dha + n. ( O. d x4 dZ d’Z ); duisent ce qu'on appelle la tension. Elle est nulle quand ces forces n'existent pas ; ce qui réduit notre équation à d’z d42 d'z + 2 (6) dť dx’dya dy4 Mais si l'on voulait considérer les surfaces tendues, telles que les tambours., par exemple, il faudrait, au contraire, conserver la constante c, et supposer n=0; ce qui donne, en changeant le signe de ci d’z + ; dt? dir2 dy2 équation deja trouvée par Euler , et qui est aussi celle dont MM. Biot et Brisson se sont servis pour déterminer quelques propriétes des vibrations des surfaces tendues. Il y a environ cinq ans, la première classe de l'Institut a proposé, comme sujet de prix, la théorie mathématique des vibrations des plaques sonores, vérifiée par la comparaison avec l'expérience ; mais, depuis cette époque, on n'a reçu qu'une seule pièce digne de l'attention de la classe. Au cornmencement de ce Mémoire l'auteur anonyme pose , sans preuve suffisante , ou même tout-à-fait sans démonstration, une équation qui est précisément notre équatiðn (b). Il y satisfait par des intégrales particulières, composées d'esponentielles, de sinus et de cosinus ; et en cela il suit. l'exemple qu'Euler a donné en plusieurs endroits , relativement à l'équation des lames vibrantes. A chacune de ces intégrales , répond une figure particulière de la plaque sonore, et le son qu'elle rend depend en général du nombre de lignes nodales qui se forment pendant ses vibrations. L'auteur calcule le ton relatif à chaque figure, puis il compare le ton calculé à celui que donne l'expérience pour une figure semblable : il trouve un accord satisfaisant entre ces deux résultats ; de sorte que l'équation des plaques vibrantes, quoiqu'elle ne fût pas jusqu'ici démontrée à priori, était du nioins suffisamment justifiée par l'expérience. Cette comparaison est la partie de son travail qui a motivé la mention honorable de la classe : elle porte sur un grand nombre des expériences de M. Chladni, et sur beaucoup d'autres qui sont propres à l'ingénieux auteur du Mémoire dont nous parlons. Il y aurait une autre espèce de comparaison bien plus difficile à entreprendre, qui serait relative à la figure produite d'après une manière donnée de mettre la plaque en vibration. On pourrait aussi desirer que les résultats du calcul fussent déduits de l'intégrale générale , et non pas de quelques intégrales particulières de l'équation (6). Malheureusenrent cette équa a tion ne peut s'intégrer sous forme finie que par des intégrales définies qui contiennent des imaginaires sous les fonctions arbitraires; ei si on les fait disparaître, ainsi que M. Plana y est par y venu dans un cas pareil ( celui des lames vibraules ), on iombe sur une équation si compliquée ; qu'il parait très-difficile d'en faire aucun usage. Pour indiquer ici tout ce qui a été fait jusqu'à présent sur les surfaces élastiques, je dois aussi faire mention d'un Mémoire sur les vibrations des plaques sonores , qui se trouve dans le volunie de Pétersbourg pour l'année 1787. En partant d'une hypothèse trop précaire, l'auteur est conduit à une équaljon différentielle , qui n'est point exacte, el qui revient à l'équation 2, en y supprinant d'iz le terme multiplié par de dra: Il y satisfait aussi par des intégrales , dx'd 7-2 particulières , composées d'exponentielles, de sinus et de cosinus ; mais il remarque lui-même que les conclusions qui s'en déduisent ne sont pas d'accord avec les expériences de M. Chladni; et maintenant, que nous connaissons la véritable équation du mouvement des plaques, nous voyons clairement la cause de cette discordance. De la manière d'employer le principe de la moindre action, pour obtenir les équations du mouvement, rapportées aux variables indépendantes; par M. RODRIGUES , licencié ès-sciences. On sait que le principe de la moindre action se réduit proprement à ce que dans un systéme de corps soumis à des forces attractives ou répulsives, duns 'lequel', généralement, le principe des forces vives a lieu, la somme des forces vives instantanees 'acquises par lous les corps en passant d'une position donnée à une autre positiun aussi-donnep.soit un maximum ou un minimum. Ca principe combiné avec celui des forces vives., peut servir à trouver les équations du inoupement du systême dans chaque cas particulier; mais on n'avait pas encore pensé, ce me semble, à employer dans ces solutions, l'équation que donne le principe des forces vives , purement et simplement comme une équation de condition, et à la traiter comme telle par la méthode des niulti-. plicateurs. Je suis parvenu dinsi , et en employant immédiatement les variables indépendantes du système, quelles qu'elles puissent être , aux équations générales du mouvement données dans la Mécanique analytique, (24. part. , seci. 4), et auxquelles M. La . 