temps égaux quelconques sont inégaux, c'est-à-dire quand la vitesse n'est pas constante pendant toute la durée du mouvement; alors, la relation du no 6 n'existe plus. 8. Le mouvement est dit périodique uniforme, lorsque le mobile parcourt certains espaces égaux dans des temps égaux, sans que la même condition soit remplie pour les parties de ces espaces. Un de ces espaces est le chemin parcouru pendant une période, et le temps employé à le parcourir est la durée de la période. Prenant la durée d'une période pour unité de temps et le chemin parcouru pendant cette unité de temps pour vitesse v, l'espace E, la vitesse v, et le temps t, qui exprime un nombre entier de durées de périodes, sont liés par les relations du no 6. 9. Vitesse dans le mouvement varié. Quoique la vitesse puisse ne pas être la même à deux instants successifs du mouvement, on peut la considérer comme constante pendant une portion quelconque infiniment petite de la durée du mouvement; alors, à l'instant considéré, la vitesse est égale à l'espace infiniment petit divisé par le temps infiniment petit employé à le parcourir, ou bien encore, à l'espace qui serait parcouru pendant l'unité de temps si, à partir de l'instant considéré, le mobile se mouvait avec une vitesse constante égale à celle qu'il a acquise à cet instant (5). Désignant par dE l'espace infiniment petit parcouru, et par dt le temps infiniment petit employé à le parcourir, la vitesse est donc dE v = dt' Dans la pratique il est impossible de prendre dE et dt infiniment petits, et par suite d'avoir v exactement; mais la valeur que l'on trouvera pour cette quantité se rapprochera d'autant plus de la vérité, que dE et de seront pris plus petits. Traçant une courbe ayant les valeurs de t pour abscisses et celles correspondantes de E pour ordonnées, la vitesse v après un temps test représentée en grandeur et en signe par la tangente trigonométrique de l'angle que forme avec l'axe des t la tangente menée à la courbe au point correspondant à t (Int. 1458, 1753). 10. Variation de la vitesse dans le mouvement varié. v étant la vitesse du mobile à la fin du temps t, après le temps t plus le temps infiniment petit ou instant dt, elle a augmenté ou diminué d'une quantité infiniment petite dv, et elle est devenue v + dv, les quantités v et dv ayant des signes quelconques. dv étant la variation de la vitesse pendant le temps dt, la variation moyenne est, pour l'unité de temps, pendant le temps dt, 1 dv dvx = Cette valeur, qui a le signe de dv, est la quantité dont varierait la vitesse pendant l'unité de temps qui succéderait à f, si pour chaque instant dt de cette unité l'augmentation de la vitesse était constante et égale à dv. dv que nous représenterons par j, s'appelle l'accélération de vitesse dt' pendant l'unité de temps, ou simplement l'accélération de vitesse à l'instant considéré, c'est-à-dire à l'instant qui succède au temps t. Les tangentes à une courbe ayant les valeurs de t pour abscisses et celles correspondantes de v pour ordonnées fournissent les valeurs de j, comme les tangentes à la courbe dont il est question au no 9 donnent celles de v (Int. 1459, 1753). 11. Lorsque la vitesse v et l'accélération j sont de même signe, c'està-dire à la fois toutes deux positives ou toutes deux négatives, le mouvement est accéléré, dans le sens vulgaire de ce mot; si, au contraire, ces deux quantités sont de signes différents, le mouvement est retardé. 12. Lorsque l'accélération j est constante, le mouvement est dit uniformément varié. 15. Expression de la vitesse dans le mouvement uniformément varié. j étant l'accélération de vitessse pendant chaque unité de temps, pendant une seconde par exemple, après le temps quelconque t secondes, elle devient jt, et il en résulte que le corps possédant au commencement du temps t une vitesse vo, après ce temps il possède la vitesse v = v。 + jt. L'accélération j est positive ou négative, selon qu'elle tend à augmenter ou à diminuer v. Ainsi l'accélération j est algébriquement égale au quotient de la division part de la variation v — vo de la vitesse pendant le temps t; elle a le même signe que v — v。. Quand le corps part du repos, on a v。 v=jt, d'où j= et i= ja alors le même signe que v. t v est ce qu'on appelle la vitesse initiale. Adoptant un sens de la ligne que suit le mobile comme positif et l'autre comme négatif, les signes de vo etj sont déterminés, et l'on a d'une manière générale : v = ±v。±jt. 14. Expression de l'espace parcouru dans le mouvement uniformément varié (Int. 1464). 1o Le mouvement étant uniformément accéléré, on a : E = v2t + {jt2. E espace parcouru pendant le temps t; temps pendant lequel on considère le mouvement; to vitesse initiale; j accélération de vitesse (10). 2° Quand le mouvement est uniformément retardé, la quantité jl2 3° Si au commencement du temps t le mobile avait déjà parcouru l'espace E。