dent, E et e sont parcourus en 1′′,5, PE=32×2,5=Qe=100×0,80=80km

80 est le nombre de kilogrammètres produit et absorbé en 1′′,5;; =53,33 1,5 est la puissance de la machine en kilogrammètres par seconde, et

53.33

75

=

= 0,74 est sa puissance en chevaux-vapeur.

48. Souvent, dans la pratique, on a la puissance dont on peut disposer en chevaux; supposons qu'elle soit de 25 chevaux. Pour calculer Pet Q, on commence par déterminer E 3o et e=0",8, en opérant comme il a été indiqué (47). La durée de ces parcours étant 1",4, le travail produit par la machine dans ce temps est de 75 × 25 × 1,4 = 2625km ; on a donc :

Ayant P, on peut calculer Q à l'aide de la proportion du n° 47. Du reste, on a encore:

=

Qe Q× 0,8=

= 2625, d'où Q

2625
0,8

3281*,25.

49. Il peut arriver qu'au lieu d'avoir une seule force motrice, on en ait plusieurs P, P', P"... et qu'on ait aussi plusieurs résistances utiles Q, Q', Q"... Constatant, comme pour deux forces, les espaces E, E', E"... et e, e', e"... parcourus dans le même temps par les points d'applicacation des forces dans la direction de ces forces, T'équation

Équation à l'aide de laquelle on déterminera l'une quelconque des quantités qui y entrent connaissant toutes les autres. Les membres de cette équation donnent chacun le travail théorique produit ou absorbé pendant la durée du parcours des espaces correspondants E, E... e, e'... Connaissant cette durée, on déterminera en kilogrammètres le travail théorique produit ou absorbé pendant une seconde, et ce dernier travail divisé par 75 donnera la puissance en chevaux-vapeur (36). Si l'on avait d'abord donné la puissance en chevaux, par des calculs inverses à ceux que nous venons d'indiquer, le problème aurait fourni, soit pour P, P'.. E, E'..., soit pour Q, Q'... e, e'..., une infinité de valeurs satisfaisant à l'équation; mais les valeurs choisies auraient toujours dû donner, pour le premier et pour le deuxième membre de l'équation, une valeur correspondant à 25 chevaux ou à 25×75=1875 par seconde.

km

30. Dans les machines, surtout dans les machines industrielles, les résistances passives sont assez considérables pour qu'on ne puisse pas négliger le travail qu'elles absorbent; l'équilibre dynamique est alors

Pour un certain déplacement de la machine, les travaux 7m, Tue Tn s'évaluent comme dans le cas précédent; ainsi, P étant la puissance, Q la résistance utile, R, R'... les différentes résistances passives, et E, e, i, ¿'... les espaces correspondants parcourus dans le même temps par les points d'application dans la direction de ces forces, on a PEQe+ Ri + R'i' + ...

Équation qui revient à celle du n° 49, dans laquelle on aurait remplacé différentes résistances utiles par des résistances nuisibles.

Il peut arriver qu'une ou plusieurs résistances nuisibles proviennent de chocs entre les organes de la machine. Le travail absorbé par ces résistances n'est plus évalué par un produit d'une force par l'espace que parcourt son point d'application, mais par la perte de puissance vive due au choc, et cette perte, évaluée en kilogrammètres (95), entre dans le second membre de l'équation comme tous les autres travaux nuisibles Ri, R'i'...

A l'aide de l'équation précédente, connaissant, dans une machine, deux des trois travaux suivants: le travail moteur Tm = PE, le travail utile Tu=Qe, et le travail nuisible T2= Ri + R'i' + on détermine le troisième.

=

31. On se propose ordinairement d'établir une machine capable de produire un travail utile Tu = Qe donné. Il faut alors déterminer Tm=PE capable de produire non-seulement ce travail utile, mais aussi le travail nuisible. On doit donc commencer par calculer ce travail nuisible; ce que l'on fait en déterminant les valeurs des différentes résistances nuisibles R, R'... en fonction de Q, et par suite Tʼn en fonction de Tu.

Tm, et l'on peut déter

Ayant Tu et Tn, l'équation du no 50 donne miner le travail moteur en chevaux comme au no 49.

