CONSTRUCTION DES CENTRES DE COURBURE PRINCIPAUX DE LA SURFACE DE VIS A FILET CARRÉ. Nous allons résoudre ce problème en particularisant la construction que nous avons donnée relativement à la surface de vis à filet triangulaire. Le point f de la fig. 14 est maintenant à l'infini; la normale en m à la surface de vis, se projette suivant une perpendiculaire à om, le point test confondu avec le point m et le point g est confondu avec le point o. Le point fest tel que of, Xom=h2 et comme h est donné, on peut construire f1. La construction précédente devient alors celle-ci On mène (fig. 15) les droites ef, lm. Ces droites se coupent en n. La perpendiculaire issue de ce point à f ̧m rencontre la circonférence décrite sur f, m comme diamètre en deux points: les droites, qui joignent ces points au point s̟, rencontrent la normale en m aux points b et c qui sont les projections des centres de courbure demandés. Nous allons simplifier cette construction, on a : mb = mp × mk = mo × mf1 mb = md. =md 2 Il suffit alors de prendre odh et de porter le segment md en mb et me pour avoir les projections b et c des centres de courbure demandés. L'angle odm est égal à l'angle que le plan tangent en m à la surface de vis fait avec le plan tangent en o à cette surface, on aura alors la longucur mb' du rayon de courbure principal pour le point m, en élevant la perpendiculaire do' à dm. Il est facile d'arriver directement à cette dernière construction. M. JAUBERT PRÉSENTATION D'UN RÉFLECTEUR PARABOLIQUE A TRÈS-COURT FOYER. M. JAUBERT présente un réflecteur parabolique à très-court foyer dont la distance focale est égale à trois fois le diamètre. Les récentes découvertes faites en Amérique ont été obtenues à l'aide de puissants reflecteurs, de telle sorte que l'étude de ces appareils présente un intérêt réel. M. TCHEBICHEF Membre de l'Académie de Saint-Pétersbourg, associé de l'Institut de France. § 1. A l'Exposition universelle, on peut voir actuellement, les différentes applications d'un parallelogramme articulé que j'ai trouvé d'après un théorème sur les fonctions qui s'approchent le plus de zéro. Ce parallélogramme, ne contenant que trois tiges droites, donne le mouvement rectiligne avec une approximation très-notable, qui surpasse celle qu'on obtient par les parallelogrammes composés des mêmes éléments, c'est-à-dire par le parallélogramme simple de Watt et le mécanisme d'Evens. § 2. Ce parallelogramme est composé de deux tiges AC, A,C1, d'égale longueur, qui tournent autour de deux points fixes C, C1, et sont reliées. à leurs bouts A, A, par une troisième tige AA, (pl. II fig. 1). C'est le milieu M de cette dernière tige qui décrit une ligne droite avec une précision considérable, toutes les fois que la longueur des tiges AC, A, C, et la distance CC, des points fixes C, C, remplissent les conditions suivantes : 1. La distance CC, doit être rigoureusement égale au tiers de la somme des lignes AC, AA,, AC1. 2. La longueur de la tige AA, doit surpasser le quart de celle des tiges AC, AC, mais ne doit pas différer notablement de cette limite. 1 4 A mesure que la différence AA, - AC tend vers zéro, la longueur de la portion sensiblement rectiligne de la courbe décrite par le point M diminue, mais en même temps la rigueur avec laquelle elle représente une ligne droite croît plus rapidement que ne diminue sa longueur. § 3. Je vais montrer maintenant les résultats auxquels je suis parvenu en examinant un mécanisme un peu plus compliqué que le précédent. Ce mécanisme est composé de mêmes éléments, cependant le point qui décrit sensiblement une ligne droite ne se trouve plus sur la ligne AA, mais sur une perpendiculaire NM, menée de son milieu (fig. 3). D'après la méthode que nous venons de mentionner, on reconnaît que pour la précision du jeu de ce mécanisme, il est indispensable que c MN ait la valeur suivante : où par r et a nous désignons la longueur des lignes AC A, C, et AA,, et par la valeur commune des angles ACC1, à ̧¤‚¤‚ à ̧a¤‚ àà ̧C1 dans la position moyenne du mécanisme. § 