und vertreten das ganze System als Repräsentanten derjenigen Kreise desselben, die ihre Centra im Durchmesser x haben. Auf sie oder auf eine beliebige gleichseitige Hyperbel beziehen sich die folgenden Entwickelungen, deren rein elementarer Gang zur Ausdehnung der Methode auf den imaginären Schnittwinkel (mit cos *> 1) führt. Die zugehörige Figur, die hier unterdrückt werden muss, wird nach den folgenden Angaben leicht zu bilden sein. Eine gleichseitige Hyperbel von der reellen Halbaxe

MA MB = r。

=

sei so gelegen, dass ihre Hauptaxe mit dem x, ihre Nebenaxe mit dem z eines rechtwinkligen Coordinatensystems vom Anfangspunkt M zusammen fällt. Wir betrachten zwei Punkte P, P' derselben mit den Coordinaten (x, z) und (x', ') respective und wollen die Fusspunkte der Perpendikel von P und P auf die Axen und z durch O und 0* respective bezeichnen und mit ihren Längen um diese Fusspunkte Kreise beschreiben, die als feste Kreise der Systeme von bestimmten Schnittwinkeln o, o* dienen sollen; so dass also R x' und R* = g' ist. Wir fällen ferner von Poder (2, 2) auf P O das Perpendikel vom Fusspunkt N und der Länge (g) und auf P' O* das Perpendikel vom Fusspunkt N* und der Länge (xx) und beschreiben um N respective N* mit diesen Längen die Kreise der Systeme r respective r*, sodass r = g - 2, p* = x2 - x ist. Da zugleich die respectiven Centraldistanzen c = x und c* = sind, so gelten für die cosinus der Schnittwinkel der Kreise R, r und R*, r* respective die definirenden Gleichungen

COS 6 =

=

Aus der Entstehung unserer gleichseitigen Hyperbel als Umlegung der Durchdringung von zwei mit den Scheiteln A und B als Spitzen und den Normalen zur Zeichnungsebene als Axen gebildeten gleichseitigen Rotationskegeln ergiebt sich aber für die Punkte P' derselben, dass die zugehörigen Kreise um 0 mit 0 P' durch die Scheitel A und B gehen oder dass x2 — z2 = r2 ist, d. h. x12 — x2 = 212 — 22

und für die Tangenten, dass der Fusspunkt des Perpendikels P' O zur Nebenaxe und der Fusspunkt T der Tangente P T in derselben mit den Scheiteln A und B rechte Winkel O A T, O B T bestimmen. Daraus folgt

'x'=M0:0 P'M0:0 A=0 A:0 T=0 P': 0T=cot a für a als den Winkel, den die Tangente der Hyperbel in P' mit der Axe der x oder mit P' O einschliesst.

α

sagt zugleich, dass a der Winkel ist, unter dem die Coordinate O P′ vom Centrum M aus erscheint; und man sieht, dass

=

COS σ* = cot a* MO* : 0* P'

die Fortdauer dieser geometrischen Definition auch für den imaginären Schnittwinkel ausspricht. Daher kann das Ergebniss in folgende Anschauung zusammengefasst werden, aus der die darstellend geometrischen Lösungen aller bezüglichen Probleme entspringen: Man zeichnet den Winkel α, dessen Cotangente dem gegebenen Cosinus gleich ist und bestimmt zum gegebenen Kreise vom Mittelpunkt O (oder O*) und Radius OP' R (oder O* P' = R*) mit diesem als der einen Kathete die an a anliegende andere Kathete 0 M (oder O* M) und durch Antragen von a in P' an OP' (oder O* P') an der Seite von M die Tangente der gleichseitigen Hyperbel, woraus man leicht ihre Scheitel A und B erhält (A B ist für reellen Schnittwinkel parallel dem Anfangs-Radius 0 P', für imaginären * normal zu demselben O* P'). Rotirt nun die so gefundene Hyperbel um ihre zur Bildebene normale Axe die Nebenaxe O M im Falle der reellen und die Hauptaxe O* M im Falle des imaginären Schnittwinkels, so ist das entstehende gleichseitige Rotations-Hyperboloid (ein einfaches im ersten, ein zweifaches im zweiten Falle) der Ort aller Punkte, deren Kreisbilder den gegebenenen Grundkreis unter dem Winkel vom vorgeschriebenen Cosinus schneiden. Verschiebt man die Bildebene parallel zu sich selbst, so giebt das einfache Hyperboloid stets reelle Grundkreise R und reelle Schnittwinkel o zwischen 0° für den unendlich fernen Querschnitt, (d. h. nicht darstellbar, so lang r。 nicht Null ist) und 90° für den diametralen; das zweifache für Ebenen, die ausserhalb der Strecke A B die Axe schneiden, reelle endliche Grundkreise mit Schnittwinkeln von

