L= 1,00 1,50 2,00 2,50 3",00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 83 73 8,32 11,30 14,83 133 114 100 89 80 276 97 160 5,21 691 461 346 0,12 f 352 0,13 5,77 0,60 1,34 2,38 3,72 5,36 7,30 197 173 154 138 126 115 8,49 11,13 14,10 17,33 21,06 24,96 251 220 195 176 160 146 7,85 10,27 12,96 16,05 19,42 23,00 314 274 244 220 200 183 9,51 12,06 14,91 18,05 21,44 338 300 270 245 225 193 169 8,90 11,25 13,89 16,77 20,00 27,24 35,61 410 364 328 298 273 234 205 6,388,33 10,55 13,02 15,76 18,75 25,52 33,33 491 437 393 357 328 281 246 3,06 4,41 6,00 7,84 9,93 12,25 14,83 17,65 24,02 31,37 583 518 467 424 389 333 292 259 7,41 9,38 11,57 14,00 16,67 22,69 29,63 37,50 784 686 610 549 499 457 392 343 305 5,37 7,02 8,88 10,96 13,27 15,79 21,49 28,07 35,53 711 640 582 533 457 400 355 2,60 3,75 5,10 6,67 8,44 10,42 12,60 15,00 20,42 26,67 33,75 P 3704 2469 1852 1482 1235 1058 926 823 741 673 617 529 463 412 0,40 0,89 1,59 2,48 3,57 4,86 6,35 8,04 9,92 12,00 14,29 19,44 25,40 32,14 4259 2839 2130 1704 1420 1217 1065 946 f 0,38 0,85 1,52 2,37 3,41 4,64 6,06 7,67 Р 4867 3245 2433 1947 1622 1391 1217 1082 973 885 811 695 608 541 487 0,36 0,82 1,45 2,26 3,26 4,44 5,80 7,34 9,06 10,96 13,04 17,75 23,24 29,35 36,23 5530 3686 2765 2212 1843 1580 1382 1229 1106 1005 922 790 691 614 553 f 0,35 0,78 1,39 2,17 3,13 4,25 5,56 7,03 8,68 10,50 12,50 17,01 22,22 28,13 34,72 6250 4167 3125 2500 2083 1562 1388 1250 1136 1042 893 781 694 625 f0,33 0,75 1,33 2,08 3,00 5,33 6,75 8,33 10,08 12,00 16,33 21,33 27,00 33,33 1758 1562 1406 1278 1172 1004 879 781 703 2333 1555 1166 933 2,89 4,17 P 2744 1829 1372 1097 915 f 0,44 0,99 1,75 2,74 3,95 0,20 32,492,33 1667 1,60 19 1774 1626 1394 1219 1084 976 7,18 8,69 10,34 14,08 18,39 23,28 28,74 0,30P 10800 7200 5400 4320 3600 3086 2400 2160 1963 1800 1543 1350 1200 1080 0,28 0,63 1,11 1,74 2,50 3,40 4,44 5,63 6,94 8,40 10,00 13,61 17,78 22,50 27,78 5958 4767 3972 3405 2979 2648 2383 2167 1986 1702 1490 1324 1192 0,3111916 7944 0,27 0,60 1,08 1,68 2,42 3,29 4,30 5,44 6,72 8,13| 9,68 13,17 17,20 21,77 26,88 8738 6554 5243 4369 3745 3277 2913 2621 2383 2185 1872 1638 1456 1310 0,26 0,59 1,04 1,63 2,34 3,19 4,17 5,27 6,51 7,88 9,38 12,76 16,67 21,09 26,04 P14375 9583 7187 5750 4792 4107 3594 3194 2875 2614 2396 2053 1797 1597 1437 0,25 0,57 1,01 1,58 2,27 3,09 4,04 5,11 6,31 7,64 9,09 12,37 16,16 20,45 25,25 P15722 10481 7861 6289 5241 4492 3930 3494 3144 2858 2620 2246 1965 1747 1572 0,25 0,55 0,98 1,53 2,21 3,00 3,92 4,96 6,13 7,41 8,82 12,01 15,69 19,83 24,51 P17150 11433 8575 6860 5717 4900 4288 3811 3430 3118 2858 2450 2144 1906 1715 0,24 0,54 0,95 1,49 2,14 2,92 3,81 4,82 5,95 7,20 8,57 11,67 15,24 19,29 23,81 P18662 12442 9331 7465 6221 5332 4666 4147 3732 3393 3110 2666 2333 2074 1866 f0,23 0,52 0,93 1,45 2,08 2,84 3,70 4,69 5,79 8,33 11,34 14,81 18,75 23,45 P20261 13507 10131 8104 6754 5789 5065 4502 4052 3684 3377 2894 2533 2251 2026 2168 1951 5,82 7,00 0,38 0,39 f 0,23 0,51 0,90 1,41 2,03 2,76 3,60 4,56 5,63 6,81 8,11 11,04 14,41 18,24 22,52 3658 3136 2744 2439 2195 ,00 