V.

arc CUS

2

'etc.,

a pa'dipaetc., en

Si l'on prend t= arc sin

V x?+ya

V x2 + y2 on en tirera de même des équations au moyen desquelles on pourra éliminer des formules générales, les coefficiens différentiels de x ou de y relativement à t, ce qui leur donnera une forme

particulière relative à cette hypothèse.

х Si l'on fait t=0= arc sin=

et en même tems

V x2+2 (Vx+re=r; on aura y=r sino

ya

r; on aura y = r sin o, x = r cos , et l'on en dx dy dx dr

dr d?r tirera les valeurs

: do 'do'apa?dq= dpd pa et substituant dans les formules générales ( A), on aura les coef

dy dy ficiens différentiels

dx' dx

, etc., transformés en coefficieus différentiels du rayon vecteur " (mené de l'origine comme foyer), par rapport à l'angle o que forme ce rayon vecteur avec l'axe des abscisses.

VI. On peut appliquer ces formules aux différentes expressions des sous-tangentes, sous-normales, à celle du

rayon de courbure, et en général à toutes les expressions ou équations différentielles qui pourraient s'offrir.

Par exemple, le rayon de courbure R est, en fonction différentielle de l'ordonnée y relativemeut à l'abscisse x :

ܕ

(4(金))
+

dac RS

dy

dx2 Si l'on regarde x et y comme fonctions d'une troisième variable quelconque i, cette expression devient :

dx

dy

Si l'on y suppose, x= i, elle redonne la première. Si l'on fait y=i, elle donne celle-ci :

qui

dy2 he diffère de la première que par le changement de seny, et par le signe ; elle diffère par le signe , parce que la courbe ne peut être concave vers x sans être cotvexe vers y, et réciproquement.

Si l'on suppose (=s= la fonction de sc et y qui mesure l'arc s de la courbe proposée , la formule devient:

dy

ds R=

dży

dša et cette expression sera la plus conimode dans le cas où l'équation de la courbe serait immédiatement donnée entre l'ordonnée et l'arc. Soit, par exemple, un cercle dont s est l'arc, je l'ordcnnée, a le rayon ; on a :

dy

dy
; d'où
ds

ds?

V (1-1)

-)

ģ= a sin

et

a au rayon.

Soit encore l'équation Vau (20-0)=40 - $, qui appartient à une cycloïde , dont y serait l'ordonnée perpendiculaire à la base, s l'arc correspondant qui commence avec , a étant le diamètré du cercle générateur ; on aura : di )

go
dog

et R=2 V zay,
ds

ds2

40 ainsi le rayon courbure est double de la corde menéē du point dém crivant au point de contact du cercle générateur avec la base.

2

2a

en

2

de

et vous

و

VII, Enîn si dans l'expression générale du rayon de courbure ; ; vous faites i=r=V x2+y?, vous pourrez mettre cette formule dy d'y

dx d2x ou bien en

selon que vous voudrez dr dra

dr dra éliminer les coefficiens différentiels de x ou dey , relativement à cette troisième variable r; et vous auriez le rayon de courbure par l'ordonnée et le rayon vecteur r. Vous pourriez ensuite regarder, ġ et r comme fonction d'une troisième variable , et remettre la formule d'une manière générale en:

dý d'y dr

dar di

de de .y

dy dy faire ensuite 1 = Q = arc sin , et chasser

dt de2 auriez le rayon de courbure en :

dr dar do

dori mais vous pouvez éviter cette double transformation pour passer aux coordonnées polaires r et ø, en posant tout de suite , comine on l'a fait-ci-dessus : yar sin ,

x=rcos ; d'où en tirant les fonctions ,

· dydy

dx d'r do apre do

' et substituant dans l'expression générale (VI), après y avoir changé t en Q; vous aurez :

dr +

do RE

đạr 7242

do do? On.considère encore l'angle w que la tangente de la courbe fait avec le rayon vecteur , et qui est égalà l'angle formé par cette targente avec l'axe des abscisses, moins l'angle formé

par vecteur avec le même axe. Or, le premier de ces angles a pour

z dy - a !
do

g. tangente: --; le second, et vous trouverez que la tangenie

dx

et

{+()
el

dr

2

Ces formules seront utiles pour un grand nombre de courbes ; dont l'équation est très-simple en coordonnées polaires, et entre autres pour les spirales. ,