reellen endlichen aber Eins übersteigenden Cosinus, für die durch A oder B gehenden Null-Kreise mit Schnittwinkel von unendlich grossem reellem Cosinus; für die zwischenliegenden imaginäre Grundkreise, insbesondere für den Diametralschnitt den Scheitelkreis (als Symmetriekreis Stellvertreter des imaginären Directrixkreises des Orthogonalsystems) mit dem Schnittwinkel vom Cosinus Null, womit das im Durchmesser Schneiden des letztern als die anschauliche Vertretung des Orthogonal-Schneidens mit dem imaginären Diametralkreis sich ergiebt. Im Falle des imaginären Schnittwinkels giebt es immer ein reelles Paar von gleichen Kreisen, welche von den Kreisen des Systems berührt werden, deren Centra in demselben Durchmesser liegen: die Grundkreise der durch die Hyperbel gehenden gleichseitigen Rotationskegel für die Diametralebene werden sie zu den Scheiteln. Den reellen Grundkreis schneiden sie im Durchmesser, den Stellvertreter des imaginären, den die Bildebene aus der Scheitelberührungskugel des zweifachen Hyperboloids ausschneidet, orthogonal.

Für denselben Grundkreis erhält man mit verschiedenen Schnittwinkeln ein Büschel von parallelen, gleichseitigen Hyperboloiden vom Parameter cos a und darin die Quelle vieler Ergebnisse für projektivische Relationen unter diesen Parametern bei mehreren Grundkreisen. Der Uebergang zum ebenen und zum linearen System der Kreise (vergl. V, Art. 2 und 5) ist durch cos = cot a klar vorgezeichnet; er entspricht dem unendlich grossen R respective R*.

Ich unterlasse aber jede weitere Ausführung; ich wollte nur, weil ich an diesem Orte nicht auf die Methode zurückzukommen gedenke, die Interpretation des Schnittwinkels der Kreise geben, auf die ich bereits in Band 24, p. 223 unten hingewiesen, und die auch Art. 22 in „Geometr. Mittheilungen“ V in Bd. 25 voraussetzt.

Zu den Elementen der Geometrie der Lage. Die Ueberführung der allgemeinen- Strahlen und EbenenInvolutionen durch Schein- oder Schnitt-Bildung in symmetrische respective rechtwinklige ist ein Problem von pädagogischem und systematischem Werthe; ich will meine Behandlung desselben daher kurz mittheilen.

Eine Involution im Strahlen- oder Ebenen-Büschel ist bekanntlich symmetrisch, wenn ihre Doppelelemente reell und rechtwinklig zu einander sind, weil diese dann die halbirenden für jedes der Involution angehörige Paar von Elementen sind. In Folge dessen lassen die beiden Aufgaben: Durch eine hyperboloische Involution im Strahlenbüschel, d. h. eine solche mit reellen Doppelstrahlen g, h, ein symmetrisch-involutorisches Ebenenbüschel zu legen, und eine hyperbolische Ebeneninvolution durch einen bestimmten Punkt ihrer Scheitelkante nach einer symmetrischen Strahleninvolution zu schneiden-unendlich viele Lösungen zu.

