du produit du carré de la vitesse angulaire du corps à cet instant par le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation. 98. Rayon de gyration (Int. 1614). Il existe une valeur R de r telle, que si toute la matière du corps se trouvait à la distance R de l'axe, la puissance vive et par suite le moment d'inertie, pour une même vitesse angulaire par rapport au même axe, n'aurait pas changé. Appelant R le rayon de gyration, M la masse et P = Mg le poids du corps, le moment d'inertie est alors (97). Nous allons donner les valeurs du rayon de gyration des corps hómogènes de formes géométriques employées dans la pratique. (Voir Int. 1826 pour la détermination du rayon de gyration d'un corps de forme quelconque.) 99. Pour une tige homogène AB d'une très-petite section tournant autour de l'axe Ay passant par son extrémité, on a (Int. 1615, 1825) Fig. 13. Pour la tige BB' qui est rencontrée par l'axe en un point quelconque de sa longueur, r étant le rayon de gyration de la partie AB, et r' celui de la partie AB', on a 712 = 1 BC2 et 7'2 1 B'C'. Pet P'étant les poids des parties AB et AB' de la tige, les moments d'inertie de ces parties sont respectivement : Le moment d'inertie de la tige totale étant égal à la somme des moments d'inertie des deux parties, on a donc, R étant le rayon de gyration Dans le cas où le point A est le milieu, c'est-à-dire le centre de gravité de la tige, on a B'C'= BC, P'P ou P+ P' 2P, et la formule précédente donne R2=BC'. Ce qui fait voir que le rayon de gyration de la tige totale est le même que celui de chacune de ses parties considérées séparément. Si l'axe rencontrait le prolongement de la tige BB", on remarquerait que le moment d'inertie de BB" est la différence des moments d'inertie des tiges BA et B"A, et on l'obtiendrait en suivant la même marche que pour déterminer le moment d'inertie de BB'. Du reste, nous verrons (111) comment, étant connu le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe passant par son centre de gravité, on peut déterminer son moment d'inertie par rapport à un axe quelconque parallèle au premier. 100. Pour une tige en arc de cercle AB, d'une très-petite section, tournant autour de son rayon OA passant par l'une de ses extrémités, on a Pour un quart de cercle, ou un demi-cercle, ou trois quarts de cercle..., c'est-à-dire pour a = 90o, α = 180°, a=270°..., on a sin 2a0, et, par suite, P 9 Ayant R2, on aura le moment d'inertie en multipliant par la masse de la tige, et ce moment d'inertie multiplié par w2, moitié du carré 2 de la vitesse angulaire à un certain instant, donnera la puissance vive à cet instant. A l'aide de la formule (a), et en suivant la même marche qu'au numéro précédent, on déterminerait le rayon de gyration, le moment d'inertie et la puissance vive, soit que l'axe OA rencontre l'arc AB en un point quelconque compris entre A et B, soit qu'il rencontre le prolongement de cet arc. On verrait encore que quand l'axe rencontre l'arc au milieu, c'est-à dire quand il passe par son centre de gravité, le rayon de gyration de l'arc entier est le même que pour chacune des deux moitiés prises séparément. 101. Pour un disque en quart de cercle d'une très-faible et uniforme épaisseur tournant autour d'un des rayons qui le limitent, ou pour un demi-cercle qui tourne autour du diamètre qui le limite, ou encore pour trois quarts de cercle et pour un cercle entier, on a Ayant R2, on obtiendra facilement le moment d'inertie, puisque, connaissant les dimensions du disque, on peut calculer son volume, lequel, multiplié par la densité de la matière, donne le poids du disque. Ayant le moment d'inertie, on obtient la puissance vive en le multipliant par la moitié du carré de la vitesse angulaire (98). 