violents, comme, par exemple, celles des ateliers ordinaires de construction de machines, dans la formule (3), d étant exprimé en centimètres, et non en mètres comme dans ce qui précède, le coefficient K varie de 0,35 à 0,50.

De la comparaison des valeurs de F consignées aux tableaux pages 440 et 441, on peut en déduire les valeurs de K à employer dans les différents cas pour les arbres en acier ou en bois.

272. Résistance d'un arbre soumis à la fois à un effort de torsion et à un effort de flexion. Le théorème général de la superposition des effets des forces donne la solution de ce problème, que M. Belanger résume ainsi :

« Lorsqu'un prisme est simplement soumis à un effort de torsion, la force F par unité de surface, résistant au glissement transversal des points les plus éloignés de l'axe du prisme, ne doit pas excéder de certaines valeurs, que nous donnons au numéro précédent.

« Si le prisme subit seulement une flexion plane, les forces élastiques longitudinales R aux mêmes points les plus éloignés de l'axe ne doivent pas non plus dépasser les limites données au no 255.

<«< Dans les machines, il arrive fréquemment qu'un arbre cylindrique subit simultanément les deux déformations dues à la torsion et à la flexion. Dans ce cas, une règle fort simple, et qui doit suffire dans la pratique, consiste à calculer, en fonction du rayon inconnu du cylindre et des forces connues, d'abord la force de glissement F par unité de surface, puis la tension R, aussi par unité de surface, et de s'imposer la condition que la résultante

des deux forces rectangulaires F et R (Int. 1524) n'excède pas la limite qu'on se donne quand le corps ne subit qu'une des deux déformations. Pour le fer forgé, par exemple, cette limite de R' serait au plus de 6 kilogrammes par millimètre carré. Nous disons au plus, par la raison qu'une pièce tournante, fléchie alternativement dans les deux sens, est plus exposée à l'altération de son élasticité qu'une pièce toujours fléchie du même côté, comme dans les constructions sensiblement immobiles. »

Supposons un arbre à section circulaire reposant sur deux coussinets placés de niveau, et commandé à une extrémité, en dehors des coussinets, par un moment de torsion Pp (271); supposons de plus que cet arbre supporte entre ses coussinets un volant dont le poids est Q'et une roue d'engrenage du poids Q" qui reçoit de la part de l'engrenage qu'elle commande une réaction verticale q de haut en bas (fig. 151).

Du point où agit la puissance P au point de calage de la roue d'engrenage, l'arbre donne

L'arbre résiste par flexion aux forces verticales Q' et Q" + q, en supposant que la réaction q agit pour faire fléchir l'arbre comme le ferait une force égale appliquée sur l'axe au même point que le poids Q". Appelant um le plus grand moment fléchissant produit par l'ensemble des forces Q' et Q" + q, plus grand moment qui a lieu au point d'application de Q' ou de Q′′ + q et généralement de Q', on a

(P + PL) Z

dans le cas, plus

Um est égal à PL dans la formule (1) du no 255, et à (P+

analogue à celui qui nous occupe, du no 263.

Comme pour le cylindre de diamètre d on a_n=

(page 417), la formule précédente devient

16
R= × 2μm.
πα

Admettant que R' 6 × 10°, on peut donc poser

La même formule peut servir à calculer le diamètre à donner à une section intermédiaire quelconque, en y remplaçant pm par le moment fléchissant dans cette section.

273. Tourillons. Des expériences de Buchanan, il résulte que le diamètre d'un tourillon en fonte est, pour résister à la flexion, donné par la formule

d diamètre du tourillon, en centimètres;

k coefficient variable de 0,87 à 0,95 d'après les observations de Buchanan, et de 0,71 à 0,85 d'après celles de Tredgold. On pourra considérer la valeur maxima de Buchanan comme convenable aux tourillons soumis à des réactions brusques, comme ceux des arbres à cames; on pourra la réduire à 0,85 pour les roues hydrauliques. Dans les machines à vapeur, on peut faire, d'après Robertson,

k=0,69, en augmentant de 1/8 pour l'usé, et encore cette règle donne des diamètres trop forts pour les machines d'une puissance supérieure à 20 chevaux; Q charge du tourillon ou pression qu'il exerce sur son coussinet, exprimée en kilogrammes.

Ces deux formules font voir que la résistance à la flexion d'un tourillon en fonte est à celle d'un tourillon en fer de même diamètre dans le rapport de 9 à 14. Ainsi, faisant k = 0,80 pour la fonte, le diamètre d'un tourillon en fer placé dans les mêmes conditions sera donné par la formule

d = 0,80×0,863 √=0,69 VQ.

La longueur convenable des tourillons est, d'après Tredgold, égale à 1,2 fois le diamètre; ce sont en effet les proportions généralement adoptées dans la pratique, à l'exception des tourillons en fer dont le diamètre est inférieur à 0,07, pour lesquels la longueur se prend le plus souvent égale à 1,5 fois le diamètre, on va même à 2 fois pour les petits diamètres.