Denn im ersten Falle drehen wir um den einen Doppelstrahl g der Involution eine Ebene und legen durch den andern Doppelstrahl h zu jeder ihrer Lagen die Normalebene, um in der Schnittlinie eines jeden solchen Paares eine Lage der gesuchten Scheitelkante der projicirenden symmetrischen EbenenInvolution zu erhalten. Diese Scheitelkanten erfüllen daher einen Kegel zweiter Ordnung K, und man sieht leicht, dass jede zu g oder h normale Ebene denselben in einem Kreise schneidet, für den die Schnittpunkte mit g und h Endpunkte eines Durchmessers sind.

Im zweiten Falle denken wir durch den in der Scheitelkante angenommenen Punkt in der einen Doppelebene G eine gerade g1 und bestimmen die Schnittlinie h, ihrer durch jenen Punkt gehenden Normalebene mit der zweiten Doppelebene H, um in der Ebene g, h, eine Ebene der geforderten Art zu erhalten. Die Gesammtheit solcher Ebenen bildet also einen Kegel zweiter Classe K durch Umhüllung; derselbe berührt auch die Ebenen G und H, nämlich in den Geraden, die zur Scheitelkante des Ebenenbüschels im gewählten Punkte rechtwinklig sind oder in den Scheiteln des Linienwinkels, durch den der Flächenwinkel (G, H) gemessen wird.

J. Steiner hat ohne Bezug zu den hier besprochenen Problemen, die ihm jedoch wohl nicht fremd waren, diese Kegel und die entsprechenden sphärischen Kegelschnitte in den Doppelsätzen 3, 4 und 5, 6 auf p. 219 f. seiner „Systemat. Entwicklung" aufgeführt.

Wenn sonach die hyperbolisch-involutorischen Büschel auf unendlich viele Arten durch Schnitt- oder Schein-Bildung in symmetrische überführbar sind, so dass diese Ueberführungen einer weiteren Bedingung unterworfen werden können, so ist die Ueberführung elliptisch-involutorischer Büschel in rechtwinklige ein bestimmtes Problem, weil man dafür zu sorgen hat, dass Schnitte oder Scheine von zwei Paaren der gegebenen Involution rechtwinklig werden. Sind z. B. x, x, und y.y, die bestimmenden Paare einer elliptischen Strahleninvolution, so erzeugen die Paare zu einander rechtwinkliger Ebenen durch z und einen Kegel zweiten Grades Kx, dessen Kreisschnittebenen zu x respective x, normal sind; und die Paare rechtwinkliger Ebenen durch y und y, einen solchen Kegel K,; die gemeinsamen Erzeugenden beider Kegel sind die Scheitelkanten der gesuchten rechtwinkligen Ebeneninvolutionen und alle aus andern Paaren, z, z1 etc. der Involution so erzeugten Kegel K, etc. enthalten sie. Zu ihrer bequemen Construction benutzt man an Stelle von y, y, das Rechtwinkelpaar der Involution r, r1; denn der Kegel K, geht dann in das Ebenenpaar über, welches die Rechtwinkelstrahlen mit der im Scheitel auf der Ebene des Büschels errichteten Normale bestimmen, d. h. in einer dieser Ebenen muss die gesuchte Scheitelkante der RechtwinkelInvolution liegen. Der Kegel K, oder vielmehr einer seiner Kreisschnitte bestimmt sie sofort ein zur Büschelebene ortho

gonal-symmetrisches Paar.

Sind dagegen X, X, ein beliebiges und R, R, das Rechtwinkelpaar einer elliptischen Ebeneninvolution, so bilden wir für einen Punkt der Scheitelkante die Kegel zweiten Grades K und K und bemerken, dass der Letztere in die beiden Normalen zur Scheitelkante in den Ebenen Rund R1 degenerirt, sodass die Tangentialebene durch diese Geraden an den Kegel K, die Ebenen rechtwinklig involutorischer Schnitte sein müssen. Man construirt sie also aus dem Normalschnitt des Ebenenbüschels durch den gewählten Punkt durch Aufklappung des Halbkreises über der Strecke zwischen den Spuren von X und X1 als Durchmesser um die Parallele zur Spur von R oder R1 bis zum rechtwinkligen Schnitt mit der Scheitelkante des Ebenenbüschels.

Man findet diese letzteren elementaren Constructionen neuestens in dem Werke von Prof. H. Schröter „Theorie der