F

R

force agissant suivant l'axe de la bielle, que l'on suppose assez long pour qu'on puisse le considérer comme restant toujours parallèle à lui-même, et négliger sa variation de direction;

rayon de la manivelle;

4R espace parcouru par la puissance F, pour un tour de manivelle, c'est-à-dire pour une allée et une venue de la bielle;

F4R travail développé par la puissance F, aussi pour un tour de manivelle ou une allée et une venue de la bielle;

Q résistance agissant sur l'arbre de la manivelle à l'extrémité d'un bras de levie constant r;

2ar chemin parcouru par la résistance Q pour un tour de manivelle;

Q2 travail absorbé par la résistance Q, aussi pour un tour de manivelle.

Pendant chaque demi-révolution de la manivelle, le moment de la puissance F, par rapport à l'axe de la manivelle, varie pour toutes les positions de la bielle, et les valeurs minimum, moyenne et maximum de ce moment, valeurs qui sont les mêmes pour un tour entier de manivelle, sont respectivement:

La grande différence de ces nombres proportionnels fait voir combien la marche d'une manivelle est irrégulière.

Les valeurs de minimum et maximum du moment de F sont évidemment F×0 et F × R. Quant à la valeur moyenne, comme elle est égale à Q", remplaçant Q par sa valeur précédente en fonction de F, on a bien

83. Équilibre dynamique de deux manivelles à double effet montées à angle droit sur le même arbre. Chaque manivelle agit en particulier comme dans le cas précédent, et leur ensemble ne peut encore donner qu'un équilibre dynamique périodique, pour lequel on doit avoir, pour un tour des manivelles et en négligeant les frottements,

F

r

2F×4R=Q×2′′r, d'où F=Q ou Q

force qui agit suivant l'axe de chacune des bielles ;

Q, R et ont les mêmes significations qu'au numéro précédent.

Les sommes de moments minimum, moyenne et maximum des forces F, pour une révolution des manivelles, sont successivement:

Appelant a l'angle que fait l'une OA des manivelles avec la direction des bielles, la fig. 10 montre que dans une position quelconque des manivelles, les forces F appliquées en A et B ont des moments exprimés respectivement par FR sina et FR cosa, et dont la somme est

FR (sina + cos x) = FR √2 sin (45° +a). (Int. 1074.)

La valeur minimum de cette somme correspondant à «= 0, c'est-àdire au point où l'une des manivelles est au point mort, et la valeur maximum à α= 45°, c'est-à-dire au point où les manivelles sont toutes deux inclinées à 45° sur la direction des bielles, ces valeurs sont bien

Quant à la valeur moyenne de la somme des moments des deux forces F, comme elle est égale à Qr, remplaçant Q par sa valeur précédente en fonction de F, elle est bien 2F ×

×2R.

Ꭱ.

86. Équilibre dynamique de trois manivelles à double effet montées sur le même arbre et faisant entre elles des angles égaux. Cet équilibre ne peut encore être que périodique, et l'on doit avoir, pour une période, en négligeant les frottements,

Les lettres ont la même signification que dans le cas précédent, et les sommes de moments minimum, moyenne et maximum des forces F, pour une révolution des manivelles, sont successivement:

FR √3, 3F2R, 2FR;

valeurs qui sont dans le rapport des nombres :

1,

2,

1,046.

0,905, Appelant l'angle que forme l'une OA.des manivelles avec la direction DE des bielles, considérant les deux forces F appliquées aux points A et B situés du même côté de DE, leurs moments sont respectivement FR sina et FR sin (a + 120°), dont la somme est

S = FR [sin & + sin (« + 120o)].

Remarquant que

sin (« +120°) = sin a cos 120° + cos a sin 120°,

(Int. 1067)

SFR (sin x cos 60° cos « sin 60o) = FR sin (≈ + 60°).

La somme des perpendiculaires abaissées des points A et B sur DE étant égale à la perpendiculaire abaissée du point C sur la même droite (Int. 957), la somme des moments des trois forces F agissant en A, B, C est égale à

Les valeurs minimum et maximum de cette somme correspondant à a=0° et a= 30°, elles sont bien, en remarquant que sin 60o

=

3

Quant à la valeur moyenne de 2S, elle est égale à Qr, ou, en remplaçant Q par sa valeur précédente en fonction de F, à

3F2 R.

En employant 5, 7, 11... manivelles convenablement disposées, on augmenterait encore la régularité du mouvement; mais les grandes difficultés d'ajustage et les complications du mécanisme font renoncer à l'emploi de plus de trois manivelles montées sur le même arbre.

