Ce cercle est celui qui est décrit sur OA', comme diamètre; cette droite c'est la tangente au point A'. On a donc tout à la fois le théorème de Joachimstal et son complément, savoir le théorème 1. Soit F (fig. 1) un point fixe, centre d'attraction qui agit sur un point mobile d'après la loi Newtonienne. Soit M la position initiale du point mobile; on le sup pose lancé dans le plan de la figure avec une vitesse donnée v., dont la direction n'est pas définie. On demande l'enveloppe des trajectoires décrites par le mobile quand on fait varier la direction de la vitesse initiale. Le mobile, que nous pourrons assimiler à une planète tournant autour du soleil F, décrit, comme on sait, une ellipse dont le soleil F occupe un des foyers: cela suppose que la grandeur de la vitesse vo ne dépasse pas une certaine limite, Å° au delà de laquelle la trajectoire deviendrait une parabole, puis une hyperbole. Le grand axe de l'ellipse, 2a, est défini par la grandeur de la vitesse v., et par la distance initiale, ro, des points M et F. Soit MT une direction de la vitesse v.. Construisons l'ellipse particulière qui correspond à l'angle a TMA. On obtiendra aisément le second foyer F en faisant l'angle F'MT = TMA=a, et en prenant MF2a-ro. Connaissant les deux foyers et le grand axe, il est facile de tracer la courbe. Soit M' le point où cette courbe touche son enveloppe; le point M appartiendra à la fois à deux ellipses infiniment voisines, qui auront même grand axe et même foyer F, et qui passeront toutes deux par le point M. Le second foyer F' change de position, et passe en F", quand on passe de la première ellipse à la seconde; mais la distance MF" est toujours égale à 2a-r。. D'un autre côté, si l'on joint MF, MF, MF", on aura et MF+MF2a dans la première ellipse, Donc M'F"M'F'. Il en résulte que, dans le passage de Fen F", les distances aux points Met M' ne sont pas changées on en conclut immédiatement que l'élément FF" est à la fois perpendiculaire à MF et à MF', et que par conséquent les trois points M, F',M' sont en ligne droite. Le point M' où l'ellipse touche son enveloppe est donc à l'intersection de l'ellipse avec la droite MF' qui joint la position initiale au second foyer. Si l'on ajoute membre à membre les deux équations MFMF 2a, MF = 2a-ro, il vient, puisque les trois points M, F', M' sont en ligne droite, MF+MM=4a— r。, somme constante. Donc le lieu du point M est une ellipse HH', qui a les points donnés M et F pour foyers, et qui a pour grand axe la somme 4a-r.. Il est aisé de vérifier a posteriori que les deux ellipses HMH, MM se touchent au point M (*). On remarquera l'analogie de ce problème avec celui de la courbe de sûreté dans le mouvement parabolique des projectiles. Les paraboles issues d'un point M, lorsque la vitesse initiale v. est donnée de grandeur, ont pour enveloppe une parabole dont le foyer est au point M; et le point M', où chaque trajectoire particulière touche la parabole (*) Il est facile d'éviter l'emploi des infiniment petits. Pour cela, il suffit de chercher dans quelle direction on doit lancer le corps au point M pour que la trajectoire passe par un point M' donné. La solution consiste à tracer des points Met M' comme centres, avec des rayons MF'2a-ro, et M'F' 2a-M'F, des arcs de cercle qui se couperont au second foyer. Il y a deux solutions si les deux cercles se coupent, une seule s'ils sont tangents, et point de solution s'ils sont extérieurs l'un à l'autre. Le point M' est situé sur l'enveloppe dans le cas où les deux cercles sont tangents, c'est-à-dire lorsque les trois points M, F', ' sont en ligne droite. enveloppe, est sur la droite MF' qui joint le point M au foyer de cette trajectoire. On passe d'un problème à l'autre en supposant que le point F v02 s'éloigne à l'infini, la distance MF' restant constante et égale à 2g Si, au contraire, c'était le