Supposant les mobiles partis du repos, V = Jt et v = jt étant les vitesses acquises après le même temps t (13), on a V : v = J:j, et par Ce qui fait voir que les forces sont aussi entre elles comme les vitesses qu'elles communiquent à un même mobile dans le même temps. Dans cette même hypothèse, les espaces parcourus étant proportionnels aux accélérations et aux vitesses (14), on a aussi : F:ƒ= E: e. 2o Que, pour une même accélération de vitesse (10), les forces sont proportionnelles aux masses des mobiles; ainsi l'on a (Int. 1488) : F:f=M: m. M masse du mobile sollicité par la force F; m masse du mobile sollicité par la force f. Les poids P et p étant proportionnels aux masses M et m, on a aussi : 3° Que deux forces quelconques sont entre elles comme les produits des masses M et m ou des poids P et p des mobiles qu'elles sollicitent par les accélérations de vitesses qu'elles leur communiquent ; ainsi l'on a : (a) F:f = MV : mv et F:f PV pv. Ce qui fait voir que les forces sont entre elles comme les produits des masses ou des poids par les vitesses. Si les deux forces sont égales, des relations du 3° on conclut : V: v=m: M, V: v=p: P. Ce qui montre qu'alors les accélérations ou les vitesses sont en raison inverse des masses ou des poids. 22. Appelant unité de masse, la masse du mobile qui prend l'unité d'accélération de vitesse dans l'unité de temps quand il est sollicité par l'unité de force, il en résulte que faisant dans la première des proportions précédentes (a) ƒ = 1 et j = 1, d'où m = 1 et mj 1, on a: = F = MJ. Ce qui fait voir que l'intensité d'une force quelconque est représentée par le produit de la masse par l'accélération de vitesse que la force communique au mobile dans l'unité de temps. 25. Si la force Fest le poids P du corps dont la masse est M,g=9",8088 étant l'accélération de vitesse (18), les trois formules précédentes deviennent respectivement : 1° Que le poids d'un corps est égal à la masse multipliée par l'accélération g due à la pesanteur. Pour M = 1, on a Pg9,8088. Ainsi le poids d'un corps dont la masse est égale à l'unité est 9*,8088; 2o Que la masse est égale au poids divisé par g. Ce qui montre que la masse d'un corps du poids de 1 kil. est 0,102; 3o Que l'accélération g due à la pesanteur est égale au poids du corps divisé par sa masse. 24. Deux forces étant entre elles comme les accélérations qu'elles communiquent à un même mobile (21), l'une des forces étant le poids du mobile, on a : proportion qui donne l'accélération J qu'une force quelconque F communique par seconde à un mobile dont le poids est P. Pour F = 10, Ayant J, on peut déterminer la vitesse v que possède le mobile et l'espace E qu'il a parcouru après le temps t. Ainsi pour t = 8′′, par exemple, on a : La proportion (a) donne aussi la force F qu'il faut appliquer à un mobile du poids P pour lui communiquer une vitesse donnée v après un cer tain temps t, ou pour lui faire parcourir un espace E pendant le temps t. Pour les données précédentes, on a d'abord (14): 25. L'impulsion d'une force est le produit de son intensité par la durée de son action. Ainsi, une force de 12 agissant sur un corps pendant 8" produit une impulsion représentée par 12×8 = 96. 26. Le produit mv de la masse m d'un corps par la vitesse v qu'il possède prend le nom de quantité de mouvement. P Le poids d'un corps étant 50*, d'où il résulte que sa masse est (23) 50 × 0,102 = = 5,10, et la vitesse qu'il possède étant 30 mètres, sa quantité de mouvement est représentée par mv = 5,10 30 153. 27. Égalité entre l'impulsion et la quantité de mouvement (Int. 1494). Lorsque le mouvement est uniformément accéléré, on a (13), en remarquant qur l'accélération j F m (22), Ft est l'impulsion; elle a le signe de F. mv est la quantité de mouvement après le temps t, et mv。 