102. Un cylindre droit à base circulaire tournant autour de son axe, ou un secteur quelconque de ce cylindre tournant autour de cet axe, donne, R étant le rayon de gyration et p le rayon du cylindre, Ayant R2, on détermine le moment d'inertie, puis la puissance vive, comme au numéro précédent (Int. 2o, 1825). 103. Pour une jante à section rectangulaire, ou pour une portion de cette jante tournant autour de l'axe, on a (Int. 3o, R2 = 1 (p2 + p'2). 1825) ou en remplaçant les rayons extérieur et intérieur p et p' de la jante P 104. Un cône droit à base circulaire tournant autour de son axe donne, étant le rayon de cette base (Int. 4o, 1825), 108. Pour un tronc de cône tournant autour de son axe, on remarquerait que le moment d'inertie du tronc est égal au moment d'inertie du cône total, moins le moment d'inertie du cône retranché pour obtenir le tronc. Ayant le moment d'inertie du tronc, en le divisant par la Р masse on aurait R2. 106. Un segment sphérique ABC, à une base, tournant autour du diamètre BB' perpendiculaire au plan de sa base, c'est-à-dire passant par 4 Pour une demi-sphère, h=e, et la formule precédente devient R2 = Pour la sphère entière, R2 a aussi cette dernière valeur. 107. Pour une zone sphérique ABC à une base (fig. 15), tournant autour du diamètre BB' perpendiculaire à sa base, l'épaisseur de la calotte étant très-mince, on a, p et h ayant les mêmes significations qu'au numéro précédent, Si la calotte était une demi-sphère, on aurait h = ?, et, par suite, Pour une sphère creuse entière et très-mince, on aurait aussi cette dernière valeur pour R2. 108. Un parallelipipède rectangle ayant a, b, c pour arêtes, et tournant autour de l'arête c, donne (Int. 1826) Fig. 16. α Si le parallelipipède, au lieu de tourner autour de c, tournait autour d'un axe mené par le milieu de b parallèlement à c, on aurait ce qui revient à remplacer 6 parb dans la formule (a). 2 Si l'axe était mené parallèlement à c par le centre de figure, qui est aussi le centre de gravité, il faudrait, dans la formule (a), remplacer b parbet a par 42424 1 a; ce qui donnerait 109. Pour un ellipsoïde quelconque (Int. 1625), c'est-à-dire pour un ellipsoïde dont le plan perpendiculaire au grand axe 2a détermine, non pas un cercle de diamètre 2b comme pour l'ellipsoïde de révolution, mais une ellipse ayant 26 et 2c pour axes, on a respectivement, suivant que l'ellipsoïde tourne autour de l'axe 2c, ou 2b, ou 2a : R2 1 = = (a2 + b2), R2 = {}{ (a2 + c2), R2 = { (b2 + c2). Lorsque l'ellipsoïde est de révolution, on a cb, et les trois formules précédentes se réduisent aux deux suivantes : applicables respectivement au cas où l'ellipsoïde tourne autour de son petit ou grand axe. 3 Le volume de l'ellipsoïde quelconque étant abc, et celui de l'ellipsoïde de révolution, ла2ь ou 3 4 лba suivant que l'ellipse génératrice 3 tourne autour du petit ou grand axe (Int. 1166), multipliant ce volume par la densité de la matière, on aura le poids P; on en conclura ensuite Ce qui devait être, puisqu'alors l'ellipsoïde est une sphère (106). 110. Pour un cylindre droit à base demi-parabolique ABC tournant autour de l'arête qui se projette en A, on a, en faisant AB = a et AC = b, (Int. 1826), B a Pour un cylindre droit à base parabolique CBC', on a la même valeur pour R2. On a (Int. 1221, 1800) surface ABC=ab; connaissant la hauteur du cylindre, on déterminera son volume, puis son poids, et ensuite le moment d'inertie. 111. R étant le rayon de gyration d'un corps par rapport à un axe quelconque, et R' celui par rapport à l'axe passant par le centre de gravité du corps, on a, en appelant k la distance des deux axes, MR2 = MR'2+ Mk2, d'où R2 = R22 + k2 (Int. 1627). Ce qui fait voir que le carré du rayon de gyration d'un système solide par rapport à un axe quelconque, est égal au carré du rayon de gyration |