tance utile Q pour qu'il y ait équilibre dynamique, c'est-à-dire pour que le moindre effort mette la presse en mouvement, et que ce mouvement se conserve uniforme quand cet effort additionnel cesse son action. Il est évident qu'un tel mouvement ne peut se réaliser qu'autant que la résistance Q reste constante, ce qui n'a pas lieu quand on comprime des matières; mais, dans toutes les positions, les valeurs de P et Q sont liées par la relation précédente. L'application qui vient d'être faite montre que la presse à coin est peu avantageuse pour obtenir de grandes compressions, et qu'il ne convient guère de l'employer quand la force motrice n'est qu'une simple pression, et non. le résultat d'un choc. Relation entre le travail moteur et le travail utile résistant. Pour un abaissement e du coin, le bloc comprimant avançant de 2e', les travaux moteurs et utiles sont Pxe et Q× 2e'. On a (Int. 1078) e = e'tang z. (b) Multipliant membre à membre les équations (a) et (b), on obtient Formule donnant le travail moteur Pe en fonction du travail utile Q× 2e'. 76. Équilibre dynamique de la presse à vis à filets carrés (Int. 1707). Appelant : P la puissance agissant dans un plan perpendiculaire à l'axe La force P est supposée répartie uniformément autour de l'axe de la vis, afin qu'elle ne fasse naître aucune pression contre la surface latérale des filets; ainsi elle est composée, par exemple, de deux forces P formant un couple dont le bras de levier est divisé en deux parties égales par l'axe (Int. 1547); le bras de levier de la puissance P ; le rayon moyen de la surface hélicoïdale en contact; ordinairement la section des filets est un carré; '' le rayon de la surface par laquelle le bout de la vis frotte sur AB; l'angle que fait l'hélice moyenne, ou mieux la tangente à cette hélice, avec le plan perpendiculaire à l'axe; hle pas de l'hélice (Int. 1259); c'est l'espace parcouru suivant l'axe de la vis pour une révolution de cette vis; si la vis est à un simple filet, h est la distance d'axe en axe de 2 filets consécutifs, et suivant que la vis est à 2 ou 3 filets, h est égale à 2 ou 3 fois cette distance; h est toujours la distance d'axe en axe de 2 filets consécutifs pris sur la même spire; fle coefficient de frottement (56), qu'on suppose être le même pour les filets et le bout de la vis; Q la résistance utile que la matière oppose au mouvement de translation de la vis; elle agit suivant l'axe de la vis, Dans le cas où l'on néglige le frottement du bout de la vis sur la surface AB, ces formules deviennent respectivement : Application. Pour Q9000 kil., r=1",00, r'=0,034, r"= 0,025, h=0,016 et f=0,08, la formule (b) donne : P 9000(0,005 299 +0,001 333) = 59*,69. Quand on ne tient pas compte du frottement du bout de la vis, on a P: = 9000 × 0,005 299 : = 47*,69. Ce qui montre que ce frottement n'est pas négligeable. 77. Equilibre dynamique de la presse à vis à filets triangulaires (Int. 1708). Le plan méridien passant par l'axe de la vis coupe le filet suivant un triangle isocèle. Désignant dans ce triangle chacun des côtés égaux par a, la hauteur, qui est la saillie du filet sur le corps de la vis, par s, et le demi-angle au sommet par ß, on a cos ẞ = S " α et représen tant par m ce rapport, les formules (a) et (b) du numéro précédent deviennent respectivement, en conservant aux lettres les mêmes significations: Pour les vis en chêne, orme, etc., l'angle ẞ est égal à 45°, d'où cosẞ== a =m= 0,707; pour celles en bois plus durs, comme le buis, le cormier, le sorbier, etc., et pour celles en fer, on fait ẞ= 30o, d'où m = = 0,866. Pour ẞ 30°, l'application du numéro précédent donne P=63*,55. Pour les vis à filets carrés, 80, cos ẞ=m=1, et faisant m=1 dans les formules précédentes, elles deviennent bien celles du n° 76. 78. Frottement des engrenages. Lorsqu'un corps se meut en roulant et glissant à la fois sur un autre corps, on admet que le travail total absorbé par les deux frottements est le même que si un simple frottement de glissement avait lieu sur la différence des chemins parcourus réciproquement par une surface sur l'autre, et un simple frottement de roulement sur le plus petit des chemins parcourus (Int. 1709). Dans les engrenages, les deux mouvements de roulement et de glissement sont réunis, et l'on trouve, en négligeant le frottement de roulement, qui est toujours très-faible (Int. 1710), fa (1 Tm= Tu+Tux: + (1) Tm travail moteur dépensé par la roue qui conduit ; Tu travail utile dont on peut disposer sur l'arbre de la roue conduite; Tu X f a coefficient de frottement, variable suivant la nature des dents et la manière dont elles sont graissées (57); pas de l'engrenage; c'est la distance d'axe en axe de deux dents consécutives, prise sur la circonférence primitive; ret r' rayons des circonférences primitives ou de contact des deux roues. La formule précédente fait voir que pour des roues de rayons donnés le travail absorbé par le frottement est proportionnel au pas a, qu'il faut par conséquent prendre le plus petit possible. La même formule montre aussi que pour les mêmes valeurs de a, r et r', le rapport entre le travail moteur et le travail utile est le même, quelle que soit la roue qui commande l'autre. Enfin, d'après la même formule, le travail absorbé r+r' par le frottement étant proportionnel à rp! comme cette quantité est d'autant plus petite, pour une même valeur de r +r', que le produit rr' est plus grand, et ce produit augmentant à mesure que r diffère moins de r' (Int. 549), le travail absorbé par le frottement est donc d'autant plus petit, pour une même valeur de r+r', quer diffère moins de r', et il est minimum quand r = r'. 