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II. Société d'Enseignement Populaire

Positiviste.

La Société d'Enseignement Populaire Positiviste vient d'arrêter le plan de ses conférences pour l'hiver de 1906-1907. Nous le reproduisons ci-dessous et nous ferons connaître, dans notre prochain numéro, les jours, dates et lieu de ces conférences.

APPRÉCIATION GÉNÉRALE DU PROGRÈS HUMAIN

I

LES TEMPS PRÉHISTORIQUES

Par le Dr Cancalon.

II

HISTOIRE GÉNÉRALE DE LA CIVILISATION

Par M. Émile Corra.

III

LE FÉTICHISME

Par M. Ajam.

IV

LA THÉOCRATIE

Par M. Delbet.

V

LES LETTRES ET LES ARTS DANS L'ANTIQUITÉ
Par M. Jean Canora.

VI

LA SCIENCE DANS L'ANTIQUITÉ
Par M. Émile Corra.

VII

LA PHILOSOPHIE ANCIENNE
Par M. Émile Corra.

VIII

LA CIVILISATION MILITAIRE

Par M. Dubuisson.

IX

LE CATHOLICISME

Par M. C. Hillemand.

X

L'ISLAMISME ET LA CIVILISATION ARABE

Par M. Ahmed-Riza.

ΧΙ

LA FÉODALITÉ

Par M. Froument.

XII

LES LETTRES ET LES ARTS DANS LES TEMPS MODERNES

Par M. Jean Canora.

XIII

LA SCIENCE MODERNE

Par M. Émile Corra.

XIV

L'INDUSTRIE MODERNE
Par M. Fagnot.

XV

LA PHILOSOPHIE MODERNE

Par M. Émile Corra.

XVI

LA POLITIQUE MODERNE

Par M. Grimanelli.

XVII

L'AVENIR DE L'HUMANITÉ

Par M. Grimanelli.

PAGES LIBRES

La Géométrie non-Euclidienne, dans ses relations avec la conception infinitésimale

(Suite et fin)

Sa démonstration est en substance celle que représente notre figure 2; mais la nôtre ne fait aucune hypothèse sur la grandeur réelle du triangle. « Les seules principes que je suppose établis, dit-il, sont que la somme de tous les angles formés autour d'un point est égale à 360° ou à 4 angles droits, et que les angles opposés par le sommet sont égaux ». Puis désignant par «, ß, y, les angles intérieurs d'un triangle, et par a, b, c, leurs suppléments respectifs, il ajoute :

<< Prolongeons indéfiniment les côtés d'un triangle rectiligne A B C, ou, en d'autres termes, considérons un système de trois droites dans un plan, formant, par leurs intersections, le triangle A B C. On a, pour les trois sommets, les équations

d'où

2a +2α = 4 dr.,
2b284 dr.,

2c+2y=4 dr.,

a+B+7=6 dr. (a+b+c).

« Ces relations subsistant, de quelque manière que soient situés les points A, B, C, ou, ce qui revient au même, de quelque manière que les trois droites soient menées dans le plan, laissons immobiles la base et l'un des côtés et faisons passer le troisième côté par le sommet immobile, de

manière qu'il fasse avec la base le même angle que dans sa position primitive, ou, plus généralement, puisque cet angle est arbitraire, de manière qu'il tombe toujours dans l'intérieur de l'angle a. Nous aurons alors:

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En tant que capable d'une portée générale, cette démonstration ne plaît pas à Gauss (lettre du 17 mai 1831); mais Schumacher ne se désespère pas, et le 25 du même mois, il propose une nouvelle démonstration :

« Je vais vous importuner encore une fois, écrit-il à son ami, avec la théorie des parallèles.

« Prolongeons indéfiniment les côtés du triangle rectiligne, et prenons un rayon R assez grand (c'est moi qui met en italique les expressions caractéristiques) de la α b c conception infinitésimale pour que les rapports

RRR deviennent moindres qu'une quantité donnée quelconque. Avec ce rayon, décrivons du centre C le demi-cercle D E F G. Les côtés a, b, c, pouvant être considérés comme s'évanouissant par rapport à ce demi-cercle, et, par suite, les points A, B comme coïncidant avec C, ce demi-cercle sera la mesure des trois angles du triangle, dont la somme diffèrera alors de 180° aussi peu que l'on voudra ».

On voit, par ces curieuses discussions, que le théorême de Thales (Euclide, 32) ne devient rigoureux que lorsqu'on passe à la limite, comme dans l'analyse infinitésimale.

Schumacher le sent bien, car il conclut : « Cette démonstration prouve très simplement que dans tout triangle rectiligne fini (et c'est lui qui souligne ce mot), la somme des angles est égale à 180° ». Il est vrai qu'il ajoute aussitôt : << ou que la constante (et'c'est moi qui, cette fois, souligne) qui, si la géométrie d'Euclide n'était pas vraie, devrait être être ajoutée (je souligne, à nouveau) à la somme des angles pour compléter 180°, est moindre que toute grandeur donnée ».

Puis il termine par une affirmation inconsciente: «Comme on peut répéter la même démonstration pour un triangle quelconque, cette constante ne peut pas non plus dépendre de la grandeur du triangle ».

Ainsi, quand Schumacher « tente » de « démontrer, sans le secours des parallèles ni d'aucune théorie, la proposition que la somme des trois angles d'un triangle est égale à 180o » (lettre du 3 mai 1831) il réussit simplement à établir que :

1o.Sa proposition n'est vraie que dans un triangle infiniment petit, ou dont les côtés s'évanouissent (l'expression est, je crois, d'Euler), ou encore quand on passe à la limite (Newton);

2o dans un triangle fini, il faut ajouter une quantité infinitésimale aux deux droits normaux.

Sa méprise sur la constante provient de ce qu'il ne fait pas entrer en compte la loi d'annulation des espaces angulaires. Il y a un coefficient géométrique concret qu'on ne saurait éliminer dans nos spéculations les plus abstraites. Entre un triangle a très grand » - géométriquement ou relativement parlant -et un triangle fini relativement négligeable, il y a une différence géométrique qu'il faut explicitement énoncer.

Gauss remet bientôt (12 juillet 1831) les choses au point, et après lui avoir fourni une autre démonstration qui combine les deux précédents, il conclut : « Je commencerai par protester contre l'usage que vous faites d'une grandeur infinie, en la traitant comme une quantité déterminée (vollenteden), ce qui n'est jamais permis en mathématiques. L'infini n'est qu'une façon de parler, parce qu'il s'agit en réalité de limites, dont certains rapports peuvent approcher autant que l'on voudra, tandis que d'autres sont susceptibles de croître indéfiniment. Dans ce sens, la géométrie non-euclidienne ne renferme en elle rien de contradictoire, quoique, à première vue, beaucoup de ses résultats aient l'air de paradoxes. Ces contradictions apparentes doivent être regardées comme l'effet d'une illusion, due à l'habitude que nous avons prise de bonne heure de considérer la

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