Pour un solide à section elliptique dont 2h est l'axe vertical et 2b l'axe horizontal (Int. 1128), on a Pour b=h, on rentrerait dans les formules relatives à la section circulaire. Pour un solide creux à section elliptique, 2h et 2b étant les axes de l'ellipse extérieure, et 2h' et 26' ceux de l'ellipse intérieure (fig. 95), Si les ellipses intérieure et extérieure sont semblables, c'est-à-dire si l'on a b' =mb et h' = mh, les formules précédentes donnent PL = RT 4 bh2(1 — m2), et f= 4PL3 3Еbh3(1-m)* Pour b'h'=0, c'est-à-dire pour m= = 0, les formules précédentes deviennent celles posées pour la section elliptique pleine, et pour b=h et b'h', elles fournissent les formules relatives aux sections circulaires, ce qui devait évidemment arriver. 236. Si la pièce encastrée par une de ses extrémités était sollicitée par plusieurs forces p, p', p"... ayant 1, l', l′′... pour bras de levier, il suffirait de remplacer PL par pl + p'l' + p′′l" + ... dans les formules PL du numéro précédent. = RI Si les forces agissaient les unes dans un sens et les autres en sens contraire, il suffirait de donner au moment de chaque force le signe qui lui convient dans la somme algébrique pl + p'l' + p′′l" + ... 257. Si la pièce repose sur un appui placé en un des points de sa longueur, et qu'elle soit sollicitée à ses extrémités par deux forces qui se font équilibre autour de ce point d'appui, on a, pour une pièce prismatique à section rectangulaire, en remarquant que chaque force produit par rapport à l'autre le même effet qu'un encastrement au point d'appui, bras de levier de la force p qui sollicite une des extrémités de la pièce; l' bras de levier de la force q qui sollicite l'autre extrémité de la pièce; 1+lL longueur de la pièce; p+q=P charge totale que supporte la pièce. Si le point d'appui est au milieu de la longueur de la pièce, on a Pour les autres sections de pièce, il suffirait de remplacer PL par pl ou ql' ou pl + ql' dans les formules du n° 255, ou encore par PL si le point d'appui est au milieu de la longueur de la pièce. 258. La charge sollicitant une pièce prismatique encastrée par une de ses extrémités, au lieu d'être appliquée à l'extrémité de la pièce, peut être répartie uniformément sur toute sa longueur. Dans ce cas, les deux formules fondamentales (1) et (2) du no 255 deviennent Les lettres L, R, I, n, E et f ont les mêmes significations qu'au n° 255; p charge par mètre de longueur de la pièce; c'est, par exemple, le poids de chaque mètre de longueur de la pièce; PL charge totale; En comparant la formule précédente (1) avec la formule analogue (1) du n° 255, on voit qu'une même pièce peut supporter une charge totale pL, répartie uniformément sur toute sa longueur, double de la charge P qu'elle supporte quand P est appliquée à l'extrémité de sa longueur, et en comparant la formule précédente (2) avec la formule analogue (2) du no 255, on voit qu'une même pièce donne, pour une charge égale, une flèche ƒ qui n'est, pour le cas où la charge est uniformément répartie, que les 3/8 de celle produite par la même charge appliquée à l'extrémité de la pièce; ce qui revient à dire que pour produire une même flèche, la charge uniformément répartie doit être au poids unique appliqué à l'extrémité de la pièce dans le rapport de 8 à 3. En remplaçant, dans les formules (1) et (2), n et I par les différentes valeurs qui conviennent aux formes des sections transversales des pièces, on obtiendra des formules semblables à celles du n° 255; ainsi pour une pièce prismatique à section rectangulaire, on aura = Pour les données de l'application de la page 412, c'est-à-dire pour L= 1,50 et pL: 500 kilog., remplaçant les lettres par leurs valeurs dans les formules précédentes, on tire h=0,174, b=0",124 et f=0TM,0031. 