en sorte que si A et B sont sur la courbe donnée , et qu'on leg y fasse glisser l'un vers l'autre jusqu'à ce qu'ils se confondent en un seul point, les sécantes AB, ab, se changeront en deux tangentes correspondantes qui n'auront pas cessé de se couper sur l'axe des x ; 2°. que si R est le point de concours des droiļes AB, CD, et r celui de leurs homologues ab, cd, R et r seront deux points correspondans ; 3o. que ceux d'entre les points A, B, C, D, ..... R, .... qui, dans le systême primordial , étaient situés sur une même droite, conserveront la même disposition rectiligne dans le système déformé. Par exemple : soit pris, à volonté , six points A, B, C, D, E, F sur la première courbe , et, sur la deuxième, cherchons leurs homologues a, b,c,d,e,f; les deux hexagones ABCDEF, abcdef, seront tels que, si, pour l'un d'eux , les trois points de concours des côtés opposés sont placés en ligne droite, l'autre jouira de la même propriété , c'est-à-dire que, que, si on a opéré sur une conique, la déformation indiquée n'en aura pas changé la nature, et les deux courbes seront du niême ordre. Etant donnée une courbe, traçons-en une deuxième qui coupe en parties proportionnelles toutes les ordonnées de la première ; et, nommant toujours A, B, C, D, ...... les points du premier systême, et a,b,c,d, ..... leurs homologues dans le deuxième, respectivement, nous trouverons dans les deux courbes actuelles des propriétés analogues à celles de la construction précédente. jo. Les deux droites correspondantes AB, ab, iront se rencontrer sur la ligne des abscisses ; et, de même, si l'on appelle tangentes correspondantes celles qui sont menées par deux points honologues, A, a , l'une touchant la première courbe en A, l'autre touchant la deuxième en a , deux pareilles tangentes se croiseront aussi sur l'axe des X; 2°. le point d'intersection de deux lignes quelconques du système donné a pour homologue, dans le système déformé, le point d'intersection des deux lignes correspondantes ; 3osi la courbe primitive est une conique, la déformée sera de même nature , ainsi qu'on le démontre par la considération des hexagones inscrits. Cette dernière propriété, même est indépendante du parallélisme , que, jusqu'ici, nous avons supposé aux ordonnées , lesquelles pourraient être concourantes et réunies en faisceau ; c'est-à-dire que : « Si d'un « point, pris à volonté sur le plan d'une conique, on tire tant « de droites qu'on voudra qui aillent se terminer à la courbe, « et qu'on les divise toutes dans un même rapport, l'ensemble « des points de division formera une nouvelle conique semblable v å la première :) On emploie souvent dans les arts graphiques les deux modes : . 7 de déformation de courbe que nous venons d'exposer. Le prenset s'effectue en balançant ou faisant osciller toutes les ordonnées sur leurs bases ; le deuxième , en augmentant ou diminuant proportionnellenient toutes ces ordonnées , qui, dans ces variations demeurent constamment parallèles entr'elles. Dans l'un et l'autre cas, les tangentes se déplacent en tournant, chacune , autour d'un point fixe déterminé par l'axe des, abscisses. Appliquons ces considérations générales à un exemple remarquable : ABXY étant (pl. i, fig. 1) une circonférence de cercle rapportée à deux axes rectangulaires 04, 0x, qui partent de son centre 0 ; augmentons proportionnellement toutes ses ordonnées, et nous obtiendrons" l’ellipse concentrique abXy , dont les deux demi-axes sont Oa, OX. a et b sont, respectivement, les homologues de A et B; ainsi, les sécantes ub, AB se rencontreront, en H, sur l'axe des et les tangentes menées en b et B se couperont anssi sur cet axe OX en K; enfin, les deux angles correspondans acb, ACB, ont leurs sommets C, C, situés sur la même ordonnée; partant, ac = AC. Quoique la seule inspection de la figure apprenne que, d'après la ihéorie des lignes proportionnelles , ac = AC, yd = YD, nous allons cependant présenter ce résultat sous un nouveau jour en le rattachant à l'hexagone, ou plutôt à l'une des conséquences immédiates de l'hexagone de Pascal. La voici. « Soient (fig. 2) deux triangles (ABC, abc) tels, qu'en joignant « leurs sominets deux à deux par des droites Aa, Bb, Cc) « allant de l'un à l'autre, ces trois droites de construction cona « courent en un même point (S) : si l'on combine deux à deux « et dans le même ordre, les côtés opposés aux sommets ainsi appariés, et qu'on les prolonge suffisamment, les trois points « d'intersection resultans ( H, I, K ) seront distribués sur une « même ligne droite ». -- Réciproquement : « Lorsque deux « triangles ( ABC, abc ) sont tellement placés que, en com« bioant chacun des côtés du premier avec un de ceux du deuxième, « pour avoir leur point de concours, ces trois points de construc, * tion (H,1,K) se trouvent sur un même alignement : si, par a des droites, on joint deux à deux, et dans le même ordre, « les sonımets opposés, aux côtés ainsi appariés, ces droites, au « nombre de trois ( Aa, Bb, Cc), se croiseront toutes en un « même point (S). » Cela posé, revenons à la figure 1" , et menons AC et ac parallèlenient à HK. Les points H,1,K étant ici en ligne droite, les deux triangles ABC, abc sont dans le cas de la figure 2, et par conséquent, les trois droites Aa, Bb, Cc, sont concourantes; mais