2,00 3,00 1,00 5,00 5,00 7,003,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 1500 с 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 7951 8518 25600 12800 8533 6400 5120 4267 3657 3200 2844 2560 2327 2133 44237 22118 14746 11059 8847 7373 6320 5530 4915 4424 4022 3686 3402 0,17 0,68 1,532,72 4,25 6,12 P 50000 25000 16667 12500 10000 8333 7143 6250 5556 5000 0,17 0,67 1,50 2,67 4,17 6,00 8,17 10,67 13,50 16,67 P53060 26530 17687 13265 10612 8843 7580 6633 5896 5306 0,16 0,65 1,47 2,61 4,09 5,88 8,01 10,46 13,24 16,34 P56243 28122 18748 14061 11249 9374 8035 7030 6249 5624 5113 4687 4326 4017 f 0,16 0,64 1,44 2,56 4,01 5,77 7,85 10,26 12,98 16,02 19,39 23,08 27,09 31,41 0,53 P59551 29775 19850 14888119109925 8507 7444 6617 5955 5414 4963 4580 4253 f 0,16 0,63 1,41 2,52 3,93 5,66 7,70 10,06 12,74 15,72 19,92 22,64 26,57 30,82 0,54) P62936 31493 20995 15746 12597 10498 8998 7873 6998 6299 5726 5249 4845 4499 if 0,15 0,62 1,39 2,47 3,86 5,56 7,56 9,88 12,50 15,43 22,22 26,08 30,25 66550 33275 22183 16638 13310 11092 9507 8319 7394 6655 6050 5546 5119 4753 4437 if 0,15 0,61 1,36 2,42 3,79 5,45 7,42 9,70 12,27 15,15 18,33 21,82 25,61 29,70 34,09 P70246 35123 23415 17562 14049 11708 10035 8781 7805 7025 6386 5854 5403 5017 4683 f 0,15 0,60 1,34 2,38 3,72 5,36 7,29 9,52 12,05 14,88 18,01 21,43 25,15 29,17 33,48 74077 37039 24692 18519 14815 12346 10582 9260 8231 7408 6734 6173 5698 5291 4938 f 0,15 0,58 1,32 2,34 3,65 5,26 7,16 9,36 11,84 14,62 17,89 21,30 24,71 28,66 32,89 P78045 39022 26015 19511 15609 13007 11149 9756 8672 7804 7095 6304 60035574 5203 0,14 0,57 1,29 2,30 3,59 5,17 7,04 9,20 11,64 14,37 17,38 20,69 24,28 28,16 32,33 P 82152 41076 27384 20538 16430 13692 11736 10269 9128 8215 7468 6846 6319 5868 5477 f0,14 0,56 1,27 2,26 3,53 5,08 6,92 9,04 11,44 14,12 17,09 20,34 23,87 27,69 31,78| P 86400 43200 28800 21600 17280 14400 12343 10800 9600 8640 7855 7200 6646 6171 5760 0,14 0,56 1,25 2,22 3,47 5,00 6,81 8,89 11,25 13,89 16,81 90792 45396 30264 2269818159 15132 12970 11349 10088 9079 8254 7566 0,610,14 0,55 1,23 2,19 3,42 4,92 6,69 8,74 11.07 13,66 P95331 47666 31777 23833 19066 15889 13619 11916 10592 9533 f0,13 0,54 1,21 2,15 3,36 4,84 6,59 8,60 10,89 13,44 D 50009 33340 25005 20004 16670 14288 12502 11113 10002 0,53 1,19 2,12 3,31 4,76 6,48 8,47 10,71 13,2316,01 19,05 22,36 25,93 29,76 52429 34953 26214 20972 17476 14980 13107 11651 10486 0,52 1,17 2,08 3,26 4,69 6,38 8,33 10,55 13,02 54925 36617 27463 21970 18308 15693 13731 12206 10985 0,52 1,15 2,05 3,21 4,62 6,28 8,21 10,38 12,82 57499 38333 28750 23000 19166 16428 14375 12778 11500 " 0,51 1,14 2,02 3,16 4,55 6,19 8,08 10,23 12,63 D 60153 40102 30076 24061 20051 17186 15038 1336712031 0,50 1,12 1,99 3,11 4,48 6,09 7,96 10,07 12,44 62886 41924 31443 25155 20962 17963 15722 13975 12577 0,49 1,10 1,96 3,06 4,41 6,00 7,84 9,93 12,25 65702 43801 32851 26281 21901 18772 16425 14600 13140 D 0,48 1,09 1,93 3,02 4,35 5,92 7,73 9,78 12,08 D 68600 45733 34300 27440 22867 19600 17150 15244 13720 0,48 1,07 1,90 2,98 4,29 5,83 