2TS Cela posé, grange est arrivé, soit par des transformations directes de coordonnées , soit en employant pour ces transformations, des formules générales déduites du calcul des variations. La méthode que j'ex pose offre un exemple assez remarquable de la théorie des multiplicateurs dans la méthode de maximis et minimis, et de la manière de déterminer, entièrement ces multiplicateurs par les équations aus limites. Elle a aussi l'avantage d'introduire immédiatement dans le calcul, les deux fonctions T et V qui représentent, l'une la demi-somme des forces vives du systéme, et l'autre. l'intégrale de la somme des momens. Cette fonction T', quelles que soient les variables qu'on emploie , est toujours une fonction homogène du second degré par rapport à leurs dérivées, en sorte que 8, 9, 4, etc. étant ces variables , &', ', leurs dérivées, on aura l'équation identique : dT dT dᎢ oft le principe de la moindre action exige que l'intégrale (Tdt, soit un maximum ou un minimum , pourvu qu'on regarde la première et la dernière position du système comme données; en sorte que les variations des coordonnées soient nulles aux deux limites de cette intégrale. La variation of Tdt, ou Jd. Tdt doit donc être égale à zéro. Mais le principe des forces vives donne l'équation de condition T+1=H, H étant une constante arbitraire. Suivant l'esprit de la méthode des variations , il faut ajouter à l'intégrale So. Tdi, celle-ci fadt (“T+01), a étant un multiplicateur variable et indéterminé, et regarder ensuite les variations comme indépendantes de l'équation de condition. Alors l'équation du minimum est : So. Tdi,+, a dt (dT+)=o. Il est nécessaire de faire varier aussi le tems; car, les coordonnées seulernent ont des variations déterminées aux liniites, tandis que celles du tems restent tout-à-fait arbitrairés. Mais on peut d'abord ne pas le faire varier , ayant soin de substituer ensuile, au lieu des variations d's,df,do, les expressions : dy : d-8de, -pdt, do-981, et d'ajouter à la partie hors du signe, le terme TAL(*). (*) Voyez le supplément aux Leçons sur le calcul des fonctions. (22me. Leçon.) dy dit di di att do 十 Nous aurons donc ainsi : o=fdié (a +1)$T + adv)'; or , dV V dV Ꮴ= dE+ 十 do dᎢ dTd + df ddt Faisant disparaître par l'intégration, par partie, les doubles signes dd, el ayant égard maintenant à la variation du tems , on aura cette transformée : o=U+S{2003–702) +*104-'4't + (do— q°${}}dt, dans laquelle : /dT d dT dT dT ou bien : U= d+ do—(29+1) Tdt, di dt dT dz dz dt etc.... On aura donc les équations indéfinies E=0,¥=0,0= 0, auxquelles on joindra l'équation T+V=H, afin d'éliminer a, et l'équation aux limites U, — U, = 0; mais aux limites , les riations d'}, dx, sont nulles; l'équation se réduit donc à (21+1), ,-(21+1),dl=0. Et comme les variations d'l,,d to sont indépendantes , on aura les équations : (21+i),=0, (21+i)=0, auxquelles la valeur de a devra satisfaire. Maintenant si l'on multiplie les équations E=0,t=0,o=0, par d'},d, do, etc., qu'on les ajoute , on trouvera , toutes réductions faites, et en observant que dT + DV =0, (2841) dT + Td (+i)=0. K On tire de cette équation 21+1= ET, K étant une constante d.(a+1) de O va 1 1 on dtt dt=0, arbitraire; on voit que pour satisfaire aux équations aux limites, il dT IT dᏤ de dz etc.... Si les variables n'étaient pas indépendantes , et qu'il y eût par conséquent entre elles des équations de condition M=0, N=0, etc., il est évident que les précédentes seraient respectivement aug dM dN mentées des termes ke d] dt, etc., M, v; etc. étant des d] coefficiens indéterminés. d. dtt 1 dt , 2 Recherches sur la théorie analytique des lignes et des rayons de courbure des surfaces, et sur la transformation d'une classe d'intégrales doubles , qui ont un rapport direct avec les formules de cette théorie ; par M. RODRIGUES. I. les normales à la surface menées par deux de ses points consécutifs , se coupent. Le point d'intersection est le centre de courbure, ei la distance de ce point à la surface, le rayon de courbure. Çela posé , soit ds un arc infiniment perit de cette ligne de courbure, dr, dy, dz seront les projections de cet élément sur les axes des coordonnées. Considerons les normales à la surface menées aux deux extrémités de l'arc ds ; appelons X, Y, Z, les ; cosinus des angles que la première normale fait avec les coordonnées; X + då, Y + dY, Z + dZ seront les cosinus des angles formés par la seconde normale. Ces deux droites devant se rencontrer , si de leur point de rencontre comme centre et d'un rayon égal à l'unité, nous décrivons entre ces droites un petit arc de |