réunissant ce résultat à celui qui précède: Les foyers du pinceau [G] sont les points de rencontre de G et des deux tangentes conjuguées de (A) qui sont vues de o sous un angle droit.

Du point o comme centre, décrivons une sphère. Au point b où elle coupe oa, menons lui un plan tangent. Ce plan, parallèle au plan (0, G) coupe (T) suivant G'. Cette droite, parallèle à G, engendre un pinceau [G'] pendant que G engendre [G].

Nous allons étendre à ce pinceau [G'] le résultat obtenu précédemment. Lorsque G engendre un élément de surface développable, le plan (0,G) a pour caractéristique of, par exemple. Le plan (b, G'), tangent à la sphère en b, et qui est parallèle au plan (o, G), a pour caractéristique la droite bf', qui est parallèle à of1. Le point f', où cette caractéristique rencontre G' n'est autre que le point de contact du plan (b, G') et de l'élément de surface (G') engendré par G' pendant que G engendre un élément de surface développable.

Le plan (T) déplacé en même temps que G a pour caractéristique af. Il touche alors aussi en f', la surface (G').

Le point f', étant le point où deux plans différents touchent (G') est, sur l'arête de rebroussement de la surface développable engendrée par G'. Nous dirons alors que:

2. Les foyers du pinceau [G'], engendrés en même temps que [G] au moyen de plans tangents à la sphère de centre o, s'obtiennent en prenant les points de rencontre f', et f'2 de deux tangentes conjuguées de (A) et lels que l'angle f', bf', soit droit.

2

Si l'on transforme ce résultat par polaires réciproques en plaçant toujours le centre de la sphère directrice au point o, on trouve cette propriété:

3. On donne une surface (A') et une sphère. On joint par une droite les points de contact de ces surfaces et de plans tangents parallèles. Cette droite engendre un pinceau lorsqu'on fait varier infiniment peu la direction de ces plans tangents. Les plans focaux de ce pinceau contiennent les axes d'une indicatrice de (A').

Si la sphère, qui entre dans cet énoncé, a un rayon infini, le pinceau devient un pinceau de normales et l'on retrouve la propriété d'où nous sommes partis.

Le theorème 3 se généralise facilement ainsi :

4. On donne deux surfaces quelconques (A' ́) (B ́), on mène à ces surfaces des plans tangents parallèles entre eux et qui les touchent en a', b'. La droite a b' engendre un pinceau, lorsqu'on change infiniment peu la position des plans tangents aux surfaces (A') et (B ́). Les plans focaux de ce pinceau ont pour traces, sur les plans tangents en a' et b', des tangentes conjuguées. La démonstration directe de cette propriété est très-simple.

En transformant par polaires réciproques le théorème 4 on trouve:

5. On donne deux surfaces (A) (B) et un point o fixe. On mène de ce point une droite qui coupe ces surfaces en a et b et l'on prend la droite D suivant laquelle se coupent les plans tangents en a et b à (A) et (B). Lorsque la droite oa se déplace autour de sa première position D engendre un pinceau dont les foyers f et f2 sont tels que af1, af2 et bf1, bf, sont des tangentes conjuguées de (A) et (B):

Reprenons le pinceau [G] transformé d'un pinceau de normales. Nous avons vu (th. I) comment on détermine les foyers de ce pinceau. Cherchons maintenant ses plans focaux.

Pour cela nous devons chercher les plans polaires des foyers du pinceau de normales, c'est-à-dire des centres de courbure principaux de la surface que l'on transforme. Les plans foa, foa, (en conservant les notations précédentes), sont respectivement perpendiculaires aux axes de l'indicatrice de cette dernière surface. Ces plans sont alors aussi perpendiculaires aux génératrices des cylindres droits ayant pour sections droites les cercles de courbure des sections déterminées dans cette surface par les plans focaux du pinceau de normales.

Ils coupent alors ces cylindres suivant des cercles égaux à ces cercles de courbures; ces cylindres se transforment en coniques situées dans les plans foa, foa qui ont pour foyer o et qui sont osculatrices en a à (A). Les grands axes de ces coniques passent par les centres des sections droites des cylindres et les perpendiculaires abaissées de f, et de f2 sur ces axes sont dans les plans polaires demandés. Connaissant les centres de courbure des sections faites dans (A) par les plans foa, foa, on sait construire ces axes, par suite, on a les plans focaux de [G].

Reprenons le pinceau [G] obtenu en considérant une sphère décrite du point o comme centre et en menant le plan tangent à cette sphère au point b où elle est coupée par la droite oa. Nous avons vu que les foyers de [G] et de [G] sont sur des droites passant par a. Nous ajouterons que les plans focaux de ces pinceaux sont parallèles entre eux.

Nous allons démontrer l'extension suivante de cette propriété:

On donne deux surfaces quelconques (A), (B). Une normale à (B) issue du point b de cette surface rencontre (A) au point a. On mène en a et b les plants tangents (T) et (U) à (A), (B): ces plans se coupent suivant une droite G. Prenons une surface (B') parallèle à (B), la normale ab la rencontre en b', l'on mène à (B) le plan tangent (U): ce plan rencontre (T) suivant G. Lorsqu'on déplace a autour de sa position les droites G, G' engendrent des pinceaux [G], [G']: les foyers de ces pinceaux sont sur des droites passant par a et les plans focaux de ces pinceaux sont parallèles entre eux.

