F d f des organes qu rendent irrégulière la transmission ou l'absorption du travail moteur, et le plus près possible de ces organes. 91. Équilibre dynamique de l'excentrique. Dans une transmission de mouvement au moyen d'un excentrique, l'équilibre est périodique, et l'on doit avoir P× 2лR = 4Fd+ƒF × 2′′r. puissance qui agit sur l'arbre de l'excentrique; bras de levier de la puissance; résistance appliquée à la bielle que met en mouvement l'excentrique ; distance du centre de rotation au centre de figure de l'excentrique, ou 1/2 espace parcouru par la résistance pour une demi-révolution de l'excentrique ; coefficient du frottement au pourtour de l'excentrique; P rayon de figure de l'excentrique; P2TR travail dépensé par la puissance pour une révolution de l'excentrique; 4Fd travail utile produit fF2r travail absorbé par le frottement id. id. L'excentrique présente les mêmes irrégularités de mouvement que la manivelle (84 à 87). Fig. 12. 92. Equilibre dynamique du pilon (Int. 1714). Supposant que la puissance agit verticalement sous le mentonnet pendant toute la course d'un pilon guidé par deux prisons, pour qu'il y ait équilibre dynamique, on doit avoir, pour chaque levée, d distance d'axe en axe des deux prisons ou guides; longueur du mentonnet ou distance du point d'application de la puissance à l'axe de la tige; i épaisseur de la tige dans le sens de 7; f coefficient de frottement de la tige sur ses guides. La formule précédente fait voir que le travail utile Qh est d'autant plus petit, pour un même travail moteur Ph, que i est plus grand, et que si l'on suppose = 0, c'est-à-dire que la force P est appliquée à l'axe de la tige et agit suivant cet axe, on a Ph Qh. Ce qui montre que le travail utile est alors égal au travail moteur, et que par conséquent le frottement contre les prisons est nul. Quand le pilon est soulevé par une came, comme cela a lieu ordinairement, le travail absorbé par le frottement de la came sous le mentonnet est analogue à celui absorbé par le frottement d'un pignon s'en grenant avec une crémaillère (80); seulement le pas a est remplacé par h. En tenant compte de ce frottement, et en supposant que son coefficient est le même que pour les prisons, la formule (a) devient n étant le nombre des coups de pilon donnés pendant une révolution de l'arbre à cames, et P la force motrice tangentielle qui agit à l'extrémité du rayon r, on doit avoir, pour l'équilibre dynamique, Les cames se font en développante de cercle (Int. 1237). La durée totale d'un coup de pilon se compose du temps t que met la came à élever le pilon à la hauteur h, de celui t' = 2h de la descente du pilon (19) et de 1/10 à 1/6 de t+t' pour le temps employé par le pilon à agir sur la matière, qui peut être plus ou moins compressible. 93. Choc des corps solides. Quand deux corps solides, en vertu de vitesses acquises sous l'influence de causes quelconques, tendent à occuper au même instant une même partie de l'espace, dès qu'ils arrivent à être ce qu'on appelle en contact, il se déclare des actions mutuelles répulsives qui atteignent un degré suffisant d'intensité pour modifier en grandeur ou en direction, ou à la fois en grandeur et en direction, les vitesses primitives des deux corps, de manière que ceuxci ne viennent pas occuper la même portion de l'espace au même instant, et par là, satisfont à la loi générale de l'impénétrabilité de la matière (Int. 1534 et suivants). Lorsque deux corps se rapprochent ainsi de manière à donner naissance à ces actions mutuelles par leurs changements plus ou moins sensibles de formes, on dit qu'il y a choc ou collision entre les deux corps. Le choc de deux corps n'influe en rien sur le mouvement du centre de gravité du système, mouvement qui ne dépend en intensité et en direction que des forces extérieures (Int. 1636). 94. Vitesse du centre de gravité de l'ensemble de deux corps solides après leur choc (Int. 1671). Supposons le cas le plus simple, celui où les centres de gravité des deux corps se meuvent suivant une même droite par rapport à laquelle les deux corps sont symétriques. C'est à ce cas qu'on ramène les applications pratiques sur le choc. Le centre de gravité de l'ensemble se mouvra sur la droite suivie par les deux corps, comme si le choc n'avait pas lieu; de plus, il est évident que la vitesse de chacun des corps en particulier ne changera pas de direction, mais bien d'intensité, et même l'une pourra changer de signe. . Soient m et m' les masses des deux corps, v et v' leurs vitesses respectives avant le choc, et u la vitesse du centre de gravité. Dès que le choc commence, les actions mutuelles égales agissent en sens contraires sur chacun des deux mobiles, et produisent des changements de forme et des vibrations qui dépendent de la nature et de la forme des corps. Si la vitesse relative des deux corps l'un par rapport à l'autre est faible, et que les corps aient une certaine consistance, on peut admettre que le changement de forme pendant le choc s'étend à peu de distance du point de contact, et que les vibrations des molécules sont très-faibles; d'où il résulte que le mouvement de toutes les molécules de chacun des corps peut être considéré comme n'étant qu'un simple mouvement de translation, qui est le même pour toutes les molécules. En se plaçant dans cette hypothèse, V étant la vitesse commune à tous les points et au centre