259. La pièce peut être chargée d'un poids P appliqué à son extrémité et d'un poids pL réparti uniformément sur toute sa longueur. (Ce cas se présente particulièrement toutes les fois qu'en outre du poids P, on est obligé de tenir compte du poids de la pièce prismatique.) Dans ce cas, les formules (1) et (2) des n° 255 et 258 deviennent, en conservant aux lettres les mêmes significations, En remplaçant n et I par les valeurs qui conviennent aux sections des pièces, on obtient des formules semblables à celles des n° 255 et 258; ainsi, pour une pièce à section rectangulaire, on a la 260. Pièce reposant sur deux appuis placés à ses extrémités. Supposons d'abord qu'on puisse négliger le poids de la pièce, et qu'elle soit chargée d'un poids P placé au milieu de sa longueur. Dans ce cas, pièce travaillant comme si elle était encastrée au milieu de sa longueur et sollicitée à chacune de ses extrémités par une force égale à 2, toutes les formules posées au no 255 se reproduiront; seulement P sera remplacé paret L par; ainsi, pour une pièce prismatique, les deux formules fondamentales (1) et (2) deviennent, en conservant aux lettres les mèmes significations, P L Comparant ces formules avec celles (1) et (2) obtenues au no 255, on voit qu'une même pièce supporte, dans le cas où elle repose sur deux appuis, une charge quatre fois plus grande que quand elle est seulement encastrée par une extrémité et chargée à l'autre, et que, pour un même poids, la flèche est seize fois plus petite. Remplaçant n et I par les valeurs qui conviennent aux sections transversales des pièces, on obtiendra des formules semblables à celles posées au no 255; ainsi, pour une pièce à section rectangulaire, on a Pour les pièces à section carrée de côté c, il vient, en faisant b=h=c, C'est avec ces dernières formules que nous avons calculé les valeurs de P et de ƒ du tableau suivant. La formule donne ƒ en mètres, mais nous l'écrivons en millimètres dans le tableau. La première de ces dernières formules montre que P varie simplement en raison inverse de L. De ces formules on tire respectivement: c'est-à-dire le côté c en fonction de P et L, ou de P, L et ƒ. Extrait d'une note qui nous est communiquée par M. Barré. Quand la pièce est chargée de poids p, égaux entre eux et dont les points d'applications divisent la longueur L en parties égales, elle fatigue comme si un poids unique P, qui prend les valeurs suivantes, était appliqué au milieu de L. Selon que le nombre n des poids p1 est impair ou pair, on a Ayant P, on calcule les dimensions de la pièce à l'aide la formule cidessus (1). 261. Si la charge est uniformément répartie sur toute la longueur de la pièce, p étant la charge par mètre de longueur, la charge totale est pL, dont la moitié est: viennent PL 2 et les formules fondamentales (1) et (2) (260) de Ces formules font voir que le poids pL est double de celui supporté par la même pièce chargée en son milieu, et que la flèche est les 5/8 de celle produite par le même poids appliqué au milieu de la longueur de la pièce. Pour une pièce prismatique à section rectangulaire, on a, en remplaçant n et I par les valeurs qui conviennent à cette section (255), 262. Si la pièce était chargée d'un poids P au milieu de sa longueur, et d'un poids p par mètre réparti uniformément sur toute sa longueur, on aurait (260 et 261) Pour une pièce prismatique à section rectangulaire on a donc, en remplaçant n et I par leurs valeurs (255), Tableau des poids P dont on peut charger en leur milieu les poutres en bois reposant sur deux appuis placés à leurs extrémités, et des flèches f que ces poutres subissent sous l'action des poids P (260), la longueur de la poutre, ou mieux la distance des appuis, étant L, et sa section étant un carré de côté c. Nous avons adopté 1 200 000 000 pour le coefficient d'élasticité E et 600 000 pour le coefficient de sécurité R (251). Nous avons négligé le poids de la poutre, ce que l'on peut faire tant que le rapport de Là c ne dépasse pas une certaine limite, et dont on peut tenir compte dans tous les cas en opérant comme au 4o de la page 425. |