T.

EATO,

112

167

7

5

18

UIEO, 26 29

31 33 39 41 43 46 LAEO, UAŁO, IUEO, AUEO, EIXO, UIAO, IEAO, UEAO,

53 54 61 62 65 67 IVAO, EURO, EIUO, AIUO, IEUO, AEUO, lavo,

78 81 83 86 AZDI, VÉOI, EADI, UAOI, EUOI, AUDI, AVEI, UOEI, 123 127.

128 131 132 134 140 144 OAEI, UAEI, QUEI, AUEI, EOAI, UOẢI, OEAI, UEAI, 150 152 154 155 162 165

169 QUAI, EUAI, EOUI, AQUI, OEUI, AEUI, OAÚI, EAÚI,

ugo 171 178 181 183 185 187 188 AIVE, VIVE, JAOE, UAOE, IUOE, AUOE, AOIE, VOIE, 199 203 204

229

232 233 237 OATE, UAIE, OUIE, AUIE, IOAE, VOAE, DIAE, UIAE, 248

249 251 253 255 258 265 266 QUAE, IUAE, IQUE, AQUE, QIUE, AIUE, OAUE, LAUE, 267 269 271 274 281 282 284

286 EIOA, UIDĄ, IEOA, UEOA, IUOA, EUOA, EOIX, UOIA, 292

302 304 305 308 309 313 OEIA, VEÍA, QUIA, EUIA, IOEA, UOEA, OIEX, VIEA, 324 325 349 350

353 355 358 359 QUEA, IUEA, IOUA, EQUA, OIUA, EIUA, OEUA, IEUA, 365 366 369

371

374 375 382 383 EIOU, AIOU, IEOU, AEOU, IAVU, EAOU, EOIU, AOIU, 390 393 395 397

403 405 407 410 OEIU, AEIU, OXIU, EAYU, IOEU, ADEU, oleU, AIEU 417. 418 425

426

429 431 434 435 QAÉU, IAEU, IOAU, EOAU, OIAU, EIAU, OEAU, IEAU.

207

296

Prenons que, des 470 jetons, il n'en reste que 87 ; les billets A, U, 0, I sont alors entre les mains des première, deuxième, troisième et quatrième personnes , respectivement; conséquemment, la cinquième est en possession du billet E.

15. La personne qui exécute le tour doit être secrètement munie du tableau 7, qui est la clef de l'opération. Il est facile de donner à ce tableau une forme telle qu'on puisse le consulter ostensiblement sans que l'assemblée en découvre le sensa Dans tous les cas, une seule interrogation fera discerner l'arrangement de billets qui a eu lieu.

Au-delà de cinq numéros, la complication des calculs rendrait impraticable ce jeu de combinaison. Telle sera donc la limite de nos recherches. Il nous suffit d'avoir prouvé que, pour toutes les valeurs de n, la difficulté est accessible et résoluble; ensorte que, par exemple, pour n=12, au milieu de plus de quatre cent millions d'événemens , tous également possibles on démêlera le véritable, à l'aide seulement du nombre d, qui est l'unique donnée du problème.

1

ou

GÉOMÉTRIE. Théorème. Si l'on construit la développante d'un arc de cercle, puis la développante de cette développante, et ainsi de suite; la série infinie, composée de l'arc de cercle et de ses développantes successives, peut être sommée par un arc fini de spirale logarithmique.

Demonstration. Soient t et u les coordonnées polaires d'un point de la spirale logarithmique dont l'équation est t=lu, ou

=e', i étant un arc du rayon i, u le rayon vecteur correspondant à t, et e la base des logarithmes Nepériens. On a pour l'équation différentielle de la spirale :

udt

dui
et pour l'élément de cette courbe,
Vuodť + du,

duva,
dont l'intégrale est uV3 + const. Quand l'arc de spirale est
nul, usi, et le rayon de courbure = V2.(Voyez le Traité

. du grand Calcul différentiel de M. Lacroix, page 483, et l'article de M. Poinsot, page 131 de ce volume de la Correspondance ). D'où il suit que la constante égale V2, et que l'arc fini de spirale logarithmique correspondant à l'arc de cercle t, est (u - 1)V2,

