Tableau des câbles en fil de fer fabriqués par MM. Harmegnies, Dumont et Cie, à Anzin, et des charges qu'ils peuvent tirer à une profondeur de 400 mètres.

Comme la résistance à la rupture des fils de fer est de 70 kilogrammes par millimètre carré de section et qu'on peut les faire travailler au 1/5 de cet effort, soit à 14 kilogrammes par millimètre carré pour un câble de 36 fils, en 6 torons de 6 fils, on a

diamètre des fils de fer, en millimètres;

P charge que doit supporter le câble;

d diamètre du cercle circonscrit au câble, en millimètres.

Si les contacts entre les fils et entre les torons étaient géométriques, on aurait d = 96; mais à cause des petits vides qu'on ne peut éviter, on a d = 108,

et par

suite

d = 0,5 √√P.

A charge égale, le diamètre d est à peu près moitié pour les câbles métalliques que pour ceux en chanvre (251).

La galvanisation augmente le prix de 20 fr. par 100 kilog.

Cordes rondes ou plates (1re qualité).

Les câbles en fil d'acier pour extraire la même charge peuvent peser un tiers en moins par mètre courant que les câbles en fil de fer.

Les cordes en chanvre ou en aloès, pour extraire la même charge, devront peser un tiers en plus par mètre courant que les cordes en fil de fer.

MACHINES SIMPLES.

70. Levier (Int. 1561 et suiv.). La perpendiculaire Oa, abaissée d'un point O sur la direction d'une force P, est le bras de levier de cette

force par rapport à ce point.

Le produit P× Oa de la force par son bras de levier est le moment de la force.

Le bras de levier d'une force par rapport à une droite est la perpendiculaire commune à la droite et à la direction de la force.

Le moment de la force par rapport à cette droite, appelée axe des moments, est le produit de la force par son bras de levier. Cette défi

nition suppose la force située dans un plan normal à l'axe; s'il n'en était pas ainsi, son moment serait le produit de son bras de levier par la projection de la force sur un plan perpendiculaire à l'axe.

Lorsque toutes les forces qui sollicitent un corps solide, qui ne peut que tourner autour d'un de ses points, sont situées dans un même plan avec ce point, il ne peut y avoir mouvement autour du point que dans le plan des forces. Un tel système constitue un levier, qui n'est ordinairement, dans la pratique, qu'une tige rigide mobile autour d'un petit axe, qui est perpendiculaire au plan du mouvement et que l'on suppose réduit au point où il rencontre ce plan.

Un levier est sollicité par des forces qui tendent, les unes à produire l'oscillation, et les autres à s'y opposer en agissant en sens contraire. Les premières de ces forces sont les puissances et les secondes les résistances.

Pour qu'un levier AB sollicité par une puissance P et une résistance Q soit en équilibre, on doit avoir, en négligeant le frottement de l'axe, Q× Ob;

P:Q0b:0a, d'où ΡΧ θα =

c'est-à-dire que les forces doivent être entre elles en raison inverse de leurs bras de levier, ou encore le moment de la puissance doit être égal au moment de la résistance.

L'équation précédente permet de calculer une des quatre quantités P, Q, Oa et Ob, les trois autres étant données. Pour P = 65*, Oa = 2′′ et Ob=1",10, on a

La pression sur le point d'appui O, abstraction faite du poids du levier, est égale à la résultante des deux forces P et Q.

Un levier est dit du premier genre quand le point d'appui O est entre les points d'application de la puissance et de la résistance (fig. 4), et il est dit du deuxième ou du troisième genre, selon que le point d'application de la résistance est entre celui de la puissance et le point d'appui, ou que le point d'application de la puissance est entre celui de la résistance et le point d'appui.

Voir Int. 1688 et suivants, pour la description et l'équilibre des machines à peser les corps.

71. Treuil. (Int. 1702). En négligeant les frottements des tourillons du treuil, on a, pour l'équilibre dynamique,

Fig. 5.

q bras de levier de Q par rapport à l'axe du treuil.

Les forces P et Q peuvent ne pas être parallèles entre elles. Comme on le voit, les conditions d'équilibre du treuil sont les mêmes que pour le levier (70).

72. En tenant compte du frottement des tourillons du treuil, la formule précédente devient (Int. 1702)

f

coefficient de frottement des tourillons sur leurs coussinets (59 et 60); retrayons des tourillons;

R et R' résultantes des composantes des trois forces: le poids du treuil, et la puissance P et la résistance Q, décomposées chacune en deux autres agissant dans des plans normaux à l'axe, au milieu de la longueur des tourillons et r' (Int. 1517, 1528, 1544);

fRr et fR'r' moments des frottements des tourillons.

