poli et attaché par un fil inextensible à un autre point qui parcourt uniformément un cercle du plan. (EULER.)

Mouvement des boules d'un régulateur quand on les a écartées de leur position d'équilibre; on suppose la tige qui porte les boules articulée en un point de l'axe de rotation, et l'on néglige sa masse ainsi que le poids à soulever par l'appareil.

Établir le théorème de Coriolis par les formules de transformation de coordonnées; montrer par cette méthode que la suraccélération absolue est la résultante de cinq autres : 1o la suraccélération relative; 2o celle d'entraînement; 3° 32v, sinw, v, perpendiculaire à ", dans le plan de cette vitesse et de l'axe instantané; 4° 37, sino, 7% perpendiculaire à w et à 7,; 5o 3o, sin,, 7% perpendiculaire à o, et y‰; y désigne l'accélération angulaire (voir no 113).

APPLICATION

DES PRINCIPES GÉNÉRAUX DE LA DYNAMIQUE AU MOUVEMENT DES SYSTÈMES.

La recherche du mouvement d'un système de points matériels peut toujours se ramener à la détermination du mouvement individuel de chaque partie du système : si les différents points sont libres, on connaît les forces qui sollicitent chacun d'eux, et l'on en déduit les équations différentielles de son mouvement; s'il existe des liaisons, on introduit des réactions qui en représentent les effets, et les points peuvent être traités comme des points libres; on introduit de nouvelles inconnues, mais les conditions qu'on exprime donnent un nombre correspondant d'équations, et l'on peut toujours déterminer la position des parties du système et les réactions : il n'y a jamais qu'une solution.

Dans bien des cas, il suffit d'un très-petit nombre de données pour déterminer la position d'un système, et les théorèmes généraux sur les mouvements des systèmes pourront les faire connaître : il faut, pour procéder ainsi, choisir les quantités les plus simples qui fixent la position des mobiles considérés, et les principes généraux, en nombre égal à celui des inconnues, qui peuvent s'appliquer à la question. Je rappelle ces principes.

Le centre de gravité d'un système quelconque se meut comme un point où toutes les masses seraient concentrées, et les forces extérieures appliquées, en conservant leur

grandeur et leur, direction. Les forces intérieures provenant de l'action des parties du système les unes sur les autres n'influent pas sur le mouvement du centre de gravité général. Un principe équivalent au précédent consiste en ce que la dérivée par rapport au temps de la somme des projections des quantités de mouvement sur un axe est égale à la somme des projections des forces extérieures ; autrement, la somme des impulsions des forces projetées sur l'axe égale la variation de la somme des quantités de mouvement estimées suivant le même axe.

La somme des moments des forces extérieures par rapport à une droite est égale à la dérivée par rapport au temps de la somme des moments des quantités de mouvement. Si la première somme est toujours nulle, la somme des masses des points multipliés par la projection sur un plan perpendiculaire à l'axe de l'aire décrite par le rayon vecteur issu d'un point de l'axe croit proportionnellement au temps. Quand cela arrive pour tous les axes passant par un point, il y a un plan invariable, plan du maximum des aires, sur lequel la somme des produits considérés est maxi

mum.

Enfin la demi-variation de la force vive du système est égale à la somme des travaux des forces qui y sont en jeu. Ici les forces intérieures peuvent intervenir; seulement leurs travaux se détruisent quand le système ne se déforme pas, et en général quand les déplacements se font conformément aux liaisons, que des corps polis glissent les uns sur les autres, etc.; mais les déformations intérieures peuvent donner des travaux : quand deux points se repoussent avec une intensité P, si leur distance augmente de dr, il y a un travail Pdr; quand deux surfaces dépolies glissent l'une sur l'autre, il y a un travail élémentaire résistant égal au produit de la force de frottement par l'arc de glissement.

Pour étudier le mouvement d'un système, on peut chercher d'abord comment se meut le centre de gravité, puis considérer le mouvement par rapport à des axes de direction fixe menés par ce centre. Ce mouvement relatif se traite comme s'il était absolu, à condition d'appliquer à chaque molécule une force fictive égale à sa masse multipliée par l'accélération du centre de gravité prise en sens contraire. Un calcul bien facile montre que la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à un axe fixe est égale à la même somme par rapport à un axe parallèle mené par le centre de gravité, augmentée du moment par rapport à l'axe fixe de la quantité de mouvement de la masse entière concentrée au centre de gravité. De même la force vive absolue est égale à la force vive relative à des axes menés par le centre de gravité, plus la force vive de toute la masse supposée réunie en ce centre.

Il est commode d'introduire dès à présent l'idée du moment d'inertie par rapport à un axe : soient m la masse d'un point du système, r sa distance à l'axe; le moment est I=Σmr2 = k' &m;

k s'appelle rayon de gyration par rapport à l'axe. Le rayon de gyration d'une droite de longueur 2 a par rapport à une perpendiculaire en son milieu est , celui d'un cylindre

de

a

√3

rayon de gyration par rapport à un axe est égal au carré du même rayon relatif à l'axe parallèle mené par le centre de gravité, plus le carré de la distance des deux axes.

Principes des forces vives.

160. Mouvement d'une chaîne pesante, très-mince, mais non homogène, enfermée dans un tube dont la forme

est celle d'une cycloïde située dans un plan vertical avec la base horizontale et le sommet en bas. (PUISEUX.)

Il suffit de connaître le mouvement d'un point de la chaîne, par exemple du point A qui est le centre de gravité quand la chaîne est en ligne droite. Le principe des forces vives va nous donner notre unique inconnue : d'ailleurs la réaction des parois du tube sur la chaîne est en chaque point normale au déplacement et son travail nul; la chaîne étant flexible et inextensible, les forces intérieures ne donnent pas non plus de travail, et l'on doit ne tenir compte que du travail de la pesanteur.

Prenons pour axes des x et des y la tangente et la normale au point le plus bas de la cycloïde, et appelons a le rayon du cercle générateur, s l'arc de courbe à partir de l'origine; on sait que s2 8 ay. Soient r la valeur de s au point A, ɛ la densité au point M tel que l'arc MA soit égal à l, v la vitesse de la chaîne, m sa masse. Si l'on suppose la vitesse initiale nulle, le théorème des forces vives donne, les intégrales étant étendues à toute la chaîne,

I

g

dl

¦ m2 = 8 fedt ( 3+ − 3) = &a fedt(8; — 8).

2

g

8

Mais s=r+l, et l est invariable avec le temps; donc

puisque A est le centre de gravité de la chaîne rectifiée,

Le point A se meut donc comme s'il était isolé, et toute la chaîne participe à ce mouvement bien connu.

Pour avoir la tension T en M, je considère la partie MP de la chaîne qui se trouve au-dessus : soient A' le point qui