87. Equilibre dynamique d'une manivelle à simple effet (83). Cet équilibre est encore périodique, et l'on doit avoir, pour une révolution complète de la manivelle, en négligeant les frottements,

Cela suppose que la résistance Q agit, comme pour une manivelle à double effet, pendant la révolution complète.

Les moments minimum, moyen et maximum de la force, pour une révolution complète de la manivelle, sont successivement:

88. Bielle. Pour qu'une bielle transmette le plus convenablement possible à une manivelle l'effort qui la sollicite, il faut que sa longueur soit la plns grande possible; mais, afin ne pas être obligé de lui donner une section trop considérable, on se contente de faire sa longueur égale à 5 ou 6 fois le rayon de la manivelle.

89. Volants pour manivelles. Afin de rendre possible la marche d'une manivelle, et de régulariser plus ou moins son mouvement, on fait usage d'un volant qui accumule l'excès du travail moteur sur le travail résistant quand ce premier est supérieur au second, pour le restituer quand le travail résistant devient supérieur au travail moteur (Int. 1637). Pour une manivelle à simple effet, le poids du volant est donné par la formule

P poids du volant ou plutôt de sa jante, car on néglige la régularité due aux bras et au moyeu dans l'établissement de ces formules;

V vitesse moyenne de la jante du volant ;

F force agissant suivant l'axe de la bielle;
R rayon de la manivelle;

n puissance de la force F en chevaux;

N nombre de tours du volant par minute;

K coefficient de régularité du mouvement; sa valeur dépend du genre de travail à produire.

Pour une manivelle à simple effet, on conclut (87),

C'est à l'aide de ces relations que l'on passe des formule (a) et (c) à celles (b) et (d).

Pour deux manivelles à double effet montées à angle droit sur le même arbre, la formule (d) devient

Pour les machines à vapeur à basse pression, Watt fait, dans les cas ordinaires de la pratique, K = 32; ce coefficient varie de 35 à 40 quand les machines commandent des filatures où l'on fabrique les numéros 40 à 60, et de 50 à 60 pour des filatures à numéros très-fins (voir la 3e partie).

Le numéro d'un fil de coton est le nombre d'échevaux de 1000 mètres pesant ensemble un demi-kilogramme. Ainsi le demi-kilogramme du numéro 50 contient 50 échevaux.

K atteint parfois la valeur 25 pour des machines ou des usines qui n'ont pas besoin d'une grande régularité de mouvement, comme des scieries, des moulins à blé, des pompes, etc., et il atteint même 20 pour des marteaux de forge (115).

L'examen des formules précédentes fait voir que le poids du volant est d'autant plus petit que la vitesse de la jante est plus grande. L'expérience prouve que cette vitesse peut atteindre 25 à 30 mètres par seconde, mais qu'il est dangereux de dépasser cette limite.

Le rayon du volant est ordinairement égal à 5 ou 6 fois celui de la manivelle.

Application. En appliquant la formule (d) à une machine à basse pression, de la force de 40 chevaux, faisant marcher la filature de Logelbach, près Colmar, on trouve, pour le poids de la jante du volant, 9320 kilog., au lieu de 9450 kilog., comme l'avaient adopté les constructeurs Watt et Boulton.

Le diamètre moyen de la jante est de 6,10, et le nombre de tours du volant, 19 par minute, ce qui donne une vitesse de 6,06 par seconde. Les numéros des fils de coton varient de 40 à 60, ce qui a fait adopter 35 pour la valeur de K.

90. Volant pour une manivelle à simple effet et à contre-poids. Si sur le prolongement d'une manivelle, au delà de son centre de rotation, on place un contre-poids, tel que le travail qu'il absorbera en s'élevant et restituera en descendant soit moitié de celui que produit la force motrice pour la 1/2 révolution pendant laquelle elle agit, cette manivelle agira comme une manivelle à double effet, et le poids du volant sera donné par la formule

P, V, n, N, K ont les mêmes significations qu'au numéro précédent;

Q

poids du contre-poids;

บ vitesse moyenne du centre de gravité du contre-poids.

Remarque. Les formules des n° 89 et 90 s'appliquent encore au cas où le volant n'est pas placé sur l'arbre même de la manivelle, pourvu que N exprime toujours le nombre de tours de la manivelle par minute, tandis que V et v expriment la vitesse de la jante du volant et du contrepoids; mais, dans la pratique, il faut toujours placer le volant sur l'arbre