simultanément un nombre indéterminé y et son carré y2. Les équations y = x2 + tu2, y2 = z2 + tv2, avec les conditions u = x + x, v = ß, rentrent dans cette catégorie. On a, en effet, en vertu du principe énoncé, y2 = (tu2 — x2)2 + t. 2xu2, d'où et, par suite, tu2 x2 = z2, 2xu = v', tu2 — (u — a)2± ß = Qu (u — a), et u2 (t−3)+4a u — a2±ß = 0, Pour que la valeur de u donnée par l'équation (E) soit rationnelle, on ne devra prendre pour t que les valeurs qui rendent la quantité placée sous le radical égale à un carré parfait. Par exemple, si l'on demande que a = 1, on trouve que t ne peut recevoir que l'une des six valeurs auxquelles répondent en nombres entiers les solutions. B ainsi l'on a 29 = 32 +5. 22 et 292 = 112 +5. 122, etc. La formule (E) donne une infinité de solutions, si l'on demande seulement que les valeurs de x, u, z et v soient rationnelles. Par exemple, a = 3 et ẞ = ±5, si l'on doit avoir les valeurs de u que donne l'équation (E) sont comprises dans les deux suites indéfinies, pour le signe + de ß, correspondantes, respectivement, aux valeurs ci-après de t et, pour l'autre signe de 3, dans les deux autres suites Soit, par exemple, t = 19; on a les deux solutions 1 3 = 4, d'où y = (— 4)2 -- 19 (— 1)2 = 35 et y2 = 32 +19. 82 = 352. Dans ces deux solutions les conditions initiales sont observées, car Le travail dont nous voulons indiquer, seulement, le point de départ et les résultats principaux, a pour but l'étude des propriétés du pinceau de normales issues d'un point à une conique à centre. 1. On sait que les coniques sont des courbes unicursales et que leurs coordonnées peuvent, quels que soient les axes choisis, s'exprimer rationnellement en fonction d'un paramètre variable t, par les formules f, F,, étant des fonctions du second degré seulement. 2. Nous désignons par P le point d'où partent les normales; et nous appelons a, ß, ses coordonnées : 39 A1, A., A ̧, À, sont les pieds des quatre normales issues de ce point; leurs coordonnées respectives; ... ... sont les centres des cercles circonscrits aux triangles formés par les pieds des normales, pris trois à trois (C, correspond au triangle A,A,A,, et ainsi des autres); représentent respectivement les coordonnées des points C1, C2,... m, désigne le coefficient angulaire de la normale PA,, , celui de PC, et p, celui de OC, enfin, M1,, celui de la droite A,A,. 192 3. Voici quelques formules auxquelles nous sommes arrivés, par des calculs qui sont assez rapides, mais que, pour écourter, nous ne transcrivons pas ici. (1) 1o Le cercle A,A,A, a pour équation (x + x)2 + (y + y)2 — a (x + x1) — ß (y + y1) Y) 2o Les coordonnées du centre de ce cercle sont données par les rela 3o Les coefficients angulaires m, P., M1,2 satisfont aux formules: 4° Quand un cercle passe par les pieds de trois normales concourantes, son équation étant : et les coordonnées a, ẞ du point de concours de ces trois normales sont données par les formules: 4. De ces formules on peut déduire un très-grand nombre de théorèmes, notamment ceux qui sont démontrés dans un opuscule de M. Desboves** et ceux qu'a donnés M. Laguerre, dans le travail que nous venons de citer. Nous donnerons, simplement, quelques énoncés que nous croyons nouveaux et que nous choisissons, parmi ceux qui nous paraissent les plus dignes de remarque, dans le mémoire dont nous venons de donner une idée. Théorème I. - Le cercle qui passe par les trois points A, A,, A,, coupe, ainsi le veut le théorème de Joachimstal, l'ellipse en un quatrième point A, diametralement opposé au point A. Ce même cercle va passer par la projection du centre 0, sur la tangente au point A'. Théorème II. - Si l'on joint le point C, au centre O de l'ellipse et qu'on prolonge cette droite d'une longueur double, le point ainsi obtenu est situé sur la normale au point A. Théorème III. La somme des puissances du centre de l'ellipse, par • Voyez, sur les coefficients angulaires m et, un théorème de M. Laguerre. (Comptes rendus de l'Académie des sciences. 22 juin 1877, tome LXXXIV). Desboves. Théorèmes et problèmes sur les normales aux coniques. Mallet-Bachelier, 1861. rapport aux quatre cercles qui passent par les pieds de quatre normales concourantes, points combinés trois à trois, est constante, et égale à 2(a2 + b2). Théorème IV. La droite qui joint le point C1, au milieu de la droite OP, et la normale PA,, rencontrent l'ellipse en quatre points situés sur un cercle. Théorème V. Si l'on prend le milieu de A,C,, et celui de A,C,, la droite qui joint ces deux points, et la droite CC, rencontrent l'ellipse, en quatre points, situés sur un cercle. Théorème VI. - Le segment intercepté sur l'axe des x par les deux normales PA, PA,, est double de la projection de la droite C1 С2, sur ce même axe. Théorème VII. - Considérons une normale PA, et nommons B ̧ le milieu du segment intercepté sur cette normale par les axes; les points C forment un polygone homothétique à celui des points B: l'homothétie est inverse; le rapport d'homothétie est égal à 1; et le centre d'homothétie s'obtient en partageant la droite OP, dans le rapport de 1 à 3. Théorème VIII. - Si nous appelons A",, le second point de rencontre de la normale PA, avec l'ellipse et, comme nous l'avons déjà dit, A', le point symétrique du point A, par rapport au centre 0 de l'ellipse, le cercle A‚ ̧Â, va passer par la projection du point P sur la droite A'‚A”.... Nous ne multiplierons pas davantage ces énoncés; nous indiquerons seulement, en terminant, le procédé que nous avons employé et qui, croyons-nous, peut donner un très-grand nombre de théorèmes trèssimples dans le genre des théorèmes 1 et 8, qu'on vient de lire. Voici ce procédé : L'équation d'un cerle, w peut s'écrire x2 + y2 + Аx + By + C = 0 x2 + y2 + (A + A') x + (B + B') y + C + C' = A'x + B'y + C'; le second membre est une droite arbitraire D; le premier membre représente un nouveau cercle w'; par conséquent le cercle o passe par les points communs à D et à w'. On trouvera donc ainsi autant de points remarquables qu'on le voudra du cercle w. C'est ainsi qu'après avoir écrit l'équation (1) sous la forme on voit que le cercle AAA, passe par les points communs au cercle, x2 + y2 + xx、 + yy. = 0 |