4. Toutes les fois que le lieu du point M est choisi conformément à la formule (1) et que la différence ne s'éloigne pas trop de zéro, ce mécanisme donne le mouvement rectiligne avec une précision notable. Cette précision croît à mesure que la différence (2) s'approche de zéro, mais en même temps la longueur de l'arc qui jouit de cette précision diminue. Dans le cas où l'on a rigoureusement cette longueur se réduit à zéro, et alors la courbe décrite par le point M a un contact du 6me ordre avec une ligne droite. Nous allons nous arrêter sur ce cas, limite vers lequel converge notre mécanisme à mesure que la précision de son jeu va en augmentant, et dont il diffère peu, si cette précision est suffisante. § 5. Pour ce cas limite, d'après les équations (1), (3), nous trouvons D'après ces valeurs de AA, a, MN c, et en remarquant que AC = A1C1 =r, nous tirons des triangles CDC1, ADA, la formule suivante pour la détermination de CC1 = b: Comme ces valeurs de a, b, c ne changent leurs signes que pour les valeurs de l'angle qui annulent les expressions et qui sont sin 2p, cos 29, sin 3p, cos 39 0, 30°, 45°, 60°, 90° il est certain que notre mécanisme ne peut changer sa forme entre les limites indiquées c'est-à-dire ; Pour rendre bien compte de toutes les modifications que ce mécanisme peut subir, nous avons calculé, d'après les formules précédentes, les éléments pour quatre valeurs de 9, prises à égales distances de ces limites, savoir : = 15°; 37° 30'; 52° 30'; 75°. Les figures (3), (4), (5), (6) représentent notre mécanisme avec les éléments qu'on trouve comme nous le venons de dire, et en prenant r égal à 0.05 mètre. Toutes ces modifications donnent le mouvement rectiligne avec le même degré de précision; notamment la courbe décrite par le point M a toujours un contact de 6o ordre avec une ligne droite. Sans ce rapport, toutes ces modifications sont également bonnes; mais on remarque une grande différence entre elles, quand on passe au cas, où l'on cherche à obtenir le mouvement rectiligne le long d'une course plus ou moins grande. § 6. Dans le cas où la différence 2r cos 1 COS a sin 24, - a ne se réduit pas à zéro, mais en diffère peu, le mécanisme articulé, pour lequel c a la valeur (1) donne le mouvement rectiligne avec une grande précision, et cette précision aura lieu le long d'une courbe d'une certaine longueur. La détermination de la longueur de cette courbe se fera de la manière suivante : et en désignant par t celle des racines de l'équation 2 sin (1+2)+ t (3 + t2) − (1 − t2) T = 0, --- qui se rapproche le plus de 0, on cherche l'angle a, d'après la formule Cet angle, pris avec les signes + et —, donne les inclinaisons limites de la ligne AA, sur la ligne CC, pour le commencement et pour la fin de la course en question. Ayant trouvé l'angle a, nous aurons la longueur de la course cherchée par la formule Le long de toute cette course, les écarts de la courbe tracée par le point M et une droite, restent comprises entre + E et E, la valeur E étant déterminée par la relation ዋ § 7. Dans le cas où l'on se propose d'obtenir une précision et une course préalablement données, on prendra pour a, r, q, c des valeurs qui satisfont aux équations (1), (4), (5), et dans lesquelles 1, E doivent avoir des valeurs données. Comme l'on doit vérifier seulement trois équations, on pourra choisir l'angle à volonté. Dans ce cas, en donnant à l'angle les valeurs que nous avons indiquées ci-dessus, on aura les quatre formes différentes du mécanisme que nous avons déjà vues. Toutes ces formes jouiront de la même précision le long de la même course; mais elles différeront notablement entre elles par la longueur de leurs éléments et par leur disposition. § 8. Pour comparer entre elles ces quatre modifications, nous allons chercher les expressions approximatives de leurs éléments, en supposant E que le rapport a une valeur très-petite, ce qui a lieu toujours dans les mécanismes à grande précision. En cherchant, dans cette hypothèse, le développement de r, a, b, c en |