le point vers lequel elles tendent toutes, est situé à l'infini, puisque, par construction, Aa et Bb sont paral 1 YD, 2 lèles entr'elles ; donc Cc est aussi parallèle à l'axe des ý, et ainsi, ac=AC. On prouverait de la même manière que yd =YD. Or, par les propriétés du cercle(fig. 1): BC=AC, BD= et le triangle COD, rectangle en 0, donne BC BD = OB*, ou AC X YD= OB* = OX®, ou enfin ac x yd = Ox équation qu'on traduit par cet énoncé : « Si on mène aux extré « mités (a, g) du grand axe d'une ellipse des perpendiculaires « à cet axe, le rectangle (ac xyd) formé des parties de ces « perpendiculaires., comprises entre ce même axe et une tangente quelconque à la courbe , sera une quantité constante (OX), ( a égale au carré du demi-petit axe. » Cette proposition est tirée des coniques d'Appollonius; et Lagrange s'en est servi dans sa Théorie des Fonctions analytiques. Du centre de similitude de deux courbes semblables ; par M. MONGE. = Deux courbes quelconques du deuxième degré étant données par leurs équations, Ax*+ By?+ 2C xy + 2D x' + 2 E1-1=0, Ax? + B'y? + 2C xy + 2D' x + 2 Ely-i=0, rapportées aux mêmes axes et à la même origine; pour que les deux courbes soient semblables entr'elles et semblablement placées, il faut que l'on ait AC - AC=0, Вс! В'C 0; et par conséquent AB' AB=0 Le centre de similitude directe et celui de similitude opposée beront sur la droite qui passe par les centres de figures des deux courbes proposées ; cela posé, si l'on nomme a et. B les coordonnées d'un de ces centres de similitudes et m le quotient de la distance de ce centre de similitude au centre de la première des courbes , divisée par la distance des deux centres de figure, en faisant pour abréger 2 CDE AE? - BDO 3 - C")=H, C -H ( AB с CV H' H' + mi (AB' -- CC?) Comme la quantité m a deux valeurs, suivant que l'on substituera l'une ou l'autre dans les valeurs de set b, on aura les coordonnées des deux centres de similitude, dont l'un sera au-delà des deus centres de figures , et dont l'autre sera entre les deux. ( Voyez l'application de cette théorie du centre de similitude, dans le Traité des surfaces du second degré, vol. in-8°., pag. 194, édition 1813.) 7 Démonstration d'un théoréme (*) de Trigonométric sphérique ; par M. CORNELY (**). Dans un triangle sphérique ABC (pl. 1., fig. 3), les trois arcs de grands cercles 40,BO', COM, abaissés des sommets A, B, C perpendiculairement sur les côtés opposés , se coupent en un même point 1. Çela revient à démontrer que les trois plans, (fig. 4) SAO, SBO, SCOW, menés par les trois arêtes SA, SB, 86 pendiculairement aux faces respectivement opposées, se rencontrent suivant une même droite SI. En effet, concevons par le point un plan perpendiculaire à l'arête SC, et soit abc a l'intersection de ce plan avec la pyramide; le plan de la face SBC est perpendiculaire au plan du triangle abç, et au plan S40, ou Suo; mené par l'arète $4 perpendiculairement à la face opposée à cette arête ; donc il est perpendiculaire, à l'intersection commune ao de ces deux plans; d'où il suit que les deux droites ao et bc , situées sur le plan abc, sont perpendiculaires entr'elles. On prouve de la même manière que la droite. bo', intersection de la face ASC et du plan SBO perpendiculaire à cette face, coupe a angle droit le côié ac du triangle abc. Les perpendiculaires abaissées des trois sommets a, b, c du triangle rectiligne abe, se (*) L'auteur de ce théorême est M, de Siainville , qui l'a démontré par l'ana!yse, dans un Recueil de problèmes, qu'il a publié à Paris , cn 1809, i vol. in-84. (**) Les auteurs des cinq arțicles suivans de géométrie, ont été admis à l'Ecole Polytechnique, en 1812. coupent en un même point i; d'où il suit que la droite cio" est perpendiculaire au côté ab de ce triangle , et a cause de Sc perpendicnlaire au plan abc, le plan du triangle Scoll ou du triangle SCO" est perpendiculaire au plan de la face ASB, opposée à l'arête SC; donc les trois plans SAO, SBO!, SCON passent par la même droite Sil, et (fig. 5) les trois perpendiculaires À O, BO',C0! passent par le même point 1. 2 Proposition de Géométrie, démontrée par M. CHASLES. « Si par un point quelconque # (fig. 5, pl. 1), de l'une des m diagonales d'un quadrilatère gauche ou plan ABCD, od mene « deux droites dont l'une coupe les côtés AB, AD, et l'autre les © côtés BC, CD, on aura AI.BM.CK DNEAN.DK.CM.BI. En effet, les trois points H, I, N étant en ligne droite, on a dans le triangle ABD (Correspondance, 24. volume, page 258 ), HB.AI.DNE HD, AN.BI. On a de même dans le triangle BDC, HD.CK.BM = HB.CM.DK; multipliant ces deux équations membre à mienıbre, on obtient HAI.BM.CK.DN=AN.DK.CM.BI. Il est clair que si réciproquement cette équation a liev"; les deux droites ŅI, KM se couperont en un même point" H de Ia diagonale BD prolongée. Donc les deux droites KT, MN seront toujours dans un même plan KHN, et se couperont en un point G. Cette démonstration doit être ajoutée au théorême de M. Chasles, page 446 du tome 2 de la Correspondance. Démonstration de quelques Théorémes de géométrie ; par M. GIORGINI. Désignons par a, b, c les trois distances (fig:6, pl. i) OA, OB, OC, auxquelles un plan ABC coupe trois axes rectangulaires Ox, or, OZ ; l'équation de ce plan, par rapport à ces trois axes, sera (1) 7 |