Du Cours de M. Contamin (page 381), nous extrayons ce qui suit : Lorsque les tourillons terminent un arbre, ils ne sont soumis qu'aux réactions exercées contre eux par les coussinets sur lesquels ils s'appuient par leurs poids, par celui de l'arbre et des organes qu'il supporte, et par les efforts exercés par les courroies et les dents engrenées contre ces organes. Lorsqu'ils ne terminent pas un arbre, mais qu'ils sont suivis par une autre portion d'arbre, ou par une portée cylindrique sur laquelle on cale une manivelle, ils peuvent avoir à résister, en outre des réactions provenant des coussinets, à des efforts de torsion dus aux organes qui actionnent les pièces montées sur ces parties cylindriques. Les dimensions à leur donner dépendent de ces diverses forces et de deux conditions d'établissement d'une très-grande importance qui s'énoncent comme suit :

Les tourillons doivent être graissés convenablement pour résister à l'usure que produirait le frottement direct des métaux, et pour diminuer le travail perdu du fait de ce frottement. Pour que ces résultats, qui sont solidaires, soient atteints, il faut que les graisses puissent rester entre les parties en contact et qu'elles y conservent leurs propriétés physiques. Elles ne restent entre les surfaces en contact que si les pressions mutuelles entre ces surfaces ne sont pas tellement élevées que les corps lubrifiants soient expulsés, et elles n'y conservent leurs propriétés physiques que si la chaleur développée par le travail du frottement n'élève pas la température du milieu dans lequel elles se trouvent à un degré qui puisse les décomposer.

Si le tourillon termine un arbre, les réactions qu'il subit de la part du coussinet ont pour équivalentes une force unique égale et directement opposée à la résultante Q des pressions du tourillon sur le coussinet, résultante passant par le milieu de l'axe de ce tourillon, et un couple provenant du frottement des surfaces en contact. La réaction normale du coussinet s'exerce toujours sur toute la surface demi-cylindrique dont

le diamètre est perpendiculaire à Q, et uniformément en tous les points de cette surface; car si un point supportait une pression plus élevée que les autres, il s'y produirait une usure plus grande qui aurait pour conséquence de diminuer la charge qu'il supporte, et si un point était moins chargé que les autres, il s'userait moins et deviendrait peu à peu plus chargé. On a alors

Qpression totale du tourillon sur le coussinet;

N réaction normale du coussinet contre le tourillon, par unité de surface;

do élément de la surface de contact;

Bangle de la normale à do avec la direction de Q;

Ndo réaction normale de l'élément dw;

Ndo cos ẞ projection de Ndo sur la direction de Q;

Σ signifie somme;

do cosẞ projection de l'élément do sur la surface perpendiculaire à Q, puisque ẞ est aussi l'angle que fait do avec cette surface;

7 longueur du tourillon et d son diamètre.

Pour que les corps.lubrifiants interposés entre les surfaces en contact ne soient pas chassés, la valeur maximum de N ne doit pas dépasser 15 par centimètre carré pour la graisse, 20 pour l'huile et 10* pour l'eau. Dans le cas d'assemblage de bielle et manivelle, le coussinet étant en bronze et le graissage se faisant à l'huile, N peut atteindre 40* par centimètre carré si le tourillon est en fer, et 60* s'il est en acier. La grandeur de ces deux dernières valeurs de N s'explique en remarquant que l'effort de la bielle ayant lieu alternativement dans un sens et dans l'autre, l'huile passe d'un côté à l'autre à la faveur du petit jeu qui doit toujours exister dans l'articulation.

La chaleur développée par le travail du frottement devant être dispersée par la conductibilité et le rayonnement des pièces frottantes, sous un excédant de température qui a été reconnu ne pas devoir dépasser 45°, il faut que la longueur des tourillons, et par suite la surface qui rayonne, soient proportionnelles au travail total développé par le frottement des corps en contact.

L'expérience apprend que l'excès de température de 45° n'est pas dépassé toutes les fois que le travail du frottement par unité de surface est au plus égal à 15 000km. On doit donc avoir

15 000 Nv.

f coefficient de frottement (56, 59);

v vitesse au pourtour du tourillon par seconde.

Remplaçant dans cette expression N par sa valeur précédente en

L'expression de la condition relative à l'échauffement est, comme on le voit, indépendante du diamètre d; cela s'explique en remarquant si la pression N par unité de surface est en raison inverse du diamètre d, la vitesse v est au contraire proportionnelle à d, et que, par suite, ce diamètre disparaît dans le produit /Nv.

que

La longueur à donner au tourillon dépend du coefficient de frottement, lequel est pour les tourillons en fer tournant dans des coussinets en bronze :

Graissage à l'huile. . .

au cambouis d'huile.
à l'eau et à la graisse.
à l'eau seule. . .

f=0,05

f=0,09

f=0,19

f=0,25

Les équations (1) et (2) ne peuvent pas déterminer seules les dimensions qu'il faut donner aux tourillons, puisqu'elles ne satisfont pas aux conditions relatives à la résistance. Les formules qui expriment ces conditions se partagent en deux classes, suivant que le tourillon n'a à résister qu'à la flexion, ou suivant qu'il a à résister simultanément à la flexion et à la torsion. S'il s'agit d'un arbre travaillant dans les conditions de celui dont il est question au numéro 272, le tourillon opposé à l'effort de torsion P n'est soumis qu'à un effort de flexion produit par la réaction égale et contraire à la résultante Q des composantes obtenues en décomposant chacune des forces Q' et Q′′ + q en deux forces appliquées au milieu de la longueur des tourillons, et il se calcule à l'aide de la relation (255, 272)

Quant au tourillon voisin de P, qui est soumis simultanément à un effort de flexion et à un effort de torsion, on le calculera à l'aide de la formule (272)

On obtient ainsi une troisième relation qui, avec celles (1) et (2), permet, dans chacun des cas qui peuvent se présenter, de déterminer les deux dimensions et d à donner au tourillon.

Si le tourillon n'a à résister qu'à un effort de flexion, par exemple, des équations (1) et (3) on déduit ses deux dimensions à la condition qu'elles satisfassent à l'inégalité (2).