foyer F' qui passât à l'infini, le point M' serait aussi infiniment éloigné, et il n'y aurait pas d'enveloppe; c'est ce qui arrive pour le mouvement parabolique des comètes. Examinons le cas du mouvement hyperbolique, lorsque v ̧2 > 2f; la Το même méthode peut être suivie et donne la courbe enveloppe des hyperboles correspondantes à une même valeur vo de la vitesse initiale. Mais le point M' (fig. 2) où l'hyperbole touche son enveloppe, est situé sur la branche P'Q', et non sur la branche PQ, véritable trajectoire du point mobile; de sorte que le lieu des points M' est une enveloppe géométrique, mais non une courbe de sûreté. Ce lieu est une ellipse. En effet, appelant 2a l'axe AB de l'hyperbole, axe constant par hypothèse, on a MF=2a+r.; d'ailleurs M'FMF 2a, puisque le point M est sur l'hyperbole. Donc enfin, = MF + MM = MF-MF+M'F' + MM=2a +2a+r。=4a+r。, quantité constante. L'enveloppe cherchée est, en définitive, une ellipse HH', ayant 4a+r. pour grand axe et les points M et F pour foyers. Il y a un dernier cas à examiner, celui où, au lieu d'être attiré vers un centre fixe F, le point mobile serait soumis à une répulsion émanant de ce centre. La trajectoire est alors hyperbolique, mais le mobile décrit la branche d'hyperbole qui laisse le foyer F en dehors de sa concavité. Le second foyer F' est situé à une distance r. -2a du point M, et il est facile de s'assurer que cette différence est toujours positive (*). (*) Soit le coefficient de l'attraction rapportée à l'unité de distance et à l'unité de masse; A le double de l'aire décrite dans l'unité de temps par le rayon vecteur FM; B la différence 2f To f Le demi-axe a de la trajectoire est donné par l'équation a=— B Le point M', où l'hyperbole trajectoire touche son enveloppe, se trouve situé, tantôt sur la trajectoire elle-même, tantôt sur la branche opposée, et il est facile de démontrer que la différence des distances M'M — MF est égale en valeur absolue à la quantité constante 4a-ro, prise ellemême en valeur absolue. L'enveloppe cherchée est donc une hyperbole dont les foyers sont les points M et F; l'une des branches de cette hyperbole, celle qui touche les trajectoires proprement dites, est une courbe de sûreté; l'autre branche est une simple enveloppe géométrique, et n'a pas de signification mécanique. Le cas particulier de 4a= =r。 doit être remarqué : car alors l'enveloppe cherchée devient la perpendiculaire élevée au milieu de la droite MF. Il est à peine besoin de faire remarquer que ces résultats s'étendent à l'espace, en faisant tourner la figure autour de l'axe MF. M. E. CATALAN Professeur d'analyse à l'Université de Liége. SUR LES LIGNES DE COURBURE DE L ELLIPSOIDE ET DE LA SURFACE Séance du 24 août 1878. 1. Lignes de courbure de l'ellipsoïde. 1. On sait que, l, m, n étant les cosinus directifs de la normale MN à une surface quelconque, les lignes de courbure peuvent être représentées par Introduisons, comme nouvelles variables, le rayon vecteur u et la distance v de l'origine au plan tangent en M, de manière que u2 = x2 + y2 + z2, v = lx + my + nz. (2) est donc toujours positif. Dans le cas de la répulsion, f est négatif; (*) Ce petit travail, encore incomplet, peut être regardé comme faisant suite au Mémoire sur una transformation géométrique et sur la surface des ondes (Académie de Belgique, 1868). Nous pourrons prendre, comme équation des lignes de courbure, 3. Transformation de l'équation (3). Soient, comme dans le Mémoire, z, B, y les cosinus directifs d'une droite OA, perpendiculaire au plan OMN. En posant donc, si l'on désigne par le premier membre de l'équation (9), on a, au lieu de cette équation, vp = Σa2(b2_c ¡a2(b2—c2)(uv3du—b2c2dv)[k2v2+(c2—v2)(a2—v2)][k2v2+(a2—v2)(b2—v2)] Σ(b2_c2) (uv3du—b2c2dv)[k2v2+(c2—v2)(a2—v2)][k2v2+(a2—v2)(b2—v2)] (*) Mélanges mathématiques, p. 244. (**) Mélanges, p. 262. (12) |