Chez Mme Ve COURCIER, Impr.-Lib. pour les Mathématiques 1816. SUR L'ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE, Publiée par M. HACHETTE. Ille. Volume. N°. Ir. Janvier 1814. S. I. GÉOMÉTRIE. Par M. BRIANCHÓN, capitaine d'artillerie. Tulle, 23 mai 1813. On a déja fait connaître dans ce Recueil (tom. II, pag. 383-387), quelques-unes des conséquences auxquelles conduit le théorême donné par Pascal, sous le nom d'hexagone mystique. Voici de nouvelles remarques sur le même sujet. Ayant une courbe plane, rapportée à deux axes quelconques, inclinons toutes ses ordonnées d'une même quantité angulaire, en les faisant pivoter, chacune, sur son pied, et dans le même sens; et cherchons les propriétés de la nouvelle courbe que déter mine ce deuxième systême d'ordonnées. Pour cela, concevons qu'à tous les points du plan répondent des ordonnées qui suivent le même mouvement que celles de la courbe primitive, et désignons par A, B, C, D,.... ceux du premier systême, et par a, b, c, d,..... leurs homologues dans le deuxième, respectivement. Puisque, par hypothèse, les points A, B, C, D,..... ont décrit des arcs de cercle semblables Aa, Bb, Cc, Dd, il est évident, 1°. que deux droites homologues comme AB, ab, se croisent sur la ligne même des abscisses; en sorte que si A et B sont sur la courbe donnée, et qu'on les y fasse glisser l'un vers l'autre jusqu'à ce qu'ils se confondent en un seul point, les sécantes AB, ab, se changeront en deux tangentes correspondantes qui n'auront pas cessé de se couper sur l'axe des x; 2°. que si R est le point de concours des droites AB, CD, et r celui de leurs homologues ab, cd, R et r seront deux points correspondans; 3°. que ceux d'entre les points A, B, C, D,..... R,.... qui, dans le systême primordial, étaient situés sur une même droite, conserveront la même disposition rectiligne dans le systême déformé. Par exemple: soit pris, à volonté, six points A, B, C, D, E, F sur la première courbe, et, sur la deuxième, cherchons leurs homologues a,b,c,d,e,f; les deux hexagones ABCDEF, abcdef, seront tels que, si, pour l'un d'eux, les trois points de concours des côtés opposés sont placés en ligne droite, l'autre jouira de la même propriété c'est-à-dire que, si on a opéré sur une conique, la déformation indiquée n'en aura pas changé la nature, et les deux courbes seront du même ordre. Etant donnée une courbe, traçons-en une deuxième qui coupe en parties proportionnelles toutes les ordonnées de la première; et, nommant toujours A, B, C, D, ...... les points du premier systême, et a, b, c, d,..... leurs homologues dans le deuxième, respectivement, nous trouverons dans les deux courbes actuelles des propriétés analogues à celles de la construction précédente. 1o. Les deux droites correspondantes AB, ab, iront se rencontrer sur la ligne des abscisses; et, de même, si l'on appelle tangentes correspondantes celles qui sont menées par deux points homologues, A, a, l'une touchant la première courbe en A, l'autre touchant la deuxième en a, deux pareilles tangentes sc croiseront aussi sur l'axe des x; 2°. le point d'intersection de deux lignes quelconques du systême donné a pour homologue, dans le systême déformé, le point d'intersection des deux lignes correspondantes; 3°. si la courbe primitive est une conique, la déformée sera de même nature, ainsi qu'on le démontre par la considération des hexagones inscrits. Cette dernière propriété, même est indépendante du parallélisme, que, jusqu'ici, nous avons supposé aux ordonnées, lesquelles pourraient être concourantes et réunies en faisceau; c'est-à-dire que : « Si d'un « point, pris à volonté sur le plan d'une conique, on tire tant « de droites qu'on voudra qui aillent se terminer à la courbe, « et qu'on les divise toutes dans un même rapport, l'ensemble « des points de division formera une nouvelle conique semblable « à la première .»> On emploie souvent dans les arts graphiques les deux modes |