culier, le théorème suivant : étant donnés, dans l'espace, deux polygones réguliers de m côtés dont les sommets se correspondent chacun à chacun, consécutivement, la somme des puissances d'exposant 2n, plus petit que m, des distances des sommets correspondants des deux polygones ne change pas, lorsque l'on fait tourner les deux polygones, d'un même angle, dans leurs plans respectifs. M. HALPHEN, capitaine d'artillerie, répétiteur à l'École polytechnique, fait une communication sur le nombre des coniques qui satisfont à cinq conditions indépendantes entre elles. Il définit la somme de plusieurs autres conditions, l'équivalence de deux conditions, la condition élémentaire, et démontre la proposition suivante : une condition quelconque est équivalente à la somme de plusieurs conditions élémentaires. Il parvient ainsi à la résolution complète d'un problème fondamental de la théorie des caractéristiques. M. PAYEN explique sur un mécanisme spécial, et fait ensuite fonctionner devant les membres de la section, la merveilleuse machine arithmométrique due au génie, à la persévérance et au désintéressement de Thomas, de Colmar. On sait que l'arithmomètre Thomas permet de faire une multiplication de deux nombres de dix chiffres, en moins d'une minute, avec la plus grande exactitude, ainsi que l'opération inverse de la division d'un nombre de vingt chiffres par un nombre de dix chiffres. Cette machine dispense de consulter les tables de multiplication prolongées sur le modèle de la table de Pythagore. La plus étendue de ces tables, publiée par Crelle, l'illustre géomètre allemand, donne les produits des mille premiers nombres l'un par l'autre, et contient mille pages in 4°. Il faudrait une bibliothèque immense pour réunir en volumes tous les produits des nombres de dix chiffres au plus, l'un par l'autre, et notre bibliothèque nationale pourrait à peine loger la millionième partie de tous les volumes contenant simplement les produits. Nous ajouterons d'ailleurs que la consultation de cette table serait infiniment plus longue que celle de l'opération directe par l'arithmomètre, avec la vérification par l'inverse de l'ordre des facteurs. M. COLLIGNON, président de la section, fait observer que l'on peut transformer la table de Pythagore, à double entrée, par une table à simple entrée, contenant les carrés de tous les nombres, et que la multiplication de deux nombres quelconques a et b revient à la différence de deux carrés, par la formule M. EDOUARD LUCAS fait ressortir l'importance de l'arithmomètre Thomas dans les recherches d'arithmétique supérieure; il fait observer que l'admirable invention des logarithmes est souvent illusoire dans son application à la théorie des nombres. En effet, l'emploi des logarithmes ne donne le produit ou le quotient de deux nombres qu'avec une certaine approximation, tandis que dans les recherches arithmétiques, il est plus souvent nécessaire d'obtenir le produit exact de deux nombres, ou le reste de la division de deux nombres l'un par l'autre, alors que la connaissance, même approchée, du quotient est inutile. L'usage de cet instrument serait donc d'une grande importance dans ce que l'on appelle la théorie des congruences ou des nombres congrus (*). M. Lucas indique une amélioration à ajouter à l'arithmomètre pour cet usage spécial, et en conseille l'emploi : (*) Dans son mémoire sur le dernier théorème de FERMAT, Legendre signalait cette appellation comme incongrue. Mais, depuis, ce mot est resté, ainsi que sa représentation par un symbole spécial, très-avantageux. 1° Pour la vérification des grands nombres premiers; 2o Pour la décomposition des grands nombres en facteurs premiers; 3o Pour l'évaluation de la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée, au moyen d'une formule de Legendre, transformée par M. de Mondésir (voir le compte rendu du congrès du Havre). M. PICQUET Capitaine du génie, Répétiteur à l'École polytechnique. MÉMOIRE SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES. On connaît les formules suivantes, énoncées par M. Moutard (*), qui existent, lors de la transformation par rayons vecteurs réciproques d'une courbe ou d'une surface algébrique, entre le degré p de multiplicité du pôle de transformation, le degré q de multiplicité des points cycliques ou du cercle de l'infini, le degré m de la proposée, et les nombres analogues p', q', m' relatifs à la transformée la transformation n'altère aucun des trois nombres m, p, q; et que par suite la proposée peut être anallagmatique. Réciproquement, si la proposée est anallagmatique, la différence m-p est nécessairement paire et égale à 2q. Toute droite issue du pôle doit, en effet, couper la proposée en un certain nombre de couples de points, différents du pôle, qui se correspondent dans chaque couple, et dont le nombre ajouté au degré de multiplicité du pôle, doit reproduire le degré (*) Bulletin de la Société philomathique, 1864, page 65. (**) Ibid. Page 66. de l'équation. On aura donc, en désignant par k le nombre des couples Pour faire voir que k est précisément égal au degré de multiplicité des points cycliques, s'il s'agit d'une courbe, ou du cercle de l'infini, s'il s'agit d'une surface, rappelons que le type général des équations de degré pair, F(p) = réciproques suivant le module R, c'est-à-dire telles que toute racine p c'est-à-dire où les coefficients équidistants des extrêmes sont égaux, à les équations d'une droite issue du pôle, supposé à l'origine des coordonnées rectangulaires. l'équation de la proposée, décomposée en groupes séparément homogènes, et dont l'ensemble des termes de degré inférieur est de degré p, puisque p est le degré de multiplicité de l'origine. Si l'on y remplace les coordonnées par leurs valeurs, on aura pour l'équation aux distances à l'origine des points d'intersection de la proposée avec la droite considérée après avoir divisé par P. pm-p(cos a, cos B) + pm-p-1-1 (cos a, cos ẞ) + m + p .... (*) Il pourrait se faire également, si le terme du milieu manquait (α, = = 0) que l'équation fût réciproque d'une autre manière; il suffirait pour cela de changer de signe dans l'équation (4), tous les termes qui suivent celui du milieu; mais alors le premier membre serait divisible par 2-R2 et après la division, on retomberait sur une équation rentrant dans le type indiqué. si c'est une courbe, et pm-P 9m (COS a, cos ß, cos y) + pm-p-1qm-1. (cos a, cos ß, cos y) +... +p (cos a, cos ẞ, cos y) = 0 si c'est une surface. Si la proposée est anallagmatique par rapport à un cercle de rayon R, cette équation doit être réciproque suivant le module R, et de degré pair, en vertu de (3). On aura donc identiquement à cause de (5), pour des valeurs de λ comprises entre o et k La fonction des variables cosinus, doit donc à un facteur près s'identifier avec la fonction Op+2 qui est de degré inférieur, ce qui ne saurait être, en général, sans en diminuer le degré, mais qui peut avoir lieu ici parce qu'il existe une relation identique entre les variables. Il faudra et il suffira que l'on ait, s'il s'agit d'une courbe de telle sorte que si dans l'équation de la proposée, l'on remplace par leurs valeurs tirées de ces identités, l'on obtient pour l'équation générale des courbes anallagmatiques par rapport au cercle l'équation: k x2 + y2 = R2 k-1 (x2+y2) 4 (x.y) + (x2+y2) & (x,y) + ........ + (x2+y2) & (x,y) P+1 .... 2(k-1) 2k +(x.y) + R2 & (x.y) +..... +R(x.y) + R & (.x.y) = 0 dans laquelle (x.y) désigne une fonction homogène de degré h en x et y; ou, en mettant en évidence le degré m de la courbe, |