deux plans auxquels appartiennent les deux équations précéa dentes, et sont par conséquent des courbes du second degré. On connaissait depuis très-long-tems quelques cas particuliers de cette proposition générale. On savait, par exemple, que dans les, youtes d'arêtes ou en arcs de cloître, droites ou biaises; horizontales ou rampantes, les arêtes saillantes ou rentrantes de ces voûtes sont toujours des ellipses planes, parce qu'elles sont les intersections de surfaces cylindriques circonscrites à la surface d'un même ellipsoïde. Il en est de même des voûtes d'arêtes en arcs de cloître niultiples, qui couvrent ordinairement les rondspoints de nos vieilles églises gothiques, ou les salons de quel ques-unes de nos abbatiales; mais le théorème que nous venons de démontrer est d'une généralité beaucoup plus grande. Nous observerons même à cet égard que, comme dans la dénionstration nous n'avons pas fait attention aux signes des neuf coefficiens A, B, C, A, B’, C', A", B", C" qui entrent dans les trois équations (A), (B), (C). La vérité du théorène est indépendante du nombre de sommets réels dont chacune des trois surfaces de second degré que l'on considère est susceptible; ainsi chacune d'elles peut-être indifféremment un ellipsoïde, ou un hyperboloide à une nappe, ou un hyperboloide à deux nappes, sans que le théorème cesse d'avoir lieu. Enfin il aurait encore lieu quand même les trois surfaces auraient leurs centres à l'infini. ( Article de M. Monge.) /م en Propriétés des diamètres de l’ellipsoide; par M.Chasles, ancien élève de l'École Polytechnique. LEMME. (1) «. Si entre les neuf quantités a, 6, 7, 6, 6, 7, a ', non a les six équations » (a)... t* +6 +2=1, a'+619+=1, "2 +692 +"=1, a? 9 g= » (b)... ax' +66try'=0, ac" +50"+"=0, ace" +6'6"t"=0, » l'on aura les quinze suivantes : >> (c)... 6 + +"=1, 62 +692 +01=1, 7° +7+"=1, » (d)... 667–6'+" "6"=0, ay ta's' tan"=0, 6y +6'7' 46","=0, = 6'7". = "yby", Gg' - 6'04, w (e)... 6 = ' 6" -6, En effet, 6,7; á, 5, vice", 6", " peuvent représenter 0112 12 a les cosinus des angles que trois droites rectangulaires R, R', R font avec trois axes x, y, z également rectangulaires ; car les six équations proposées exprimeront que la somme des carrés des cosinus des angles qu'une des droites R, R, R" fait avec les trois axes, est égale à l'unité , et que les angles de ces droites sont droits. D'après cela, les six équations (c) et (d) auront lieu ; car elles indiqueront que la somme des carrés des cosinus des angles qu'un des axes x, y, z fait avec les trois droites R, R', R" est égale à l'unité , et que les angles de ces axes sont droits. Enfin pour vérifier une des neuf équations (e), la première, par exemple, on observera que le cosinus de l'angle que le plan des deux droites R', R" fait avec le plan des zy est 6'7"-6" 11 2 ON x2 1, V (2 +672 +/') (c" +6"ty "2) (cé'ce" +6'6" +1' 7")* +") Or le dénominateur se réduit à l'unité, en vertu des deuxième, troisième et sixième équations, on a donc simplement 6'7" — 6"/; mais ce 'cosinus est le même que celui que la droite R fait avec l'axe des x, lequel est « ; l'on a donc a = 6'7" 7'6". On prouverait semblablement que les huit dernières équations sont vraies. (2) Soit l’ellipsoide (*) y a? 62 c rapporté à ses trois axes rectangulaires. Appelons «, 6, y les cosinus des angles qu'un diamètre R 6 fait avec ces axes, 6 +ar. R? aa ba Les coordonnées x = du, у 66, z=cy peuvent représenter l'extrémité d'un diamètre r de l’ellipsoïde, car elles satisfont à son équation ; la longueur de ce diamètre a pour carré r2 = a'? + b*6 + cy. Les coordonnées de l'extrémité de r indiquent la construction sui (*) Voyes Le traité des surfaces du second degré, par M. Hachette , p. 169. on aura 1 1 1 1 du vante pour obtenir ce