est la quantité de mouvement au commencement du temps t; ces quantités ont respectivement les signes de vet de v。. La formule (a) fait voir que l'impulsion et la différence des quantités de mouvement sont toujours égales et de même signe. Ce que l'on peut énoncer en disant que l'impulsion est toujours égale au gain ou à la perte de quantité de mouvement. Considérant toujours la vitesse initiale v, comme positive, il y aura gain de quantité de mouvement lorsque la force F sera positive, c'est-à-dire lorsqu'elle agira dans le sens de v。, et perte lorsqu'elle sera négative. Trois quelconques des quatre quantités F, t, m et (v—v。) étant connues, l'équation (a), mise sous la forme Lorsque v。0, c'est-à-dire quand le corps part du repos, on a : Ce qui fait voir encore plus simplement que l'impulsion d'une force est égale à la quantité de mouvement que cette force communique au corps qu'elle sollicite pendant la durée de son impulsion. Application. Trouver la force F capable de réduire au repos en 5′′ un corps dont le poids est de 50 kil., ce corps étant animé d'une vitesse de 15 mètres par secondes. Substituant ces nombres dans la formule, elle devient 28. Le travail d'une force se représente par le produit de l'intensité de la force par la projection, sur la direction de la force, de l'espace parcouru par le point d'application. Ainsi, l'espace parcouru étant rectiligne, on a, en représentant par T ce travail, T travail produit ; F intensité de la force; E espace parcouru par le point d'application; angle que fait la direction de la force avec celle de l'espace parcouru (Int. 1062). Quand a 0, c'est-à-dire quand le point d'application se meut dans la direction de la force, on a : Ainsi, dans ce cas, le travail est représenté par le produit de la force par l'espace parcouru. Intervertissant l'ordre des facteurs dans le second membre de l'équation (a), on a : T-EXF cosa. Ce qui fait voir que le travail est aussi représenté par l'espace parcouru E multiplié par la projection F cosa de la force sur la direction de cet espace (Int. 1496 et suivants). 1 29. La moitié mv2 du produit de la masse m d'un corps par le 2 carré v2 de la vitesse qu'il possède prend le nom de puissance vive. Le produit mv2 se nomme force vive (Int. 1499). 30. Dans le mouvement uniformément accéléré, on a (13 et 14), en Éliminant t entre ces deux équations, on conclut (Int. 1500) : E-E。 étant le chemin parcouru pendant l'action de la force F, F(EE) est le travail 7 produit par F pendant cette même durée d'action (28). 1 mv2 étant la puissance vive au commencement de l'action de la 1 force F, et mv2 la puissance vive à la fin de cette action, comme de 1 2 1 plus les quantités mv, et mv2 sont toujours positives, l'équation (a) fait voir que la quantité de travail est toujours algébriquement égale à la différence obtenue en retranchant la puissance vive avant l'action de la force de la puissance vive après l'action; ainsi, considérant comme gain de puissance vive une différence positive, et comme perte une différence négative, on peut énoncer le théorème général des puissances vives: Le travail produit par une force agissant sur un corps est toujours égal au gain ou à la perte de puissance vive qu'éprouve ce corps pendant l'action de la force. L'expression du travail d'une force en fonction des puissances vives est d'un usage très-fréquent en mécanique (Int. 1501). 31. Dans le cas où vo 0 et Eo = 0, c'est-à-dire quand le corps part du repos et que les espaces sont comptés à partir du point de départ, la formule précédente (a) devient : nouvelle expression du travail, dont on fait usage dans les applications. 52. Comme = v2 2g h, h étant la hauteur correspondant à la vitesse v (19), Le travail produit par une force quelconque est donc égal au poids du corps sollicité multiplié par la hauteur correspondant à la vitesse communiquée à ce corps, c'est-à-dire qu'il est égal au travail qui serait produit par le poids P descendant de la hauteur h, ou à celui qu'il faudrait produire pour élever ce poids à la hauteur h. 55. Ainsi le travail produit par une force quelconque peut toujours être ramené à un poids élevé à une certaine hauteur. |