61. Frottement produit par la garniture d'un piston, et travail absorbé par ce frottement pour un coup de piston :

hauteur de la garniture;

T= Depfl.

pression sur un mètre carré de la surface de la partie frottante de la garniture; c'est la pression du liquide ou du gaz comprimé sur 1 mètre carré de surface, diminuée de la pression derrière le piston sur la même unité de surface;

T travail absorbé par le frottement pour une course de piston;

f

course du piston;

coefficient de frottement, qui prend les valeurs suivantes (57):

0,10 à 0,125 pour les garnitures de cuivre enduites sur fonte;

0,20 pour les garnitures de cuir enduites de plombagine;

0,29 pour les garnitures de cuir embouti, c'est-à-dire frottant à plat, dans un corps de pompe à eau en bois de chêne;

0,36 pour les garnitures de cuir embouti mouillé, mais non graissé, dans un corps de pompe en fonte;

0,23 pour ces dernières garnitures onctueuses et mouillées d'eau dans un corps de pompe en fonte.

Les formules précédentes s'appliquent encore aux stuffing-box, quand les garnitures sont en cuir embouti, c'est-à-dire sont disposées en fermetures autoclaves. Mais pour les boîtes à étoupes, de même que pour les garnitures de piston formées de chanvre ou de rondelles de cuir superposées, il convient d'avoir recours aux formules empiriques sui vantes, dues à Eytelwein :

n coefficient égal à 7 pour les corps de pompe en laiton bien poli, à 15 pour ceux en fonte simplement forés, à 25 pour ceux en bois assez lisses, et à 50 pour ceux en bois dégradés par l'usage.

Les autres lettres ont les mêmes significations que ci-dessus.

CORDES ET COURROIES.

62. Roideur des cordes. Lorsqu'on vainc une résistance Q au moyen d'une corde qui s'enroule sur une poulie ou sur un tambour, la puissance P doit, pour l'équilibre dynamique, vaincre non-seulement la résistance Q et le frottement des tourillons, mais aussi une résistance due à la roideur de la corde, et dont l'effet consiste à infléchir la corde. Appelant R cette résistance, ou mieux la force qui, d'après les expériences, en agissant à très-peu près tangentiellement au cylindre sur lequel s'enroule la corde, fait équilibre à cette résistance, l'équilibre dynamique donne, pour un tour de poulie, en négligeant les frottements et en appelant D le diamètre de la poulie et d celui de la corde,

T=Px (D+ d) = Q× (D+d) + RxD, d'où P=Q+ R

D

D+d'

Coulomb a fait quelques expériences pour déterminer la valeur de R. Navier, de la discussion des résultats obtenus par cet expérimentateur, a conclu l'expression suivante pour la valeur de R :

Les expériences de Coulomb sont insuffisantes pour fixer la loi de variation de μ; cependant Navier fait μ = 2 pour les cordes neuves d'un grand diamètre, p=1,5 pour les cordes plus qu'à demi usées, et μ = 1 pour les petites ficelles très-flexibles.

Navier a admis (ce que ne confirme pas le tableau suivant dû aux expériences de Coulomb) que pour une même résistance utile Q, la résistance due à la roideur d'une corde blanche varie en raison inverse du diamètre de la poulie ou du tambour, et qu'elle est directement proportionnelle à la puissance p du diamètre de la corde.

μ

De cette hypothèse, il résulte que pour deux cordes de diamètres différents, s'enroulant sur deux poulies de diamètres inégaux, et élevant des poids égaux, on a :

R' résistance due à la roideur de la corde de diamètre d', s'enroulant sur la poulie dont le diamètre est D';

R

résistance due à la roideur de la corde de diamètre d, s'enroulant sur la poulie dont le diamètre est D.

Pour les cordes goudronnées, la roideur ne varie pas sensiblement avec le degré d'usé, et il est plus exact de remplacer, dans la formule

précédente, le rapport par celui, n' et n exprimant les nombres

des fils de caret que contiennent les deux cordes; ce qui donne

R' = R

Pour les cordes blanches mouillées, Navier admet que la roideur constante ad est double de celle des mêmes cordes sèches, mais que la roideur variable bd est la même que pour ces dernières. Les expériences ne paraissent pas assez nombreuses pour conclure d'une manière générale à cet égard.

