√1+f2

w angle que font entre eux les deux brins de la corde ou les deux forces P et Q.

=1,

Quand les deux forces P et Q sont parallèles, on a w= 0, cos ∞ = et la formule précédente devient

P

=

Pour les données du n° 62, c'est-à-dire pour Q = 500 kil., un diamètre de poulie D 0,40, et un diamètre de corde d = 0TM,0254, d'où r = 0",2127, supposant r' = 0",01, on a d'abord f1 formule (a) donne P = 529 kil.

=

0,1484, puis la

Remarque. La formule (a) fait voir que la valeur de P se compose de

A deux parties: la première qui est constante pour une même 2 (r —ƒ1r')' poulie et une même corde, et que l'on peut représenter par ; la (r+B+f1r')Q deuxième qui est proportionnelle à Q, et que l'on peut r-fr

représenter par ẞQ; ce qui permet de mettre la valeur de P sous la forme

Fig. 2.

Р = a + BQ.

64. Equilibre dynamique de la moufle ou du palan, en négligeant le poids de la corde et celui des poulies, le frottement latéral des poulies, et en supposant que ces poulies ont même diamètre et que les cordons sont parallèles (Int. 1701).

Appelant :

P la puissance, c'est-à-dire la tension du cordon libre ou garant;

Q la résistance utile;

t1, tą, tз... tn, les tensions des divers cordons allant d'une chape à

l'autre ;

n

le nombre des cordons allant d'une chape à l'autre ;

a et ẞ les fonctions déterminées comme à la remarque précédente,

D'où il résulte qu'assignant une valeur arbitraire à t1, on peut déterminer les valeurs correspondantes de ta, t... tn et P. Mais remarquant que l'on a Q = t1 + t2 + ... + tn, de ces diverses formules, on conclut la suivante, qui donne directement la valeur de P en fonction de Q :

+

(B-1) Br

En négligeant toutes les résistances passives, on aurait :

t1 = t2 = ... = tn = P

et

Q = t1 + t2+ + tn = np.

tą

Ainsi la tension de chacun des cordons serait égale à la puissance P, et la résistance Q serait égale à la puissance P multipliée par le nombren des cordons allant d'une chape à l'autre.

La vitesse de Q est à celle de P dans le rapport ·

Р
Q

=

Р 1

=

np=1, c'est-à

dire que la vitesse de Q est égale à celle de P divisée par le nombre des cordons allant d'une chape à l'autre. Il est évident que, sauf l'allongement inégal des cordons sous des charges différentes, le rapport des vitesses de Q et de P est le même, que l'on tienne on non compte des résistances passives.

Pour soulever un poids Q =500 kil., D= 0",10 étant le diamètre des poulies et r' = 0,005 le rayon de l'œil, le nombre des brins allant d'une chape à l'autre étant 6, comme dans la figure, et le diamètre d de ces brins, 0,011, on a d'abord f1 0,1484 (63); puis a = 0,20564, 3 = 1,0569, et la formule précédente (a) donne P = 105*,29. Au lieu

=

=

= 83*,33 qu'on aurait eu si les résistances passives eussent

63. Frottement d'une corde ou d'une courroie sur un cylindre fixe. La force T capable de faire glisser une corde ou une courroie sur un cylindre fixe B en la tirant par une de ses extrémités, cette corde ou cette courroie étant sollicitée à son autre extrémité par une

est donnée par la formule

orce t.

T = t(e), d'où (Int. 407), logT=logt + (loge) √s.

T force qui produit le mouvement;

t force qui s'oppose au mouvement;

e=2,718 28 base des logarithmes népériens (Int. 409);

Loge 0,434 2945, soit 0,4343;

=

f coefficient de frottement (56);

s longueur en mètres de l'arc embrassé par la corde ou la cour

D'après les expériences de M. Morin, les valeurs de f sont (57):

0,47 pour des courroies à l'état ordinaire d'onetuosité sur des tambours en bois; id.

0,50

0.28

0,38

à l'état ordinaire d'onctuosité sur des poulies en fonte;
humides
id.

0,50 pour des cordes de chanvre sur des poulies ou tambours en bois.

La formule fait voir que, pour une même valeur de t, T ne dépend

pas seulement de s, mais bien de, c'est-à-dire du nombre de degrés

de l'arc embrassé; ainsi il est inutile d'augmenter démesurément le diamètre des tambours dans l'unique but d'empêcher le glissement des courroies (tableau du no 66).

66. Transmission de mouvement au moyen d'une corde ou d'une courroie sans fin. Quand, au moyen d'une corde ou d'une courroie sans fin, on transmet le mouvement d'une poulie A (fig. 3) à une autre poulie B, à l'extrémité du rayon de laquelle agit une résistance Q qui s'oppose au mouvement, on a, en appelant T la tension du brin conducteur, t celle du brin conduit, et T' la tension commune des deux brins en repos,

T': =

T + t
2

(a) et T―t=Q.