Supposons que G engendre un élément de surface développable en tour

nant autour de fi. La caractéristique de (T) est alors fa et celle de (U) est fib. Le plan (U ́) étant parallèle à (U) a pour caractéristique une parallèle à fb et comme cette droite passe par b' où il touche (B'), c'est la droite qui joint b' au point f', où (U') rencontre fa. La surface engendrée par G', pendant le déplacement de G, est touchée par (T) au point de rencontre f', de G' et de la caractéristique fa de ce plan. Elle est touchée au même point par (U), donc G' engendre aussi un élément de surface développable. En outre, comme les droites G et G' sont constamment parallèles entre elles, les plans tangents aux éléments de surface développable engendrés simultanément par G, G' sont parallèles entre eux: ces plans sont les plans focaux des pinceaux [G] [G]. La proposition est donc démontrée.

1

Ceci est applicable à la surface (B) lieu des intersections successives de sphères de rayons variables dont les centres sont sur une surface (A) et à une surface parallèle de (B). Une sphère variable de centre a touche (B) (qui a deux nappes) en b et b1, les plans tangents en ces points aux nappes de (B) se coupent en G, les plans tangents à la surface parallèle à (B) se coupent en G': lorsque l'on prend les sphères dont les centres sont des points de (A) autour de a, G et G' engendrent des pinceaux dont les foyers sont sur des droites passant par a et dont les plans focaux sont parallèles entre eux.

Quatre points sur une droite, forment une division harmonique, lorsqu'on a la relation.

Si on considère les deux membres de cette relation comme représentant des rapports géométriques, la relation devient alors une équipollence, qui exprime que les quatre points forment sur le plan ce qu'on peut appeler une division harmonique plane.

Il résulte immédiatement de là que les angles ACB, ADB sont sup

plémentaires, et que par conséquent les quatre points sont sur une même circonférence. Connaissant A, B, si on construit sur AB comme corde une circonférence quelconque, si on mène le diamètre EF perpendiculaire à AB, et si on joint E, F à un point I quelconque de AB, les points Cet D où EI, FI coupent la circonférence, satisfont à la relation harmonique (1).

Cette relation (1) peut prendre diverses formes, qui expriment autant de propriétés géométriques. Par exemple, si C, D, divisent harmoniquement le système A, B, réciproquement A, B, divisent harmoniquement C, D, on a aussi

I

2

I
AC AD AB

+

ce qui donne une pro

priété immédiate et très-simple en transformant par inversion par rapport au pôle A; etc.

En appelant M le milieu de AB, N le milieu de CD, O un point quelconque du plan, on trouve encore

équipollence fort générale dans sa simplicité, et qui donne lieu à plusieurs conséquences.

Cette considération, nouvelle seulement dans la forme où elle est présentée, permet de résoudre simplement un grand nombre de problèmes, dans le détail desquels nous ne saurions entrer ici.

Indiquons seulement la notion de la moyenne harmonique OH d'un certain nombre de droites OA, OA,, OA,, OA,, définie par l'équipollence

et contentons-nous d'énoncer ce théorème, presque intuitif: si les points 0, A, A,..........An sont situés sur une même circonférence, le point H sera lui-même sur cette circonférence.

M. HALPHEN

Capitaine d'artilleric, Répétiteur à l'École polytechnique.

SUR LES INVARIANTS DIFFÉRENTIELS DES COURBES GAUCHES.

seance au 27 août 1878.

M. HALPHEN fait l'étude complète des invariants différentiels des courbes gauches, ou des premiers membres des équations différentielles qui expriment les propriétés projectives de courbes gauches. Il montre qu'au-dessous

du septième ordre, il n'existe que deux invariants, l'un du troisième ordre, l'autre du sixième. Le premier invariant, égal à zéro, exprime que la courbe est plane; le second conduit à diverses propriétés dont la comparaison donne lieu à des théorèmes nombreux et très-intéressants, et, par exemple, au suivant: Si les génératrices rectilignes d'une surface développable, appartiennent à un même complexe linéaire, la section faite dans cette surface, par l'un quelconque de ses plans tangents, a pour point sextactique son point de contact avec l'arête de rebroussement. De plus, l'auteur résout complétement le problème de trouver toutes les surfaces développables jouissant de cette propriété et circonscrites à une quadrique, et aussi celui de trouver de telles surfaces dont les arêtes de rebroussement soient situées sur des quadriques.

M. MARCEL DEPREZ fait l'historique des recherches antérieures sur les régulateurs de vitesse, et rappelle la grande part qui appartient, dans cette invention, à M. Édouard Gand, de la Société industrielle d'Amiens. Il fait ensuite l'exposé d'un nouveau principe de régulateur et donne les résultats d'expériences qui sont vraiment remarquables.

M. FOURET expose le résultat de ses recherches sur la détermination du lieu des points d'un plan, en chacun desquels se coupent, suivant une loi donnée, K branches de courbes appartenant respectivement à K systèmes donnés. La loi est définie par une relation algébrique entre les rapports trigonométriques de l'inclinaison des tangentes aux courbes considérées sur un axe fixe; les systèmes des courbes sont donnés par leurs caractéristiques. Le résultat s'exprime par une formule très-générale qui fournit, comme cas très-particuliers,