, après ce temps t l'espace total parcouru serait Ainsi, le mobile partant du repos, l'espace E parcouru pendant la première unité de temps du mouvement est moitié de la vitesse j acquise à la fin de cette unité, c'est-à-dire moitié de l'espace 2E que parcourrait le mobile pendant la deuxième unité de temps du mouvement, s'il se mouvait d'une manière uniforme avec la vitesse j acquise à la fin de la première unité. Remplaçant dans la formule (a) j par sa valeur en fonction de v (13), on a aussi : Ce qui montre que le mobile partant du repos, l'espace E parcouru pendant un temps quelconque t est encore égal à la moitié de la vitesse v multipliée par t, c'est-à-dire égal à la moitié de l'espace vt qui serait parcouru pendant un temps égal sous l'influence d'un mouvement uniforme de vitesse v. Remarque. Prenant une origine sur la ligne que suit le mobile, la distance à laquelle ce mobile se trouve du point fixe est, dans tous les cas que nous venons d'examiner, représentée par la formule générale 13. L'action continue d'une force constante sur un corps produit un mouvement uniformément varié (Int. 1477). Ainsi, lorsqu'un corps possède un mouvement uniforme, c'est qu'il n'est sollicité par aucune force, ou que les forces qui le sollicitent se font équilibre entre elles (Int. 1478). 16. Un corps quelconque, quelles que soient sa nature et la quantité de matière qui le compose, abandonné à lui-même, se meut ou tend à se mouvoir vers le centre de la terre. La cause inconnue qui produit cet effet se nomme pesanteur ou gravité (Int. 1465). 17. Le poids d'un corps est la résultante des actions de la pesanteur sur toutes les molécules de ce corps (Int. 1469). 18. Application des formules du mouvement uniformément varié au cas de la pesanteur. Le poids d'un corps étant, dans les limites de nos observations, une force à très-peu près constante qui agit d'une manière permanente sur le corps, il en résulte que si ce corps n'est soumis qu'à l'action de la pesanteur, il prendra dans le vide un mouvement uniformément accéléré (11). C'est en effet ce que vérifie l'expérience, qui a de plus fait voir que l'accélération de vitesse j, qu'on a l'habitude de représenter par g lorsqu'il s'agit de la pesanteur, était, à l'Observatoire de Paris, et en réduisant les observations au niveau de la mer, égale à 9,8088 par seconde (1). Lorsque le corps se meut dans l'air, il éprouve, pour déplacer ce gaz, une résistance qui diminue son mouvement. Mais lorsque la vitesse du corps n'est pas considérable et que sa section est faible par rapport à son poids, on peut supposer, dans les cas ordinaires de la chute des corps, qu'il se meut, sans erreur sensible, dans l'air comme dans le vide. Les formules du mouvement uniformément varié sont, pour le cas de la pesanteur : 1° 2o v = ± vo±gt, (13) (14) Faisant E = 0, et v。 = 0, cette dernière formule devient, en prenant seulement le signe + : ou, en remplaçant g par sa valeur en fonction de v, (a) Ce qui a déjà été établi pour un mouvement uniformément accéléré quelconque (14).. Ce qui fait voir que l'espace parcouru pendant la première seconde du mouvement par un corps qui tombe librement dans le vide, en partant du repos, est égal à 4,9044, moitié de la vitesse acquise après ce temps (Int. 1472). 19. Application de ces formules à la chute des corps (Int. 1473). La vitesse initiale v。 étant nulle, c'est-à-dire le corps partant du repos, et t étant la durée de la descente, la vitesse acquise après ce temps est (13) Supposant E = 0, h étant l'espace parcouru, c'est-à-dire la hauteur de laquelle le corps est tombé après un temps t, on a (4°, 14) : Quant à la vitesse qu'acquiert un corps en tombant d'une hauteur donnée h, remplaçant dans la formule (a) t par sa valeur (b), on a: Ces formules sont données pour le cas de la pesanteur; mais des formules des n° 13 et 14, et en opérant comme ci-dessus, on en conclurait de tout à fait semblables pour un mouvement uniformément varié quelconque; h serait seulement remplacée par E et g par j. Nous avons préféré, sans double emploi, donner celles relatives à la pesanteur, qui sont d'un usage plus fréquent dans la pratique (Int. 1473, tableau des valeurs de v et de ǹ correspondant à différentes valeurs du temps 1). 20. Le poids P d'un corps (17) divisé par g (18) est la masse de ce corps (Int. 1485). Р P et g variant dans le même rapport, la masse d'un corps est la mème dans tous les lieux. Comme la quantité de matière d'un même corps est aussi constante, quel que soit le lieu qu'il occupe, la masse donne donc une idée exacte de la quantité de matière, et peut lui servir de mesure (22 et 23). 21. Relations entre les forces, les vitesses et les masses des mobiles sollicités (Int. 1480 et suivants). On dit que deux forces sont égales, lorsqu'elles sont capables d'imprimer le même mouvement à un même mobile, et que les masses de deux mobiles sont égales, lorsque deux forces égales impriment le même mouvement à ces mobiles. De là on conclut : 1° Que, pour un même mobile, les forces sont proportionnelles auz accélérations de vitesse; ainsi l'on a (Int. 1481): |