dx dy z sont seront s'exerce dans un plan perpendiculaire à la tangente au point m. Soit o son moment, pris par rapport à cette tangente ; les cosinks des angles que cette droite fait avec les axes des x, y, dydz l'élément de la courbe étant représenté . ds' as as par ds; par conséquent, les momens de la torsion, par rapport aux mêmes axes, odr ody edz ds Enfin désignons par X, Y, Z les composantes des forces données qui agissent, suivant les x, y, z, sur le point de la courbe correspondant à ces coordonnées ; la somme des momens, par rapport à l'axe des x, des forces semblables qui agissent sur la partie mA de ces courbes, sera donnée par l'intégrale S(ZY – yZ)dm, dans laquelle dm représente l'élément matériel de la courbe; et si l'on veut rapporter les momens de ces forces à la droite menée par le point m, parallèlement à l'axe des x, il est aisé de voir qu'il faudra ajouter à cette intégrale, la quantité ys Zdm - z/Ydm. On aura des résultats semblables relativement aux axes des y et des z; donc les sommes des momens des forces données, pris par rapport aux trois droites menées par le point m, parallèlement aux axes des x, y, z, seront exprimées par ces formules : S(2Y - yZ)dm + ysZdm у zs Ydm, - . Les six intégrales qu'elles contiennent sont censées renfermer chacune une constante arbitraire provenant des forces particulières qui peuvent être appliquées au point A. En ajoutant maintenant les momens des forces données et des forces d'élasticité qui se rapportent au même axe, et égalant des sommes à zéro, nous aurons les trois équations d'équilibre de la ligne élastique à double courbure et tordue sur ellesavoir : odr ds edy (1). + S(xZ - 2X)dm + 25xdm - XS Zdm = 0, zXzs odz ds ysXdm = 0. même, =O, 0 1 C + dy dy dx , dyd. dy +2 d. = 0; ds Si l'on différentie ces équations, on aura edc ded(udoy) — dyd(udʻz) + d. 94 + dy/Zdm-dzsydm =0, ) ds dyszdm , dxd[ud-2) – dzd(udx) + d. ad y + da SXdm—dx/Zdm=0, ody dz = ds edz dyd(udox) - dxd(ud*y) + d. d + dxfYdm - dysXdm=0; ds et si l'on ajoute celles - ci, après les avoir multipliées respectivement par des mais on aura dx dy dz ' ds' d.x2 +dyo +dz (dx , dx dz dz do+fent una mica me e mad...) d. . 4)=0 Q = 0; ds? ds ds ds ds ds mais on a identiquement dx?+dyo +-dz dx da, da =l, et dira. -t ds2 ds ds ds dsads d'où il résulte do=0, équation qui montre que le moment de la force de torsion est une quantité constante dans toute l'étendue de la courbe élastique en équilibre. Ainsi la torsion n'est point une force dont on puisse déterminer la loi par une hypothèse, comme on le fait ordinairement pour l'élasticité proprement dite. La torsion ne dépend ni de la forme de la courbe, ni des forces telles que la pesanteur . ou d'autres qui agissent en tous ses points ; elle est produite une force appliquée à l'une ou l'autre extrémité, et dont le moment, par rapport à la tangente extrême, détermine la valeur de e; et cette quantité, une fois donnée, reste la mênie pour tous les autres points de la courbe, de manière que si I'on venait à couper la courbe en un point quelconque, il faudrait, pour l'empêcher de se détordre, employer une force dont le moment, par rapport à la tangente en ce point, serait égal au moment de la force extrême qui a produit la torsion. M. Binet a eu égard le premier à la torsion dont les courbes élastiques sont susceptibles (*); mais on n'avait point encore expliqué la nature de cette force, et montré que son moment est constant dans l'état d'équilibre. Lagrange a donné, dans la Mécanique analytique (**), des équations de la ligne élastique à double par (*) Journal de l'Ecole Polytechnique, 17e cahier , pag. 418 et suivantes. (**) Seconde édition, tom. ier, pag. 154. et ds ydx-xdy.szdm+ courbure, qu'il a trouvées par une analyse très-différente de la dx dy dz la quantité u disparaît, et l'on a others(zY—yZ)dm+x.SoZ=zX\dm+dzNyx-xY)dm ds ds xdz-zdr SYdm+zdy – ydz.SXdm=0.