Tableau de la roideur de différentes cordes s'enroulant sur une poulie de 1 mètre de diamètre, calculée par Navier, d'après les expériences de Coulomb.

Ce tableau montre bien, comme nous l'avons fait remarquer, que les quantités ad et bď ne varient pas avec la grosseur de la corde suivant une même loi (ad croît à peu près proportionnellement à la quatrième puissance du diamètre, et bd proportionnellement à la deuxième puissance). Il est donc impossible que l'expression (a) représente exactement la résistance R.

Application. A l'aide de ce tableau, et en admettant les formules précédentes, on peut résoudre tous les problèmes analogues au suivant :

Quelle est la résistance due à la roideur d'une corde blanche neuve de 0TM,0254 de diamètre, s'enroulant sur une poulie de 0,40 de diamètre et élevant un poids de 500 kilog.?

La corde blanche neuve du tableau, dont le diamètre 0,02 s'approche le plus de 0,0254, donne, en remplaçant les lettres par leurs valeurs dans la formule (a) :

Alors pour la corde de 0,0254 de diamètre placée dans les mêmes circonstances, on aura [formule (b)]

M. Morin, reprenant la discussion des résultats de Coulomb, a conclu, en appelant A et B les deux quantités que Navier a représentées par ad et bd :

1° Que pour les cordes en chanvre non goudronnées, dites cordes blanches, sèches ou imbibées d'eau, en bon état, A et B varient à peu près proportionnellement au carré du diamètre de la corde;

2° Que pour ces mêmes cordes à demi usées, A et B varient comme

2'

les puissances 1,5 = 3, c'est-à-dire comme les racines carrées des cubes des diamètres des cordes (Int. 517);

3° Que pour les cordes goudronnées, B est proportionnel au nombre des fils de caret de la corde.

De cette discussion, M. Morin a conclu les formules suivantes, dans lesquelles n désigne le nombre des fils de caret, et D le diamètre de la poulie :

1° Cordes blanches:

A=(0,000 297 +0,000 245n)n et B = 0,000 363n,

d'où

A =(0,001 4575 + 0,000 346n)n_et_B=0,000 418144n,

R=[(0,001 4575 +0,000 346n)n + 0,000 418nQ] kil.

M. Morin, en faisant usage de ces formules, a calculé les résultats du tableau suivant pour une poulie de 1 mètre de diamètre.

Application. Soit à résoudre le même problème que page 35. Substituant les valeurs de A et B correspondant au diamètre 0,0254 dans la formule

on a, en remarquant que n = 48,

1

R =

0,40

(0,578 7504 +0,017 424 × 500) = 23*,23,

au lieu de 20*,53 que nous avons trouvé en faisant usage de la table de Navier.

Pour un tour de poulie, le travail absorbé par cette résistance est

Tm

Р(D+ d) = Tu + Tn = 668 +29,18 = 697km,18.

Dans la pratique, il convient, quand cela est possible, de remplacer les cordes rondes par des cordes plates, qui ont plus de flexibilité et plus de durée.

;

On diminue beaucoup la roideur des cordes en les imprégnant d'un corps gras, ou en les frottant avec du savon.

65. Équilibre dynamique de la poulie (Int. 1700).

Fig. 1.

Négligeant le poids de la poulie, le système est soumis à l'action de cinq forces:

P puissance;

Q résistance;

N Réaction normale du support sur les tourillons ou l'œil

de la poulie;

Nf frottement des tourillons (59). Ordinairement les surfaces frottantes n'étant qu'un peu onctueuses, il convient de faire f = 0,15;

Pour un tour de poulie, l'équilibre dynamique donne, en remarquant que le travail de la réaction normale est nul,

P2r=Q2πr‍+Nƒ 2ñr'+ (A + BQ).

Remarquant que la résultante N, des réactions N et Nf est égale et directement opposée à la résultante de P et Q, cela permet d'éliminer N dans l'équation précédente, qui donne alors

P = Q + — (A + BQ) + ƒ1 = √P2 + Q2 + 2PQ cos w.

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