(c'— 1)V2. Mais on sait (Voyez l'article de M. Poinsot, page 245 du premier volume de la Correspondance ) qu'en nommant t un arc de cercle du rayon 1; ť', t“, t'".... les développantes successives, t +ť + " + t"..... + etc. = e'- 1; t

l d'où il suit que cette somme est égale au quotient qu'on obtient en divisant par V, ou par le rayon de courbure de la

Vā spirale qui correspond au rayon vecteur i, l'arc de spirale logarithmique compris entre les rayons vecteurs qui passent par les extrémités de l'arc de cercle t. ( Cet article est extrait d'un Mémoire de M. Dubois-Aimé, ancien élève , membre de la Commission d'Egypte. )

Théorème. Si, par un point donné, on mène trois plans perpendiculaires entr'eux, qui coupent la surface d'une sphère, la somme des aires des trois sections circulaires sera constante, quelle que soit la position des plans coupans.

Va

ou

on a

ac,

Démonstration. Soient s', y', z les coordonnées du point donné rapportées à trois plans rectangulaires parallèles aux trois plans coupans , et x + y2 +z =R* l'équation de la sphère; les équations des plans coupans seront

y = y,

y ' z 2. Les rayons r, ', me des sections circulaires ont pour expressions : VR - x', m = VR-y's, X R

V RP-z'?, la somme des aires est, en appelant « le rapport de la circons férence au diamètre,

(ro + m2 + p), qu [3R” (r's + y's + z'?)], quantité constante qui exprime l’aire d'un cercle dont le rayon est

V3R

(x"? + y + z'), ( Ce théorème est extrait de la Géométrie de position , pag. 167.)

Propriétés des surfaces du second degré ; par

M. FREGIER, ancien élève, M. Fregier résout d'abord ce problème :

6 Avec une équerre pour tout instrument, mener une tan» gente à une section conique, par un point pris sur la courbe. »

Il fait passer par le point de contact deux droites quelconques perpendiculaires entr'elles, et il suppose que le point de contact étant fixe, les deux droites tournent autour de ce point; chaque couple de droites rencontre la courbe en deux points , par lesquels on mène une corde. On prouve que, toutes les cordes déterminées de la même manière, viennent se couper en un seul point qui est sur la normale. La normale étant connue, la tangente l'est aussi.

Cette proposition a son analogue pour les surfaces du second degré, ce qui donne lieu au théorème suivant :

Trois droites rectangulaires se neuvent dans une surface du second degré, en se coupant toujours sur un point fixe de cette surface ; les plans menés par les intersections déterminées sur la même surface par chaque système de droites rectangulaires , viennent concourir en un point; le sommet du cône circonscrit suivant la courbe déterminée par chacun de ces plans, engendre une surface plane.

M. de Stainville, Répétiteur-Adjoint à l'Ecole Polytechnique, et M. Lambert, Professeur de Mathématiques au Lycée de Bourges, ont envoyé plusieurs articles intéressans , qui ne pourront paraître que dans les prochains cahiers de la Correspondance,

S II. SCIENCES PHYSIQUES. Rapport fait à l'Institut, par M. Poisson, sur un Mé

moire de M. HACHETTE, relatif à l'écoulement des fluides par des orifices en minces parois, et par des ajutages appliqués à ces orifices.

)

Le travail de M. Hachette peut être divisé en trois parties : l'une a pour objet de mesurer la contraction de la veine fluide dans le cas d'une mince paroi; l'autre traite de la cause des singuliers phénomènes que présentent les ajutages cylindriques ou coniques; enfin dans la troisième, l'auteur décrit la figure de la veine fluide, et les variations qu'elle éprouve pour différentes formes de l'orifice. Nous ne nous arrêterons pas à faire sentir toute l'importance de ces diverses questions, soit dans la pratique, soit par rapport à la théorie de l'écoulement des fluides; et sans autre préambule, nous allons analyser successivement les trois parties du Mémoire que la Classe à renvoyé à notre examen.

