Supposant que deux solides prismatiques de même longueur L, largeur b et hauteur h, soient mis l'un sur l'autre et encastrés à une extrémité, et que leur ensemble soit chargé à l'autre extrémité d'un poids P,

Mais si les deux solides sont unis de manière à ne former qu'une pièce, on a

Ce qui montre qu'en empêchant les deux pièces de glisser l'une sur l'autre, on double la charge qu'elles peuvent supporter.

Dans la pratique, on s'oppose au glissement au moyen de clefs. Les formules (a) et (a') serviront à déterminer le nombre et les dimensions de ces clefs, selon la position du joint par rapport au milieu de la hauteur de la pièce. Ces formules montrent de plus que Q' est proportionnel à r; or, comme r est proportionnel, pour un même poids P, à L — l (formule 1), on voit que les clefs devront être également espacées entre elles sur toute la longueur de la pièce. Il est évident qu'on devra calculer le nombre des clefs pour la plus grande valeur de Q', c'est-à-dire pour le point d'encastrement, ou en faisant r = R dans les équations (a) et (a'). Les clefs doivent avoir une largeur telle, qu'elles ne soient pas cisaillées transversalement par les deux parties de la poutre, et leur hauteur doit donner des entailles capables de résister ensemble à la compression Q sans altération.

Les clefs, sous l'action des deux parties de la poutre, tendent à tourner autour de leur axe; il en résulte qu'elles ne pressent pas uniformément contre les entailles, et que pour cette raison on doit augmenter un peu la profondeur de ces entailles. De plus, cette tendance des clefs à tourner écarterait les pièces qui forment la poutre, si on ne les reliait pas entre elles par des brides en fer.

Si la poutre reposait sur deux appuis placés à ses extrémités, et qu'elle fût chargée du poids P en son milieu, on la considérerait comme étant encastrée au milieu de sa longueur, et chargée à chaque extrémité du poids.

L

Si dans ce dernier cas le poids P était réparti uniformément sur toute la longueur de la poutre, p étant la charge par mètre de longueur, on aurait P = pL, et pour l'équilibre d'une longueur -1, comptée à partir d'une extrémité, la formule (1) deviendrait

2

La force Q, qui tend à opérer la disjonction de la poutre suivant

La valeur de Q augmentant à mesure que le carré de l est plus petit, on voit que les clefs devront être plus rapprochées ou plus profondes vers les extrémités de la poutre qu'au milieu. De même, pour une poutre encastrée à une extrémité, et chargée uniformément sur toute sa longueur, les clefs doivent être de plus en plus rapprochées ou plus profondes à partir de l'encastrement.

Les considérations précédentes s'appliquent aux rivets des poutres en tôle comme aux clefs des poutres en bois (page 379).

271. Résistance à la torsion. Lorsqu'une pièce cylindrique ou prismatique homogène est soumise à un effort de torsion, tant qu'on n'a pas dépassé la limite d'élasticité, on a :

F effort tangentiel, rapporté à l'unité de surface, qui sollicite un élément d'une section quelconque à la distance & de l'axe;

G coefficient de torsion, c'est-à-dire résistance au glissement latéral par unité de surface du solide;

angle de torsion ou angle dont deux sections à 1 mètre de distance suivant l'axe se déplacent l'une par rapport à l'autre; est exprimé par la longueur de l'arc qui correspond à pour un point situé à l'unité de distance de l'axe, soit par le πο

nombre de degrés de 0 multiplié par le rapport ; donc 0= dans les for

mules précédentes;

180

180

2 angle de l'hélice en laquelle se transforme une fibre, primitivement rectiligne, siπθο

tuée à la distance & de l'axe;

étant exprimé en degrés, on a ainsi tang a 180

distance des fibres considérées à l'axe;

P force tendant à tordre le corps en agissant dans un plan normal à l'axe; bras de levier de P (Int. 1562);

1=So2de somme des produits de la surface do de la section de chacune des fibres

élémentaires qui composent la pièce par le carré de la distance de cette fibre à l'axe. I a été appelé moment d'inertie polaire par M. Persy.

d diamètre du cylindre plein;

d' et d' diamètres extérieur et intérieur du cylindre creux; bet h côtés de la section rectangulaire de la pièce;

C côté de la pièce à section carrée.