(b)

Pour que la courroie ne glisse pas sur la poulie B, il faut que son frottement sur cette poulie soit au moins égal à Q.

L'équation (d) donne la valeur de t, qu'en pratique on augmente de 1/10, afin de s'assurer que la courroie ne glissera pas. Cette valeur, mise dans l'équation (b), fournit T, et les valeurs de T et t, substituées dans l'équation (a), donnent T.

Application. Supposons que la demi-circonférence de la poulie en fonte B (fig. 3) soit embrassée par une courroie de transmission qui donne f 0,28 (65), et que l'on ait r = 0",30 et Q =50 kilog. La formule (d) donne

=

Augmentant cette valeur de 1/10 pour s'assurer que la courroie ne glissera pas, on a t = 39 kilog.

Il est évident que ce calcul doit être fait pour la poulie qui donne la plus grande valeur de t; ainsi les deux poulies étant de même matière,

on devra calculer t pour celle qui est la plus petite, c'est-à-dire pour celle dont la portion de circonférence embrassée est la plus petite.

fs

La tension T étant plus grande que celle t, le brin conducteur est plus allongé que le brin conduit, et il en résulte pour la poulie conduite un ralentissement de 1/50 environ (Note de M. Krest, Ann. des mines, 1862). Le tableau suivant, que nous extrayons de l'Aide-mémoire de M. Morin, donne les valeurs de (e)" pour différents rapports de l'arc embrassé à la circonférence entière; ce qui abrégera considérablement, pour ces rapports, le calcul de t, ainsi que celui de T dans les applications relatives au n° 65.

67. Rouleaux de tension. Pour maintenir constante la tension des cordes ou des courroies sans fin, malgré leur allongement, on fait usage d'un rouleau de tension C (fig. 3), dont la pression sur la courroie est donnée par la formule

ppression du rouleau sur la corde ou courroie, suivant la bissectrice de l'angle a que font entre elles les deux parties du brin sur lequel il agit;

t' tension des deux parties du brin sur lequel agit le rouleau; dans le cas de la figure 3, on a t't.

L'angle a, qui est toujours très-obtus, se mesure sur la courroie mise en place.

1

Supposant l'angle a=170° ou

a = 85° dans l'exemple du n° 66, on

2

a, en remplaçant les lettres par leurs valeurs dans la formule précé

dente (Int. 1094),

p=2 × 39 × 0,087166*,80.

Remarque. Afin que les courroies ne quittent pas les poulies sur lesquelles elles passent, il convient que les pourtours de ces poulies aient une convexité égale à 1/10 de leur largeur.

68. Largeur des courroies. On peut, sans craindre un allongement trop rapide des courroies de transmission de mouvement, leur faire subir un effort de 1/4 de kilogramme par millimètre carré de section; ce qui permettra de calculer leur largeur, connaissant l'épaisseur du cuir à employer.

Au moulin de M. Darblay, à Corbeil, le mouvement est communiqué à chaque meule à l'aide d'une courroie qui passe sur deux poulies de même diamètre, dont l'une est montée sur l'arbre de la meule. Dans les moulins à l'anglaise, les meules ont 1",30 de diamètre, et leur vitesse de régime est de 120 révolutions par minute. Chez M. Darblay, les poulies motrices ont 1,30 de diamètre comme les meules, et une largeur de 0,12; elles sont tournées avec beaucoup de soin et légèrement bombées sur le pourtour, afin que la courroie ne glisse pas. Les courroies enveloppent ces poulies sur la moitié de leur circonférence; elles ont de 0,10 à 0,11 de largeur; elles sont en cuir de bonne qualité, bien corroyé; leur longueur est telle, qu'elles deviennent complétement lâches quand on soulève le rouleau de tension; ce qui fournit un moyen facile de débrayer et d'embrayer. Avec une telle vitesse de poulies, 3,141,30 × 2: = 8,16 par seconde, les courroies n'ont pas besoin d'ètre fortement tendues; aussi, quoique le travail à transmettre puisse s'élever quelquefois à plus de trois chevaux, le contre-poids adapté au levier des tendeurs est-il extrêmement faible.

Dans la pratique, les courroies enveloppant la moitié de la circonférence des poulies, la largeur se détermine ordinairement au moyen de la formule empirique :

largeur de la courroie, en mètres ;

puissance à transmettre, en chevaux;

vitesse de la courroie, en mètres par seconde ;

k coefficient, qu'on fait égal à 0,15 pour les arbres de couche, et à 0,20 pour les arbres verticaux.

Dans un travail présenté par M. Laborde à la Société industrielle de Mulhouse il y a un certain nombre d'années, cet ingénieur, avant de poser le principe sur lequel il base le calcul des largeurs à donner aux courroies, fait les observations suivantes :

1o La résistance à vaincre doit être moindre que la force qui ferait glisser la courroie sur la poulie;

2o La tension ne doit pas aller au point d'étendre le cuir;