52. Le travail moteur 7m étant représenté par 100, et les travaux utile Tu et nuisible Tn étant, par exemple, 75 et 25, on dit que le rendement de la machine est de 75 p. 100; la perte est alors de 25 p. 100. S'il était possible que la perte fût nulle, le rendement serait de 100 p. 100.

53. Remarque. Ce qui vient d'être exposé fait voir l'importance que joue la formule de l'équilibre dynamique dans l'établissement des machines. Que de ruines et de procès souvent désastreux sont dus à ce que cette formule n'ayant pas été bien comprise, des machines établies n'ont pas produit le travail qu'on en attendait!

Au point où l'on en est aujourd'hui, la pratique a prononcé sur la quantité de travail nuisible Tn qui a lieu dans les différentes machines industrielles, et l'on se base généralement sur ces résultats dans les constructions nouvelles, tout en cherchant à diminuer cette perte autant que possible.

Il y a cependant des cas où il peut être nécessaire de se rendre

compte de cette perte; c'est pourquoi nous allons étudier les différentes résistances passives, et établir ensuite les équations d'équilibre dynamique des machines simples; équations desquelles on pourra passer à celles des machines les plus compliquées, qui ne sont en général que la réunion d'un certain nombre de ces machines simples.

FROTTEMENT.

34. La surface d'un corps n'étant jamais parfaitement unie, quel que soit son poli, il en résulte que quand on met deux surfaces en contact, elles se pénètrent toujours plus ou moins. Cet enchevêtrement n'est pas seulement dû à l'imperfection du poli des pièces, mais aussi à ce que les surfaces en contact se pressant mutuellement, il y a une déformation d'autant plus grande que les corps sont moins durs et que la pression de l'un sur l'autre est plus considérable.

De l'enchevêtrement des molécules de deux surfaces en contact, il résulte que si l'on imprime un mouvement à l'un des corps, mais de manière à le laisser toujours en contact avec la surface de l'autre corps, il naît une résistance qui s'oppose directement au mouvement, et à laquelle on donne le nom de frottement.

Si la même partie de la surface d'au moins un des corps reste toujours en contact, c'est-à-dire s'il y a glissement d'un ou de chacun des corps sur l'autre, le frottement prend le nom de frottement de glissement. Si, au contraire, les parties des surfaces en contact varient à chaque instant, comme dans le mouvement d'une bille sur un tapis de billard, ou d'une roue de voiture sur une route, le frottement prend le nom de frottement de roulement.

35. Jusqu'à ces derniers temps, on a admis, d'après l'expérience, que le frottement était proportionnel à la pression normale que les surfaces exerçaient l'une sur l'autre, qu'il variait selon la nature et l'état des surfaces en contact, et qu'il était indépendant de la vitesse et de l'étendue de ces surfaces.

Des expériences faites en 1851, par M. Jules Poirée, sur le chemin de fer de Lyon, ont fait voir que pour des vitesses supérieures à 4 ou 5 mètres par seconde, le frottement diminue à mesure que la vitesse augmente. Dans ces expériences, on a serré les freins d'un wagon de manière à empêcher les roues de tourner, et on l'a fait mouvoir sur les rails comme un traîneau; la vitesse a été portée jusqu'à 22 mètres par seconde, et, à l'aide d'un dynamomètre, on a constaté que le frottement de glissement des roues sur les rails diminuait à mesure que la vitesse devenait plus grande. (Voir la Quatrième partie.)

M. Bochet, ingénieur des mines, des résultats fournis par les expériences de M. Poirée, et par celles qu'il a exécutées lui-même sur le chemin de fer de l'Ouest, d'abord en 1856, puis en 1860, conclut, dans un mémoire publié en 1861 dans les Annales des mines:

1° Que la diminution du frottement à mesure que la vitesse aug

mente est un phénomène général pour des vitesses de 0 à 25 mètres par seconde;

2° Que le frottement cesse d'être proportionnel à la pression, et par suite n'est plus indépendant de l'étendue des surfaces frottantes, quand la pression cesse d'être petite;

3o Qu'il n'y a pas, en général, de frottement spécial au départ. Pour les bois et les cuirs sur rails secs, la gutta-percha sur rails secs et mouillés, le fer sur rails secs, mouillés ou gras, le frottement au départ a été exactement le même qu'à vitesse extrêmement petite, et par suite plus grand qu'à la vitesse notable; au contraire, pour le bois et le cuir sur rails mouillés ou gras, le frottement au départ a été, en général et en moyenne, double de celui correspondant à une vitesse extrêmement petite.