Comme R et R' dépendent de Q, on résoudra l'équation précédente par tâtonnement: on déterminera d'abord Q en négligeant le frottement des tourillons (71); ayant Q, on déterminera les valeurs correspondantes de Ret R' par les décompositions indiquées plus haut et figure 5; ces valeurs, substituées dans l'équation précédente, donneront une deuxième valeur de Q plus approchée que la première. Opérant sur cette seconde valeur de Q comme pour la première, on obtiendra une troisième valeur approchant encore plus de la vérité, et en continuant ainsi de suite, on obtiendra pour Q une valeur aussi approchée qu'on voudra. Dans la pratique, on pourra généralement considérer la deuxième valeur de Q comme suffisamment approchée de la valeur réelle.

73. Cabestan (Int. 1703). Si, outre les forces P et Q qui sollicitent

le treuil en agissant dans des plans normaux à son axe, une force F agit parallèlement à cet axe, comme cela arrive dans les cabestans, qui ne sont autre chose que des treuils à axe vertical, dont le poids, au lieu de se reporter sur le contour des tourillons, agit sur la face horizontale du pivot inférieur, la formule posée pour le treuil (72) devient

" moment du frottement de la face horizontale du pivot (60);

f coefficient de frottement qui peut être différent de celui du pourtour du pivot; " rayon de la surface frottante horizontale du pivot.

Ainsi, il y aura équilibre dynamique lorsque la tangente de l'angle d'inclinaison du plan à l'horizon sera égale au coefficient de frottement f.

De là résulte un moyen de déterminer le coefficient de frottement de deux corps. Formant le plan incliné avec l'un des corps, et le mobile avec l'autre; puis inclinant doucement le plan jusqu'à ce que le mobile soit prêt à se mettre en mouvement, c'est-à-dire jusqu'au point où le mobile conserve le léger mouvement qu'on lui imprime; à ce point, le mobile est en équilibre dynamique, et la tangente de l'angle a que fait plan avec l'horizon est égale au coefficient de frottement ƒ.

le

Ayant trouvé «= 12° 25′, on a (Int. 1094), tang a=ƒ = 0,22, valeur donnée par le bronze glissant sur la fonte sans enduits (57).

Pour ƒ 0,08, on a tang = 0,08, et par suite <= 4° 35'.

=

Si le mobile est sollicité non-seulement par son poids et le frottement, mais aussi par une ou plusieurs autres forces dont la résistance Q agit dans le plan vertical PAE passant par le centre de gravité du corps et la ligne de la plus grande pente du plan incliné, pour qu'il y ait équilibre dynamique, on doit avoir

Psina Qcosẞ+f(P cos a-Q sin ß), d'où Q=P

3 angle que fait la force Q avec la partie AE de la ligne de plus grande pente. Il faut donner à cos ẞ un signe négatif quand l'angle ẞ est plus grand qu'un droit (Int. 1049).

Si le mobile montait le plan incliné au lieu de le descendre, on aurait,

pour l'équilibre dynamique,

Q cosẞ P sina +f(P cos x-Q sin ß), d'où Q=P

sina+fcosa cosẞ+fsin ß

Si la force Q, au lieu d'agir de manière à tendre à soulever le mobile de dessus le plan incliné, comme nous l'avons supposé dans les deux formules précédentes et dans la figure, agissait en dessous de DE de manière à presser le mobile sur le plan, il suffirait simplement de remplacer le signe de Q sin ẞ par le signe + dans les deux formules précédentes.

Dans le cas où l'angle a est nul, c'est-à-dire quand le plan est horizontal, on a sin α = 0 et cos = 1, Q cos ẞ est seul puissance, et l'équation d'équilibre dynamique est

Q cos ẞ=ƒ (PQ sin ẞ), d'où Q=P

f

cos ßf sin ẞ'

Si l'angle ẞ était nul, c'est-à-dire si Q agissait parallèlement au plan inliné, on aurait sin ẞ= 0, cos ẞ=1, et l'équation (1) deviendrait

P sin &Q +ƒP cosa.

Enfin, si à la fois les angles a et ẞ étaient nuls, on aurait, pour l'équilibre dynamique,

Q=ƒP.

73. Équilibre dynamique de la presse à coin (Int. 1706).

E1

(56)

P force motrice agissant normalement à la tête du coin;

Q résistance utile qu'oppose la matière à comprimer;

angle que fait la tête du coin avec chacune des faces travaillantes ;

fcoefficient de frottement (56), qu'on suppose être le même pour les deux faces travaillantes du coin et pour le bloc interposé entre le coin et la matière sur son support.

Pour Q1000 kil., α= 87° 10', d'où (Int. 1094) tang &= = 20,205 553 ou sensiblement 20,2, et ƒ=0,16, qui convient au chêne frotté de savon sec glissant sur chène, les fibres étant parallèles (57), l'équation précédente donne

Telle est la relation qui doit exister entre la puissance P et la résis