Soit, par exemple, la spirale logarithmique, 'dont l'équation est , r=a*; on trouve pour la tangente de l'inclinaison w de cette courbe sur le rayon vecteur r., tang w= qa, la étant le loga

la rithme hyperbolique de a. Ainsi la 'spirale logarithmique est unc courbe qui est toujours également inclinée sur le rayon vecteur. Pour le rayon de courbure, on trouye, en substituant les valeurs dr

dor de

dans la formule précédente : do

R=TV1 + (la). Ce qui fait voir que la courbure est en raison inverse du rayon vecteur.

Si a est la base e des logarithmes de Néper , le = 1. Le rayon de courbure devient r V2

et la tangente de w'est égale à l'unité.

do

e

وو.

di : , VIII.

Ce qu'on vient de dire dans cet extrait renferme la théorie de la transformation des fonctions différentielles, ou du changenient de la variable indépendante. Dans le calcul des fluxions, ce serait le changement de la variable uniforme , ou dont la fluxion est prise pour unité. Dans le systéme des infiniment petits de Leibnitz c'est le changement de la variable dont la différentielle est regardée comme constante. Mais ces diverses dénominations de repona dent, comme on voit, qu'aux divers points de vue sous lesquels on peut envisager le calcul différentiel"; et tonte cette théorie n'est qu'une application continuelle de la seconde règle générale de ce calcul; conime le Calcul différentiel relatif aux fonctions de plusieurs variables indépendantes , n'est qu'une application de la troisième règle , où l'on différentie toujours comme si les variables étaient fonctions d'une seule , mais où l'on ne perd jamais de vue, qu'elles en sont des fonctions tout-à-fait, arbitraires, ce qui laisse ces variables dans l'état d'indépendance cù elles étaient supposées.

Analyse appliquée à la géométrie;

par M. HACHETTE. Les questions d'analyse appliquée à la géométrie , dont on fait le plus souvent usage dans la mécanique, et les seules qui soient indispensables pour étudier cette science, sont relatives aux courbures des surfaces et des lignes.

J'ai réuni dans cet article les propositions démontrées par Euler , , Monge et Meusnier. J'y ai ajouté des extraits de deus Mémoires qui ont été publiés par MM. Dupin et Lancret, anciens élèves de l'Ecole Polytechpique, l'un de M. Dupin, sur les tangentes conjugées que je nommerai tangentes réciproques; l'autre sur les développoïdes des courbes à double courbure.

I. De la courbure des surfaces. L'équation différentielle du premier ordre d'une surface étant : dz=pdx + qdy ;

(1) on sait que les quantités p et 9 déterminent la direction du plan qui touche la surface au point x, y, z; c'est par cette raison qu'on les appelle élémens du contact du premier ordre. Differentiant l’équation (1), en regardant les différentielles dæ et dy comme constantes ; et supposant qu'on ait :

" ، dp rdx + sdy

da = sdx t. (dy., on a : d'z = rdx + 2 sdxdy + idy*.

(2) Les quantités r, s et t sont des fonctions de x et y , qu'on nomme élémens du contact du second ordre , parce qu'elles déterminent les rayons de courbure des sections planes de la surface, qui passent par le point x, y, z. Supposons que ce point soit l'origine des coordonnées, et en même tems le point où le plan des xy touche Ja surface ; l'axe des z sera une normale de cette surface, et le rayon de courbure d'une section normale passant par la 'droite

dy yax, sera

A cause de

ce rayon d'z

& dr d. + dya

1