PREMIÈRE PARTIE. Contraction de la Veine fluide. L'auteur examine d'abord si la figure de l'orifice en mince paroi influe sur la quantité de l'écoulement en un tems donné. C'est un principe généralement admis qu'à pression égale et l’aire de l'orifice restant la même, la dépense ne varie pas. M. Hachette en vérifie l'exactitude dans le cas où l'orifice est circulaire, triangulaire, elliptique, ou formé d'un arc de cercle et de deux lignes droites; mais il trouve des produits très différens en plus ou en moins, lorsque le contour de l'orifice présente des angles rentrans; ce qui apporte une modification importante au principe que nous citons. Il considère ensuite d'une manière spéciale, le cas d'un orifice circulaire. Si le plan dans lequel il est percé n'est pas horizontal, la veine fluide forme une courbe qui doit être une parabole, correspondante à une certaine vitesse initiale que l'auteur a déterminée par des mesures directes. A partir de l'endroit de la plus grande contraction, l'épaisseur devient constante dans une grande étendue, c'est-à-dire jusqu'à ce que le jet, en se mêlant à l'air, finisse par se déformer ; dans cette étendue les molécules fluides décrivent toutes la même courbe, et la veine ressemble à un cristal parfaitement pur que l'on croirait immobile : il a donc été facile de mesurer les abscisses et les ordonnées de différens points d'un même filet, et par la comparaison de ces mesuręs, l'auteur a reçonnų que la courbe fluide ne s'écarte pas

a

le

sensiblement de la parabole. Il en a également conclu par les formules connues du mouvement parabolique, la vitesse du fluide en un point déterminé, par exeniple, à l'endroit de la plus grande contraction. Il a trouvé, de cette manière , que la vitesse commune à tous les points de la section contractée, est, à très-peu près, la vitesse due à la hauteur du niveau du fluide au-dessus de l'orifice. Ainsi le théorème de Toricelli est exact quand on rapporte à la vitesse qui a lieu à cette section de la veine; mais il ne saurait être vrai , en même tems, par rapport à la vitesse moyenne des molécules qui traversent la section de l'orifice, à cause de la différence entre les aires de ces deux sections.

La vitesse à la section contractée étant connue, l'observation de la dépense , en un tems donné, fera aussi connaître le rapport de cette section à celle de l'orifice, ou ce qu'on appelle la quantité de la contraction, plus exactement que par

des mesures directes. On comptera le tems on mesurera le produit de l'écoulement, par un petit orifice et sous une pression constante; on calculera en même tems par la règle de Toricelli la quantité d'eau qui devrait être fournie par cet orifice ; le rapport de la dépense observée à la dépense calculée, sera une fraction qui exprimera la quantité de la contraction. Cette méthode preserite par D. Bernoulli, est celle que M. Hacheite a suivie. Il n'a négligé d'ailleurs aucune des précautions nécessaires pour atténuer les erreurs des observations, il a mesuré le tems au moyen d'une montre à secondes de M. Breguet ; les orifices qu'il a employés ont été exécutés et mesurés par M. Lenoir; par l'inspection d'un tube communiquant, il s'est toujours assuré que le niveau du fluide ne variait pas pendant toute la durée de chaque expérience; enfin ses expériences ont été faites très en grand, soit par rapport aux dimensions de la cuve et au volume d'eau qui s'en écoule, soit par rapport au tems de l'écoulement qui a duré quelquefois plus d'une heure : un tableau placé à la fin de son Mémoire présente les resultats de 28 expériences faites de cette manière , sur des hauteurs d'eau comprises entre 135 et 888 millimètres, et pour des orifices dont les diamètres varient depuis 1 jusqu'à 41,3 millim. La moindre contraction observée par l'auteur répond au plus petit diamètre ; elle est de 0,78. Pour les diamètres au-dessus de iomm, la contraction devient presque constante; elle reste comprise entre 0,60 et 0,63. A égalité d'orifice, elle augmente un peu avec la hauteur du fluide, et au contraire il ne paraît pas qu'elle dépende de la direction du jet.

Les autres physiciens qui ont déterminé la contraction de la veine, diffèrent sensiblement entr'eux sur sa grandeur; Newton, par exemple, l'évalue à 0,70; Borda a trouvé 0,61, et dans un