de gravité du solide de masse m à un instant quelconque du choc, et V' celle de tous les points et du centre de gravité du solide de masse m' au même instant, on a, en négligeant pendant le choc les impulsions des forces extérieures, s'il y en a, ce que l'on peut faire, puisque la durée du choc est très-petite (Int. 1635), mV + m'V' = mv + m'v'. Il y a toujours, pendant le choc, un instant où les centres de gravité des deux corps ont la même vitesse, qui est aussi la vitesse u du centre de gravité du système; à cet instant, l'équation précédente devient (m + m')u = mv + m'v', d'où u = mv + m'v' u est la vitesse du centre de gravité, et sensiblement aussi celle de tous les points du système à l'instant considéré, dans le cas de très-faibles vibrations. Lorsque les deux corps ne sont pas élastiques, c'est-à-dire quand ils conservent les formes que des forces quelconques peuvent leur donner, les actions mutuelles cessent leur effet dès que la vitesse u est devenue commune aux deux corps; alors les deux corps se meuvent en restant en contact, tant que des forces extérieures ne viennent pas modifier leur vitesse commune u. Les formules précédentes s'appliquent au cas où les corps marchent en sens contraires, comme à celui où ils vont dans le même sens; seulement il faut avoir égard aux signes qu'il convient de donner aux valeurs de v et v', et par suite à celles de mv et m'v'. Le signe de u est toujours celui de la plus grande quantité de mouvement. Si les deux quantités de mouvement sont égales et de signes contraires, la formule précédente donne u= 0; ce qui montre que les corps arrivent au repos, et y restent s'ils sont dénués d'élasticité. Dans le cas où l'un des corps est au repos, c'est-à-dire où l'on a v'=0, l'équation précédente devient (m + m')u = mv, d'où u = mv m+m'' (a) 93. Perte de puissance vive due au choc de deux corps non élastiques. Si les corps restent unis après s'être comprimés, et qu'on néglige les vibrations auxquelles peuvent être soumises les molécules des deux corps, il y a perte de puissance vive dans le système, puisque, pendant la compression des deux corps, et jusqu'au moment où la même vitesse est devenue commune aux deux corps, les molécules voisines du contact se sont rapprochées, et par suite les actions mutuelles répulsives de ces molécules ont produit un travail négatif, d'où il est résulté une perte de puissance vive (Int. 1637). Le travail dû aux forces moléculaires, et par suite la perte de puissance vive du système, ne dépendant que du mouvement relatif des deux corps, il en résulte que pour calculer cette perte, on peut supposer que l'un des corps est en repos et que l'autre vient le choquer avec une vitesse absolue égale à la vitesse relative du système. Soient donc v la vitesse de la masse choquante m, et v' = 0 la vitesse de la masse choquée m'. 1 La puissance vive du système avant le choc est mv2. Après le choc, toutes les molécules des deux corps ayant la même vitesse u, à cet instant la puissance vive du système est (29) La perte de puissance vive due au choc est alors Remplaçant dans cette expression u par sa valeur (a) (94), on obtient Dans la pratique, dans les machines par exemple, la perte de puissance vive due à un choc se calcule en général à l'aide de cette formule (Int. 1675). Établissant un certain rapport entre m et m', c'est-à-dire faisant m' Nm, on conclut 1 1 +- Formule qui fait voir que la perte de puissance vive est d'autant plus petite que la valeur de N est plus petite, c'est-à-dire que la masse choquante est plus grande par rapport à la masse choquée. Voir Int. no 1673 pour la durée du choc et l'intensité des forces ou actions mutuelles, et no 1674 pour le choc des corps d'une élasticité parfaite. 96. Corps exécutant un mouvement de rotation autour d'un axe fixe. On appelle vitesse angulaire d'un corps tournant autour d'un axe, la longueur de l'arc décrit, ou qui serait décrit si le mouvement en restant uniforme était suffisamment prolongé, pendant l'unité de temps, par un point situé à l'unité de distance de l'axe et lié invariablement au corps. w étant la vitesse angulaire d'un corps, et v la vitesse de l'un quelconque de ses points situé à une distance » de l'axe, on a, en remarquant que les vitesses des divers points sont en raison inverse de leurs distances à l'axe, 97. Puissance vive d'un corps tournant autour d'un axe fixe. Lorsqu'un élément matériel m tourne autour d'un axe, sa vitesse étant or, sa puissance vive est (29) Lorsqu'un corps solide tourne, chacun de ses points matériels possède une puissance vive d'une expression analogue à la précédente, et en faisant la somme de toutes ces puissances vives élémentaires, on a la puissance vive du corps, qui peut alors ètre représentée par I signifiant somme. Comme 1 P = Σ - mw2r2, w2 est commun à toutes les parties de cette somme, on peut le mettre en facteur commun, et poser P = { w2Σmr2. mr2, produit d'un élément matériel par le carré de sa distance à l'axe de rotation, est ce qu'on appelle le moment d'inertie de l'élément m par rapport à cet axe. Emr2, somme des moments d'inertie de tous les éléments matériels d'un corps par rapport à un axe, est le moment d'inertie du corps par rapport à cet axe. La formule précédente fait voir que la puissance vive d'un solide tournant autour d'un axe fixe est, à un instant quelconque, égale à la moitié |