Zur Theorie der Flächen und partiellen Differential
gleichungen.
Von Dr. A. Enneper,
Docent an der Universität Göttingen.
Bei analytischen Untersuchungen über die Theorie der Flächen und Linien auf denselben ist es bekanntlich vortheilhaft, die orthogonalen Coordinaten eines Punktes in Function zweier Variabeln darzustellen, oder mit andern Worten, einen Punkt der Fläche als Durchschnitt zweier Curven anzusehen, deren jede zu einem besonderen System gehört. Bestimmt man die Lage eines Punktes durch die Richtung seiner Normale, so erhält man ein System von Formeln, welches sehr geeignet zu sein scheint, Flächen zu finden, welche durch eine partielle Differentialgleichung gegeben sind. Die Darstellung des Integrals einer solchen Gleichung in Form einer Relation zwischen den Coordinaten gelingt nur in wenigen Fällen, und würde, wegen voraussichtlicher Complication der gesuchten Relation, ziemlich zwecklos sein, während es oft ausführbar ist, dieses Integral durch ein System von drei Gleichungen zwischen den Coordinaten und zwei Variabeln zu ersetzen.
Seien x, y, z die orthogonalen Coordinaten eines Punktes einer Fläche; den Winkel, welchen die Normale mit ihrer Projection auf die Ebene der x und y bildet, bezeichne man durch, und durch den Winkel, welchen die bemerkte Projection der Normale mit der Achse der x einschliesst. Setzt man