7,62 9,64 11,90 D Usage du tableau précédent. Cas où la pièce repose librement sur deux appuis placés à ses extrémités (260). = = 4 mètres entre ses appuis est 1° Une poutre d'une longueur L chargée en son milieu d'un poids P 800 kilog.; quel doit être le côté c de sa section, qui est carrée, et quelle flèche ƒ prend cette pièce, en négligeant le poids de celle-ci? Le tableau donne directement c = 0,20 et ƒ = 6"",67. Pour une longueur L = 4",10 et un poids P = 860 kilog., la table montre que c est compris entre 0,20 et 0,21, limites des valeurs qu'on pourra alors adopter sans inconvénient dans la pratique. La formule du n° 260 donne pour la valeur exacte de c, 2° Pour L4 mètres et P 600 kilog., si la section transversale de la pièce est un rectangle dont la hauteur h est à la base b dans le rapport dc 4 à 3, cette pièce travaille dans les mêmes conditions qu'une pièce de même longueur L=4 mètres, d'une section carrée dont le côté c=h, et 4 chargée en son milieu d'un poids P = 600 × = 800 kilog. Cela établi, 3 = 0,15. 4 d'après le 1° on a h= 0", 20, puis b = 0",20 × Quant à la flèche ƒ, elle a évidemment la même valeur 6"",67 pour les deux poutres. 3o Si la première pièce du 1o et celle du 2° sont respectivement chargées uniformément sur toute leur longueur d'un poids total pL de 1600 kilog. et de 1200 kilog., ces poids étant équivalents aux poids uniques = 800 kilog. et 1600 1200 600 kilog. appliqués au milieu de la longueur (261), on a d'après le 1° c = 0,20, et d'après le 2o h = 0",20 et b=0",15. Quant à la flèche, qui est la même pour les deux pièces, elle est (261) 4o Pour L= 4 mètres entre les appuis, un poids P= 650 kilog. placé au milieu de la longueur de la pièce, et un poids pL = 300 kilog. réparti uniformément sur toute cette longueur (ce poids pL peut comprendre celui de la pièce), la poutre fatiguant comme si elle était chargée en son milieu d'un poids unique 650 + carrée, on a, d'après le 1°, c = = 0,20. 300 2 =800 kilog., si la section est Si P450 kilog. et pL300 kilog., la pièce fatigue comme si elle était chargée en son milieu du poids unique 450 + 150 600 kilog., et si la section est un rectangle dont h est à b dans le rapport de 4 à 3, on a, d'après le 2o, h = 0",20 et b=0",15. Cas où la pièce est encastrée par une de ses extrémités (255). 5° Si le poids P suspendu à l'extrémité de la longueur L= 4 mètres de la pièce est de 200 kilog., la pièce fatiguant au point d'encastrement comme elle fatiguerait en son milieu si, reposant sur deux appuis, elle était chargée en ce milieu d'un poids de 200 × 4 = 800 kilog. (260), si la pièce est carrée on a, d'après le 1o, c= = 0", 20. = 6° Le poids appliqué à l'extrémité de la pièce étant de 150 kilog., si la section est un rectangle dont h:b 4:3, la pièce travaille comme une pièce à section carrée de c= h de côté, supportant à son extrémité un =200 kilog. On a alors, d'après le 5°, h=c=0,20, 3 7° Si la section étant un carré, la charge répartie uniformément pL=400 kilog., la pièce travaille au point d'encastrement comme si elle était chargée à son extrémité d'un poids de 400 2 = = 200 kilog. (258). Le problème est alors ramené à celui du 5o, et l'on a c= = 0", 20. 