Io

*3(b2+h2)*

6

Des formules (a), on conclut les deux suivantes, qui répondent à la solution des deux problèmes généraux relatifs à la torsion:

Tableau des valeurs de G et de F qu'on peut employer en toute sécurité dans la pratique pour diverses matières. L'effort tangentiel F indiqué au tableau est le tiers de celui qui correspond aux déformations permanentes appréciables.

Quel doit être le diamètre à donner à un arbre reposant sur deux coussinets entre lesquels il n'est soumis à aucun effort de flexion, cet arbre étant commandé à une extrémité par une roue d'engrenage ou une poulie placée en porte-à-faux, c'est-à-dire en dehors des coussinets, et commandant à son autre extrémité une roue d'engrenage ou une poulie également placée en porte-à-faux? Pour la partie intermédiaire aux coussinets, on a

formule de laquelle on déduit, en remarquant que pour les éléments d'une section circulaire qui sont les plus fatigués,

Pp2 étant le travail transmis à l'arbre pour un tour, on a:

(1)

C travail en chevaux transmis à l'arbre;

N nombre de tours que fait l'arbre par minute.

Substituant cette valeur de Pp dans l'équation (1), on a pour l'expres

sion du diamètre en fonction du nombre de chevaux transmis à l'arbre :

Désignant par A le nombre de kilogrammètres transmis à l'arbre par minute, on a

et cette valeur substituée dans l'équation (1) donne :

Les formules (1), (2) et (3) supposent que l'arbre est animé d'un mouvement de rotation uniforme, que son accélération angulaire est nulle, et, par suite, que l'effort de torsion est constant dans toutes les sections. La plupart des auteurs adoptent la même formule (3) pour les arbres animés d'un mouvement de rotation varié; mais en faisant varier le coefficient K, non-seulement avec la nature de la matière employée dans la construction de l'arbre, mais aussi avec la nature du travail qu'il a à transmettre. M. Contamin résume, dans le tableau suivant, les valeurs de K dont il est alors fait usage (page 381):

On substitue souvent des arbres creux en fonte aux arbres pleins. Cette disposition présente de grands avantages comme économie de poids. Pour l'arbre plein, la formule (1) donne

Pour l'arbre creux, on a de même, en remplaçant I, par sa valeur précédente donnée pour la section en couronne circulaire et en faid' sant = 2

Les arbres à section carrée ne sont plus guère employés. A résistance égale, ils sont plus lourds; la matière y est moins bien utilisée, puisque les quatre arêtes sont seules soumises à l'effort tangentiel maximum de glissement F; enfin, les formules dont on se sert pour calculer leurs dimensions ne s'appliquent plus à leur profil que par à peu près.

Si un arbre est animé d'un mouvement de rotation varié, c'est qu'il est sollicité par un moment de torsion Pp plus grand à l'une de ses extrémités qu'à l'autre. Dans ce cas, la section devra être déterminée pour résister à la plus grande valeur de Pp.

Souvent des considérations spéciales imposent la condition que le déplacement relatif au pourtour des sections extrêmes de la partie de l'arbre soumise à la torsion ne dépasse pas une limite donnée t. Lorsqu'on calcule les dimensions en vue de remplir cette condition, elles résultent de la formule suivante (1'), déduite de l'équation (1). Pour un arbre cylindrique de rayon r, la formule (a) donne

t longueur de l'arc décrit par chaque point du pourtour de l'une des sections par rapport aux points de l'autre section;

longueur de la partie de l'arbre soumise à la torsion.

Avant d'adopter les dimensions ainsi déterminées, il faut s'assurer qu'elles répondent à des valeurs de F égales, au plus, aux efforts-limites qu'on peut faire subir à la matière composant l'arbre.

Les formules qui précèdent montrent que le moment de torsion P est indépendant de la longueur 7 de l'arbre, et la formule t=0rl montre que t est proportionnel à 7.

Pour les transmissions de mouvement non soumises à des chocs