1 1 Pour les engrenages cylindriques, on peut mettre la formule précédente sous la forme plus commode Tm = Tu + Tufă (1/2 + 1/3). n et n' nombres de dents contenus dans les engrenages. (2) 0,08; il Application. On a Tm= 300km par seconde; la roue motrice a 100 dents et le pignon 21, le graissage des dents est bien fait et donne ƒ s'agit de déterminer le travail utile Tu que pourra transmettre l'arbre du pignon dans une seconde. Remplaçant les lettres par leurs valeurs dans la dernière expression de Tm, on a 300 Tu Tu × 0,08 × 3,14 (100 Le travail absorbé par le frottement en une seconde est Fig. 9. 79. Pour les engrenages coniques, a, r et r' étant le pas et les rayons moyens, c'est-à-dire au milieu de la longeur de la dent sur la génératrice de contact, appelant a l'angle que font entre eux les axes des engrenages, les formules (1) et (2) du numéro précédent deviennent respectivement : = Ces formules font voir que le travail absorbé par le frottement augmente depuis 180°, ce qui correspond aux engrenages cylindriques intérieurs, pour lesquels il est le plus petit, jusqu'à a = 0, ce qui correspond aux engrenages cylindriques extérieurs, pour lesquels il est le plus grand. Pour =0, ces formules reviennent à celles du numéro précédent, comme cela devait être. 80. Pour une crémaillère commandée par une roue d'engrenage ou commandant une roue d'engrenage, on a (Int. 1713) a pas de l'engrenage et de la crémaillère; r rayon de la circonférence primitive de l'engrenage. 81. Suivant que les engrenages métalliques sont exécutés avec plus ou moins de soin, l'intervalle entre deux dents consécutives est égal à l'épaisseur de la dent, augmentée de 1/20 à 1/10 de cette épaisseur, c'est-à-dire qu'il y a de 1/20 à 1/10 de jeu entre les dents engrenées; ce jeu varie de 1/10 à 1/6 pour les engrenages à dents de bois. Pour rendre le frottement des engrenages le plus petit possible, on fait les surfaces de contact en épicycloïde ou en développante de cercle (Int. 1237, 1252); mais à cause des difficultés d'exécution, pour les engrenages ordinaires, on se contente d'arcs de cercle décrits avec le pas de l'engrenage pour rayon, et d'un centre pris sur la circonférence primitive, ou un peu plus rapproché de l'axe de la roue; des constructeurs prennent les 3/4 du pas pour rayon. Le reste des joues de chaque dent est un plan tangent à ces arcs et passant par le centre de la roue. C'est surtout pour les engrenages à grosses dents qu'il convient de recourir aux tracés en épicycloïde ou en développante; mais la développante de cercle donne des dents qui diminuent trop rapidement d'épaisseur lorsque le nombre des dents est inférieur à 30. Pour les engrenages coniques, il faudrait prendre des développantes ou des épicycloïdes sphériques; mais on se contente également d'arcs de cercle. (Voir la résistance des matériaux pour les dimensions des différentes parties des roues d'engrenage.) 82. Travail absorbé par le frottement du bouton d'une manivelle. Pour obtenir ce travail, on développe la circonférence du bouton de la manivelle, et l'on élève aux différents points de ce développement, que l'on considère comme axe des abcisses, des perpendiculaires ou ordonnées représentant l'intensité du frottement correspondant à ces différents points; l'aire de la courbe ainsi obtenue, que l'on peut calculer à l'aide de la formule de Thomas Simpson ou de celle de Poncelet, représente le travail absorbé par le frottement pour une révolution Int. 1498). L'intensité du frottement correspondant à un point quelconque de l'axe des abcisses est représentée par le coefficient de frottement multiplié par la pression qu'exerce la bielle sur le bouton de la manivelle, au moment où son axe rencontre ce bouton au point considéré. Si la bielle exerce un effort constant sur le bouton de la manivelle, le travail absorbé par le frottement est le même que pour un tourillon ordinaire (60), et, pour une révolution de la manivelle, on a T1 travail absorbé; Tn=2xrf P. rayon du bouton de la manivelle; f coefficient de frottement; P pression constante de la bielle sur le bouton de la manivelle. Cette formule fait voir que le travail absorbé est proportionnel au rayon r, qu'il faudra par conséquent prendre le plus petit possible. Aussi doit-on éviter l'emploi des excentriques pour la transmission des grands efforts, l'expression du travail absorbé par le frottement étant la même que pour le bouton d'une manivelle, et r étant très-grand, puisque c'est le rayon de figure de l'excentrique. 83. Une manivelle peut être à double effet ou à simple effet. Dans le premier cas, qui est celui supposé formule du no 82, la force qui agit sur la bielle est dirigée dans un sens pendant la première moitié de la révolution de la manivelle, et dans l'autre sens pendant la seconde moitié. Dans le deuxième cas, la force n'agit que dans un sens et ne sollicite la manivelle que pendant la moitié de sa révolution; de telle sorte que le travail absorbé par le frottement, pour une révolution complète de la manivelle, n'est que πη Ρ. 84. Équilibre dynamique d'une manivelle à double effet. Cet équilibre ne peut être que périodique (45), et l'on doit avoir, pour une période ou un tour de manivelle, en négligeant les frottements (47), F×4R=Q×2′′, d'où FQ ou = R Q = 2 FR Ꭱ |