expression importante du rayon de courbure cherché. Si l'hodographe est circulaire, on peut écrire On conclut de là que w est perpendiculaire à e, et que v peut se mettre sous la forme Identifiant avec l'expression (13) on trouve, par l'égalité des parties imaginaires La proportionnalité des aires et des temps peut se généraliser pour un mouvement quelconqne. Appelant l'aire décrite, XH la vitesse, XK l'accélération, et OXK est nulle seulement pour une accélération centrale. Accélérations des divers ordres. Soient w1, W2, W3,... les accélérations successives d'un point mobile; si nous posons v ve nous pourrons écrire, en décomposant l'accélération Wp suivant la tangente et la normale, (22) puis, en prenant la dérivée formules permettant de construire sucessivement les accélérations des divers ordres, Dans ces expressions, on pourra remplacer les dérivées successives de p par des quantités contenant les rayons de courbure des développées successives, car en appelant ?, le rayon de courbure de la pème développée de la trajectoire. Pour la suraccélération, il vient En décomposant l'accélération wp suivant le rayon vecteur, et perpendiculairement à cette direction, on a Wp = ( Up + izp) eo, dup dt 1) + i (dap + wu w désignant la vitesse angulaire. Si nous appelons w', w",... les accélérations angulaires successives, et q, q', q',... la vitesse et les accélérations successives suivant le rayon vecteur, on a pour l'accélération : Աջ 21 = 2wq+w'r; 3w2q 3ww'r, (33) = Zq3wg+3w'q + w'r w3r; et pour l'accélération du troisième ordre : -- (3w'2 + sww")r + w+r, 6w2w')r. w3)q + (w" Soient XU, XU1, XU,,... la vitesse et les accélérations successives du point X. Il sera aisé de déterminer les tangentes et les rayons de courbure des trajectoires de ces points, en partant de la relation U2 = x + wn. De plus, on trouve Soit 0,X, la position d'une droite primitivement en OX. Si 00, A, et angle (0,X,, OX) = a, on a ce point restera immobile; on le construit très-aisément, d'après la for mule (38). Pour un mouvement infiniment petit, Q est le centre instantané de rotation; la formule (38) devient Pour un mouvement continu, M étant la position prise au temps t par le point primitivement à l'origine, et à l'angle de rotation total, nous avons Le roulement de la courbe (41) sur la courbe (40) représente le mouvement. Le point primitivement en X. viendra en X au temps t, et La courbe roulante, dans la position répondant à l'instant t', est représentée On reconnaît sans peine que les courbes (A) et (2) sont à tout instant tangentes entre elles. D'après (40) et (42), on trouve que la vitesse de x est l'accélération du point U sera nulle. On appelle ce point centre des accélérations. La perpendiculaire en U à QU coupe la tangente et la normale aux courbes roulantes en deux points A et B, tels qu'on a respectivement On verrait aussi que la perpendiculaire à MU en U coupe l'accélération de M et une perpendiculaire à cette accélération en deux points tels qu'on a respectivement Ces expressions conduisent à diverses conséquences faciles à déduire, et sur lesquelles nous n'insisterons pas. On reconnaît aussi qu'il existe un centre des accélérations Un pour une accén+1X lération quelconque dtn+1, et que Si on choisit précisément pour le point M le centre Un, on a On a, sur un plan, n points mobiles X.,... Xn, respectivement animés des vitesses XV1,...Xn Vn. Pour chacun d'eux, on construit le triangle OAY directement semblable à OXV, OA étant une droite fixe donnée. Pour un point Z, ayant la vitesse ZU, on construit de même OAT, directement semblable à OZU. Comment Z doit-il être déduit des points X,...Xn, pour que T soit à chaque instant le centre de gravité des points Y,... Yn? ET SON APPLICATION A CELLE DES DÉTERMINANTS DES FORMES QUADRATIQUES. M. PIERRE SINDICO fait une communication dans laquelle il cherche à prouver que le système de Copernic, accepté par tous les astronomes, n'est pas le véritable système astronomique. SUR UNE TRANSFORMATION DES SÉRIES NUMÉRIQUES (*). |