la formule (A) à un cas particulier très-simple; c'est-à-dire celui dans lequel a = 3, et m = 4. On trouve Je n'ai pas l'intention d'exagérer l'importance du sujet que je traite, mais je crois que l'introduction de ces fonctions dans la théorie des nombres pourrait conduire à des résultats très-intéressants. Je me propose, comme une des plus simples applications, de trouver les sommes de séries, comme les suivantes, ou, pour mieux dire, de les transformer en d'autres qui contiennent des fonctions d'ordre inférieur. La factorielle (a+m)! se compose de (n-1) facteurs diminuant d'une unité, 1, et pour n = 1, le coefficient se réduit à 1. Faisons une application de la première des formules précédentes à une série particulière, comme 21 +22 + 23 + 24 + 25 la nouvelle forme sous laquelle se présente la série est très-élégante, et me semble nouvelle : Je terminerai, en donnant une formule qui joue dans le premier ordre des nouvelles fonctions, le même rôle que celle du binome de Newton dans l'élévation aux puissances. où la factorielle du numérateur se compose de (n vont en décroissant d'une unité. Je crois utile d'ajouter que la fonction ((a)) de considérer et qui est, pour ainsi dire, la a... 1) facteurs qui =ma que nous venons base des nouvelles trans = a et qu'il formations est essentiellement différente de a n'y a pas lieu de les rapprocher, en les groupant sous le même ordre de fonctions comme l'a fait Woepcke. Cette dernière fonction a été étudiée par Condorcet et par Euler dans le volume des Actes de l'Académie de Saint-Pétersbourg pour 1777; par Grillet dans le journal de M. Liouville, par Eisenstein dans le Journal de Crelle de 1844, et par Woepcke dans le travail cité plus haut. M. COUSTE se propose d'examiner les arguments par lesquels on a cherché à établir que le système solaire est, par sa constitution même, destiné à périr. Il essaye de prouver que parmi les arguments invoqués, il y en a deux qui lui paraissent erronés, à savoir: la résistance de l'éther et l'action du phé nomène des marées sur la retardation du mouvement diurne. D' 0.-J. BROCH Professeur à l'Université de Christiania. NOTE SUR LA CONVERGENCE DE LA SÉRIE DU BINOME DE NEWTON - 1, série oscille entre les valeurs 0 et 1. Enfin, dans le cas de m> on se borne le plus souvent à faire observer que la série a ses termes alternativement positifs et négatifs, et que ces termes vont en diminuant (Voir BERTRAND, Traité de Calcul différentiel, p. 293). Abel traite d'abord le cas de m positif, et démontre que les termes, alternant de signe, ont pour limite 0; mais pour m compris entre 1 et 0, il se borne à dire qu'on peut démontrer, comme dans le cas précédent, que les termes tendent vers zéro; mais alors la démonstration doit être modifiée. Voici la démonstration de convergence que je donne pour ce cas, dans mes cours à l'Université de Christiania : Soit me, e étant une fraction positive plus petite que l'unité. La série a la forme Soit une fraction positive plus petite que l'unité, on aura: Pour toute valeur de comprise entre 0 et 1, on peut toujours trouver comprise aussi entre 0 et 1, de telle sorte que l'on ait : une fraction Donc, pour toute valeur de ε, comprise entre 0 et 1, on peut trouver une valeur de è, comprise dans les mêmes limites, et telle que n + 1 8 Un + 1 Un < 1 ou (n + 1)8 un + 1 < nò un . ท Ainsi l'expression no un A diminue lorsque n augmente, et l'on a pour p positif mais, quelque petit que soit l'exposant positif d, on peut toujours trouver un nombre p suffisamment grand pour que (n+p) surpasse un nombre quelconque; donc un décroît indéfiniment, et la série donc nun décroît constamment, et un diminue indéfiniment jusqu'à zéro ; donc la série est convergente. Dans l'étude des mouvements apparents à la surface de la terre, on néglige d'ordinaire le carré de la vitesse o de rotation du globe. M. Lottner et Ed. Bour (*) ont cherché à résoudre le problème sans cette restriction, mais leurs solutions, comme je l'ai fait voir (**), sont en erreur de quantités de l'ordre de w2. Tous deux se servent des équations de Lagrange pour le cas où les variables sont réduites au plus petit nombre, et Bour a même trouvé une équation [(IV), p. 15 de son mémoire] qui me semble la plus commode pour aborder ces problèmes. Reprenant la question, je parviens en quelques lignes à cette équation que Bour n'obtenait qu'après d'assez longs calculs, et dont l'interprétation géométrique me conduit, dans le cas des mouvements relatifs terrestres, (*) Journal de Crelle, t. LIV, p. 20, et Journal de M. Liouville, 2o série, t. VIII, p. 1. (**) Etude hist. et crit. sur la rotation autour d'un point fixe, p. 88. |