(2) ds ds ds La quantité u disparaîtrait encore , en ajoutant ces mêmes équa der d'y dz tions, après les avoir multipliées par dsdsds; suppo , sant de plus ds constant, ce qui est permis et ce qui donne dsd's=dxdPx + dydạy + dzdʻz = 0, on aura dz ds *ydor-edy xd’z-zdr ds Il résulte de là que pour déterminer la courbe élastique, on pourra prendre l'équation (2), jointe à l'une des équations (1), ou à telle combinaison qu'on voudra de ces trois équations pourvu qu'elle renferme encore la variable u. Quant à cette E quantité, on a K' et l'on suppose communément le moment E de l'élasticité au point m, proportionnel au carré de l'épaisseur de la courbe, multiplié par l'excès de l'angle de contingence qui a lieu en ce point dans l'état d'équilibre, sur celui qui avait lieu au même point dans l'état naturel de la courbe. Ces angles étant en raison inverse des rayons de courbure qui leur répondent, cette hypothèse revient à faire ds zdʻy –ydoz.SXdm=0; U = a étant un coefficient qui dépend de la matière de la courbe , e son épaisseur au point m, p son rayon de courbure au même point, et r celui qui avait lieu en ce point dans l'état naturel de la courbe. Comme elle est supposée inextensible, il s'ensuit K ayant que l'arc si compté de l'extrémité A et aboutissant au point m, ne doit pas changer , quand la courbe est infléchie par les forces qui lui sont appliquées, ainsi le rayon r pourra être censé donné en fonction de s, dans chaque cas particulier. L'expression du ds3 rayon P, dans une courbe quelconque, est p='K) p= la même signification que plus haut; on aura donc ae ds3 ds3 rK pour la valeur de u qu'il faudra substituer dans la seconde équation de la courbe élastique. L'intégration de ces deux équations simultanées est impossible en général, et l'on ne parvient à y séparer les variables que dans des cas très-particuliers les plus simples qu'on puisse traiter. Nous terminerons cet article par une remarque qui pourra être souvent utile. Lorsque, dans une question de Géométrie ou de Mécanique, tout est semblable par rapport aux trois axes des coordonnées x, y, z, et si l'on a une équation relative à l'un de ces axes, il existera des équations analogues qui se rapporteront aux deux autres, qui se déduiront de l'équation donnée par de simples permutations des variables x, y, z, et de toutes les autres quantités qui s'y rapportent; mais pour ne pas risquer de se tromper, et pour que les quantités analogues conservent la même signification et ne changent pas de signe, il faudra effectuer cette permutation d'une certaine manière que nous allons indiquer, et dont on concevra aisément la raison. On rangera les lettres x, y, z, et toutes celles qui leur répondent, de cette manière : y, X, y..... puis on remplacera chaque lettre de la ligne supérieure par celle qui se trouve au-dessous dans la ligne inférieure; de sorte que sc aille prendre la place de y, y celle de z, et z celle de x: l'équation donnée se changera, par cette permutation, en une autre qui se rapportera à un second axe; et en effectuant sur celle-ci la même perniutation, on aura l'équation analogue par rapport au troisième axe. C'est ainsi, par exemple, que nous avons déduit la troisième équation (1), qui se rapporte à l'axe de la première, qui est relative à l'axe des x, et ensuite, par une seconde permutation, la seconde équation, de la troisiène, x, z.... 2, i des 7, do 1 u? u Mémoire (*) sur l'attraction des sphéroïdes, par PREMIÈRE PA RTI E. Formules générales pour l'attraction des corps quelconques et application de ces formules à la sphère et aux ellipsoides. 1. Désignons par u la distance de l'élément du corps attirant au point attiré, par Q(u) la loi de l'attraction, pardm l'élément du corps attirant, et faisons 2=(u)dın, cette intégrale étant étendue à toute la masse du corps attirant. Soient Ž, O, if les coordonnées du point attiré; les composantes de l'attraction da corps , suivant ces coordonnées, seront, comme on sait, dΣ ds ds dy Soient a, b, c les coordonnées rectangulaires du point attiré, la loi de l'attraction, celle de la nature , ensorte que o(u)=; = dm faisons Ꮴ = les composantes respectives désignées par A, B, C, seront dV d dV B dc. x, y, z étant les coordonnées rectangulaires de l'élément dm, p să densité, on aura dm pdxdydz, u= V (r-a)" +(y—b) + (2-)", pdcdydz et V V (c-a) + (y—b)+ (2—c) On emploie aussi fréquemment des coordonnées polaires , savoir, le rayon mené de l'origine (r), l'angle que ce rayon fait avec une droite fixe (6), et enfin l'angle formé par le plan de ces deux droites avec un plan fixe passant par la droite fixe (w). Alors on décompose l'attraction suivant le rayon et deux perpendiculaires à ce rayon, l'une dirigée dans le plan de l'angle e, et tendant à le diminuer; l'autre, perpendiculaire à ce plan, et tendant à diminuer l'angle w. Ces trois composantes seront respectivement (*) Ce Mémoire a été lesujet d'une thi se soutenue pour le doctorat, devant la Faculté des Sciences de Paris, le 23 juin 1815, sous la présidence de M. Lacroix, Doyen de la Faculté. A = C dā: db, |