Pour déterminer le frottement des roues calées, M. Bochet a employé un wagon ordinaire à frein, dont le poids a varié de 6 à 10 tonnes. Pour le frottement des diverses matières, il a fait usage d'un wagon, de l'invention de M. Didier, portant solidement fixées à son châssis de fortes armatures auxquelles étaient adaptés des patins d'une grande longueur glissant sur les rails par des semelles faites de la matière à essayer. La pression des patins sur les rails a varié de 2 à 15 kilog. par centimètre carré.

M. Bochet a représenté ses résultats par des courbes, et il les a même réunies par une formule que nous donnons dans la 4o partie. Cette formule contient deux et même trois coefficients suffisamment déterminés pour le cas des corps essayés glissant sur des rails, mais qui n'embrassent pas la généralité des corps employés et des circonstances qui se présentent dans la pratique. Comme de plus, dans les cas habituels, dans les machines par exemple, la vitesse est faible, bien inférieure à 4 mètres par seconde, et qu'alors la formule usitée, qui est très-simple (56), donne des résultats suffisamment exacts, jusqu'à de nouvelles et plus complètes expériences, nous continuerons de l'adopter.

En lubrifiant les surfaces en contact avec des corps onctueux, tels que l'huile, la graisse, le savon..., on diminue considérablement le frottement, et d'autant plus que l'enduit est renouvelé avec plus de continuité. L'eau pure est un mauvais enduit, surtout pour les métaux; souvent même elle augmente le frottement.

Nous venons de dire que le frottement est proportionnel à la pression des surfaces entre elles; mais cela n'a lieu que jusqu'à une certaine limite; au delà, les surfaces grippent, c'est-à-dire s'entament en s'échauffant, et le frottement devient considérable sans varier suivant aucune loi. Les corps onctueux, tout en diminuant le frottement, reculent considérablement la limite à laquelle les surfaces commencent à gripper. D'après des expériences déjà anciennes de Wood, la pression des essieux de wagons dans leurs boîtes ne devrait pas dépasser 6*,33 par centimètre carré de surface de contact; au dessus de cette limite, la graisse qui lubrifie les surfaces serait écrasée et chassée; alors les corps frottant à sec s'entameraient, et le frottement deviendrait considérable.

Aujourd'hui, que le graissage se fait avec soin et régulièrement, la pression peut atteindre 25 et jusqu'à 30 kilogrammes par centimètre carré. (Voir l'article Tourillons.)

L'expérience prouve aussi que quand deux surfaces ont été en contact et en repos relatif pendant un certain temps, le frottement de glissement est plus considérable au premier instant du mouvement que quand le mouvement a lieu. Cela est d'autant plus sensible que la pression est plus grande, et que les corps sont plus compressibles; ces deux circonstances tendant à faire pénétrer les surfaces et à chasser l'enduit. 56. Le rapport entre le frottement F, c'est-à-dire la résistance qui s'oppose directement au mouvement, et la pression P qui s'exerce normalement entre les deux surfaces en contact, est ce qu'on appelle le coefficient de frottement; ainsi, désignant ce coefficient par ƒ, on a

Pour P=500* et f=0,08, on a F= 0,08500 = 40 kil.

Ces formules s'appliquent au premier instant du mouvement, après quelque temps de repos, comme pendant le mouvement; seulement F et f ont d'autres valeurs (57 et 59).

L'expérience prouvant qu'un léger choc, donné sur les corps en contact depuis un certain temps, produit un ébranlement suffisant pour faire commencer le mouvement quand le corps mobile est sollicité par un effort de très-peu supérieur à celui qui est capable de continuer le mouvement, dans les applications, pour évaluer le travail absorbé par le frottement, on ne tient compte que du frottement qui s'exerce quand les corps sont déjà en mouvement. On ne tient compte non plus que de ce frottement dans l'évaluation de la stabilité d'une construction soumise à des ébranlements.

Le frottement de roulement, sur lequel nous reviendrons au sujet des chemins de fer, peut être négligé, comparativement au frottement de glissement, quand il s'exerce entre quelques organes d'une machine industrielle (Int. 1649 et suivants).