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dontle raion

foit plus

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grand ou plus petit que le raïon du premier cercle, & qui s'entrecoupent en un point, comme F. Par le point donné, & par le point d'intersection F, foit menée la ligne doite AFG, je dis qu'elle eft perpendiculaire à la ligne donnée BC.

Car par la conftruction, les deux lignes AD, AE, font égales, puifqu'elles font raïons du même cercle; les deux lignes FD, FE, font égales, puifqu'elles font raïons de deux cercles égaux: Donc l'on a deux points, comme A, F, qui font chacun également éloignez des deux points D, E. Donc tous les points de la ligne AFG font chacun également éloignés des deux points D, E, puifque deux points déterminent la pofition d'une ligne. Donc cette ligne AFG, n'incline ni d'un côté ni d'autre. Ce que l'on appelle être perpendiculaire.

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D'un point comme A, donné dans la ligne BAC, élever une perpendiculaire.

Soient pris deux points

comme B, C, également éloignés du point A, des points B, C, pris pour centre foient décrits deux cercles égaux,

B.

qui fe coupent en un point, comme D, par lequel & par le point donné A, foit menée la ligne AD; je dis qu'elle eft perpendiculaire.

Car par la conftruction, le point A, eft égale ment éloigné des points B, C. Or le point D, point d'interfection des deux cercles, eft auffi également éloigné des mêmes points B, C, puifque les lignes BD, CD, font fuppofées raions de deux cercles égaux. On a donc deux points, fçavoir A, & D, chacun également éloigné des points B, C. Donc par ja définition la ligne A D, eft perpendiculaire.

TROISIEME PROPOSITION.

Divifer une ligne donnée, comme AB, en deux parties égales.

Des deux points A, B, extremités de la ligne donnée, pris pour centres, foient décrits deux cercles égaux qui fe coupent en deux A points, comme C, D. Par les deux points d'interfection foit me née la ligne CD, je dis qu'elle coupe la li

D

gne donnée au point E, en deux parties égales.

Car les deux cercles étant égaux, les quatre lignes CA, CB, DA, DB, qui en font raïons, doivent être égales, & par confequent les points C, D, également éloignés des points A, B: Donc tout autre point de la ligne CD, doit être également éloigné des points A, B: Donc le point E, lui-même est également éloigné des points A, B, extremités de la ligne, & par confequent la divife en deux parties égales.

On ne fçauroit s'imprimer trop fortement dans l'efprit, que ces trois Propofitions font principalement fondées fur la notion de la ligne droite, dont la pofition eft totalement déterminée par deux points.

QUATRIEME PROPOSITION.

D'un point donné comme A, hors d'une ligne comme BC, on ne peut faire tomber qu'une feule perpendiculaire fur la ligne donnée, & cette perpendiculaire eft plus courte que toute autre ligne menée du point A, & terminée par la ligne donnée BC. Soit la perpendiculaire

AD, & foit menée du point A, à quelque point comme E, de la ligne donnée, la ligne AE, je dis que la ligne AD, peut B feule être perpendiculaire, & qu'elle eft neceffairement plus courte que la ligne AE, qui eft oblique. Soit prolongée la per

D

pendiculaire AD, jufqu'en F, en forte que D F, foit égale à DA, & foient joints les points E, F, par la ligne FE.

Je dis, 1°. que la ligne AE, ne peut être perpendiculaire fur la ligne BC.

Soient fuppofés les deux points BC, ou deux autres à difcretion également éloignés du point A; le point D, par confequent fera à égale diftance des mêmes points BC, puifque la ligne AD, eft fuppofée perpendiculaire, il faudroit donc, pour que ligne AE, fût auffi perpendiculaire, que fon point A, étant également éloigné des points B, C, fon point E, fût auffi à égale distance des points B, C;

la

ce qui eft manifeftement impoffible, puifqu'il eft entre B & D, & que le point D, a été fuppofé luimême également éloigné des points B, C.

la

Je dis, 2°. que la ligne AD, eft plus courte que ligne AE. Car puifque la ligne AD, eft perpen diculaire fur B C, la ligne BD, fera auffi perpendiculaire fur la ligne AF. Or par la conftruction le point D, eft également éloigné des points A, & F. Donc le point E, point de la perpendiculaire, eft auffi à égale diftance des mêmes points A, F. C'eftà-dire que la ligne AE, eft égale à la ligne E F. Or les lignes AE, EF, prifes enfemble, font plus longues que AD, D F, prifes enfemble, puisque AF, eft une ligne droite, c'eft-à-dire, la plus courte mefure entre les points A, F, donc AD, moitié de AF, eft plus courte que AE, moitié de AEF Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE, ou confequence évidente de cette Propofition.

Il s'enfuit de cette Propofition que deux lignes droites, perpendiculaires fur une même ligne, ne peuvent jamais fe rencontrer, quoique prolongées à l'infini; car fi elles fe rencontroient en un point, il feroit vrai de dire que de ce point de rencontre partiroient deux perpendiculaires à une même ligne. Ce que nous venons de démontrer impoffible dans la precedente Propofition.

CINQUIE ME PROPOSITION.

Les lignes obliques, partant du même point, font d'autant plus longues qu'elles font plus éloignées de la perpendiculaire.

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Soit la ligne AD, perpen

diculaire fur la ligne BC.

A

perpen

E

D

F

Soient les obliques AE, AB, menées du point A, je dis que la ligne AB, eft plus longue que la ligne AE. B Soit prolongée A D, jusqu'en F, en forte que DF, foit égale à DA, & foient menées les lignes EF, BF. Puifque AD, eft diculaire fur BC, il faut que BD, foit perpendicu laire fur AF; eela étant, comme le point D, eft fuppofé également éloigné des points A, F, tout autre point de la perpendiculaire BD, fera à égale distance des mêmes points A, F; donc B A est égale à BF, comme EA, eft égale à EF. Or ABF, contenant AEF, eft plus grand que AEF, donc AB, moitié de ABF, eft plus grande que AE, moitié de AEF.

SIXIE ME PROPOSITION.

De trois chofes qu'on peut comparer, fçavoir la perpendiculaire, l'oblique, & l'éloignement de perpendicule; fi deux font égales, il s'enfuit que la troifiéme l'eft auffi.

Premier Cas. Soit la perpendiculaire AD, égale à elle-même ; BD, éloignement de perpendicule égale à DC, autre éloignement de perpendicule; je dis que l'oblique AB, eft égale à l'oblique AC. Car la ligne AD,

B

A

D

étant perpendiculaire fur la ligne BC, & le point D,

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