8° Si la section est un rectangle dont h:b = 4:3, et que le poids réparti uniformément soit pL300 kilog., la pièce travaille comme si étant carrée elle supportait un poids de 300 4 3 = 400 kilog. réparti uniformément. On a alors (7°) h = c = 0",20, et b = 0a,20 × 9o La section étant un carré, si le poids P appliqué à l'extrémité est de 100 kilog. et le poids pL uniformément réparti de 200 kilog., la pièce travaille au point d'encastrement comme si elle était chargée à son extrémité d'un poids unique P+ 100 100 200 kilog. (259), = l'on a, d'après le (5o), c= 0,20. PL = et 10° Si la section est un rectangle dont h: b = 4:3, le poids P étant de 75 kilog. et celui pL de 150 kilog., la pièce travaille comme une pièce à section carrée de c h de côté, chargée du poids 75 × 100 kilog. 4 appliqué à son extrémité et du poids 150×200 kilog. réparti uniformément. Le problème est ainsi ramené à celui du 9o, et l'on a h=0,20, puis (8°) b = 0TM,20 × = = 0,15. 3 4 265. La pièce reposant toujours sur deux appuis, il peut arriver que le poids unique P qu'elle supporte soit placé en un point quelconque de sa longueur. On a alors 7 et l' distances du point d'application de P aux appuis, l+l'= L. Pour une pièce à section rectangulaire, on a, en remplaçant n et Si le poids était appliqué au milieu de L, on aurait l = l' = valeur, substituée dans ces deux dernières formules, reproduirait les formules déjà trouvées pour ce cas au no 260. La pièce étant chargée, en outre du poids P placé en un point quelconque de sa longueur, d'un poids p par mètre réparti uniformément, Pour une pièce à section rectangulaire, cette formule devient, en remplaçant n et I par leurs valeurs (255), Cette formule donne la valeur du moment de rupture pour le point d'application du poids P; mais il peut arriver que ce ne soit pas le maximum du moment de rupture. Dans ce cas, il y a une limite de fà partir de laquelle le maximum a toujours lieu au point d'application de P. Pour l' = L 2' c'est-à-dire pour le cas où P est placé au milieu de la longueur de la pièce, ces deux formules fournissent celles trouvées pour cette manière d'être chargée de la pièce (262). 264. Pièce prismatique dont une extrémité est encastrée, tandis que l'autre repose librement sur un appui. Représentons par : Pun poids placé en un point quelconque de la pièce; pune charge par mètre répartie uniformément sur toute la longueur de la pièce; L la longueur de la pièce; let' les distances respectives du point d'application du poids P au point d'encastrement et au point d'appui; la pression exercée par la pièce sur le point d'appui. Pour un point quelconque pris sur 7, on a, en désignant par x sa distance au point d'encastrement, et en supposant que la section de la pièce est rectangulaire (255), Si le point est pris sur l', et à une distance x' du point d'encastrement, le moment de résistance est, en supposant la pièce à section rectangulaire, |