; & que 7 M foit 7 M foit tangente à la courbe en M. Tirez Pm parallele & infiniment proche de PM, & du point M, tirez Mm perpendiculaire à pm, ce qui donne Pp (=Mn)=dx, & nm,=dy, & Mm, pour la differentielle ou partie infiniment petite de la courbe AM, qu'il faut premierement trouver; ce qui fe fait ou en trouvant les valeurs de Mn (dx2 ), ou de mn, (dy) par l'équation de la courbe differentiée; parce que dx+dy' Mm. Ou bien en faisant comme la foutangente TP, ou l'ordonnée PM (dy) eft à la tangente TM; ainfi la differentielle de l'abscisse Mn, (dx ) ou mn (dy) eft à une quatriéme proportionnelle qui =Mn, differentielle de la courbe AM. Car le petit triangle rectangle Mmn, eft semblable au triangle rectangle TMP & l'inte

grale

grale de cette differentielle fera l'arc cherché. Quelques exemples rendront ceci évident.

COROLLA IRE.

Il fuit de ce que nous venons de dire que fi on tire P2, perpendiculaire à la tangente TM; P2 ou QM: PM (y) :: Mn (dx) ou nm (dy): Mm, differentielle de la courbe AM.

40. Trouver la longueur d'un arc quelconque AM, de la parabole ordinaire.

En ce cas on a AP x a PM; c'est-à-dire, ax=yy ; differentiant chaque membre de l'équation, on aura adx= 2ydy, & quarrant chaque membre aadx2 — 4y2dy2, & dx2- & ajoûtant dy2, à cette derniere expression,

4y2dy'

aa

Mm, differentielle de la courbe AM, dont l'integrale

2 y3 2ys 497 10y9

Fig. 31.

Autrement.

fera y+

+

dy

Par la mesure d'un raport.›

a

Cette même differentielle de la parabole 1 √ aa+4]} peut fe raporter à la quatrième forme des Tables de M.Cottes.

་

de cette forme,qui répond à =o,fera DP DR

R+T

S

& faifant P(V ') = = √ aa+4JJ, R (=√ƒ)

Fig. 32.

'an➡4yy2y

, la même integrale fera√ aa+4y+Ya qu'on peut conftruire de cette maniere.

2

-2

24

a

Du sommet 4, tirez AB, coupant l'ordonnée PM (y) en B; ce qui donne AB (= √ AP + PB ) = 2 √ aa+4II» & multipliant le numerateur & le dénominateur du raport Vaa + 4y y + 2 y par; elle fe changera en celle - ci

a

24

a√ aa―4yy➡+zy

, c'est-à-dire,

4

a

a

4

ainfi – est égal à la distance du foyer, fuivant la nature de

=

4

a

- à la mesure du raport de ABAP & PB, à la diftance du foyer AF, comme module. Ce qui étant ajoûté à AB,

le tout fera Vaa+4y2+

à l'integrale de la differentielle 2 Vaa―+4y= à la longueur de l'arc AM de la parabole, d'où on tire cette regle pour trouver la longueur de la courbe de la parabole ordinaire.

Soit A le fommet, F le foyer, AP l'axe, & PM une ordonnée à cet axe. Tirez AB coupant l'ordonnée PM au point B ; prolongez-là jufqu'en C; en forte que BC foit la mefure du raport de ABAP, & PB, au module AF; ce qui donne AC, pour la longueur de l'arc AM de la parabole. C'est-là la conftruction que M. Cottes donne dans fon Harmonia menfurarum, page 12.

Dans cette courbe la foutangente TP=2AP=2x, d'où TM = √ 4xxax. C'est pourquoi TP (2x): TM V4xx-ax (V4xx+ax:: Mn (dx): Mm= ment de la courbe. Or puifque ax=yy, donc x=