diamètre, quand on connaît la direction du premier R. On décrira trois sphères concentriques à la surface et qui aient pour rayons a, b, c; par les points où elles couperont le diamètre Å on mènera trois plans parallèles aux plans zy; 2x, xy respectivement; leur point d'intersection sera l'extrémité du diamètre r. Des diamètres R', R",... on déduira semblablement les diamètres ř, m",..., et l'on aura Kama+ 6a+ams, mo=a'a'a + 6*6* + cy' am+ 1 1 1 12 00 1 112 2 R"> (3) Si à l'extrémité du diamètre r on mène un plan tangent , et que du centre de la surface on lui abaisse une perpendiculaire, elle sera égale au diamètre R; car ce plan a pour équation ū yz = 1, et la longueur de la perpendiculaire est 1 a с Vam + + ga b2 (4) Si les trois diamètres R, R', R", sont rectangulaires , les trois r, r', r" seront des diamètres conjugués. En effet, pour rapporter la surface à des coordonnées X, ad Z, bo" У T mit cy" Z. p" Substituant ces valeurs dans l'équation de l'ellipsoïde et indiquant que les termes en XY, 'xz, YZ doivent disparaître XZ pour que r, r, r" soient conjugués,'on aura les trois conditions au'+66+yreo, ax" +68"+91=, 6'6" 46'6"+y;"=0, lesquelles auront toujours lieu quand R, R', R" seront rectangulaires. Ainsi quand r,r,r" scront conjugués, les vingt-une équations du lemne (1) auront lieu. (5) « La somme des carrés des valeurs inverses de trois dia» mètres rectangulaires est une quantité constante. » 2 En effet, 1 1 1 1 1 1 c R2 1 y + ba y + K+ma+ + + (0) a 62 (6) Les plans tangens aux extrémités des diamètres R, R', R" ont pour équations 6 R 6" a Elevant au carré et ajoutant membre à membre ces trois équations, on aura, en supposant R, K, R" rectangulaires, ' ' a Le point d'intersection de trois plans tangens à un ellipsoïde aux extrémités de trois diamètres rectangulaires, se meut sur une surface du second degré concenirique à la proposée. (7) « Le plan qui passe par les extrémités de trois diamètres » rectangulaires roule sur une sphère. » En effet, en ayant égard aux équations (e) du lemme, on trouve pour équation de ce plan (RR’c"+ RR"c' + K'T").x +(RRC"+ RR"5'+R'R"C) y + (RR'," +- RR">' + R'R"))2 = RAR". La longueur de la perpendiculaire abaissée sur ce plan, du 1 1 + 1 2 12 2 2 r centre de la surface, se réduit, en vertu des équations (a) et, à RR'R" R R"2 (5) Vatten + + Cette quantité est constante; donc le plan roule sur la sphère qui l'a pour rayon et dont le centre est à l'origine. (8) « La somme des carrés de trois diamètres conjugués est » constante, 19 Car pre tv's tor" = a(a +u+") +bo(@+679+604) + c*(92-49+7") = a +b3t.co. (c) (9) « La somme des carrés des projections de trois diamètres » conjugués sur une droite fixe ; est constante. » (*) En elfet, en appelant d, e, o les cosinus des angles qu'une droite D fait avec les trois axes des coordonnées, on aura : y cos r, D = aad to be + cyQ , y" costa,D = qa"d+ b6":+ cy" o; d'où rcos?r, D+r’cos?r 9D+r"?cos?",D=a*de +b%x*+copo, (cet d) CD, r'cos,D, r" cos r",D sont les projections des dianiètres r, r, m" sur la droite D; le second membre est une quantité constante; donc, etc. Il suit de ce théorème et du précédent, que ; La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des ertrémités de trois diamètres conjugués sur un diamètre fixe , est une quantité constante. (10) « La somme des carrés des perpendiculaires abaissées 39 des extrémités de trois diamètres conjugués sur » passant par le centre de la surface, est constante. » En effet, les perpendiculaires abaissées des extrémités des trois diamètres rir" sur le plan Ax + By + Cz= 0, ont pour longueurs Aan+B66+Ccy Aaa'+Bb6+ Ccy Aaa" +B66" 4-CCM," VA+Bo+C VA+B'+0 VA+B+C (*) Proposition démontrée page 258 du Traité des surfaces du second degré cite. E rcos un plan fixe |