donne cette soustraction. On calculera les constantes A et B, puis le nombre x, qui, ajouté à M', donnera enfin la valeur cherchée y1.

Quant au mouvement horaire m, pour l'heure qui précède 1,

pour la variation de m, dans l'heure qui suit t ; m'=m+ dm. Quelle est la longit. lunaire le 2 sept. 1830, à t=10" 46′ 53′′ t. vr. à Paris. On tire de la Conn. des Tems:

Enfin, dm = +1′′,67, en sorte que le mouvement dans l'heure qui suit t

Si les différ. secondes de la série sont constantes, on a encore les équ. (6) et (7), mais alors on n'emploie que trois termes de la série M'M"M", et B est la moitié de la diff. seconde.

Quoiqu'on ait employé partout les log., on peut se passer de

ce secours; mais les opérations sont plus longues. Ainsi, dans le dernier ex., on trouve que t=10",7814, t = 01,8984, (t)=0,807; d'où l'on tire, comme ci-dessus,

•,8g84 A =6° 26′ 56", o,8oy B = 36,86.

On fera bien de lire la méthode d'interpolation de M. Bessel, dans l'Astr. nachr. de M. Schumacher, t. VII, page 1; dans les Éphém. de Berlin, 1831, et dans le Philos. Magaz., nov. 1829.

82. Notre théorie s'applique à toutes les interpolations lorsque les données procèdent à 12h d'intervalle. En y changeant 12 en 3h, on s'en servirait pour les distances lunaires, qui sont de 3 eu 3h dans la Conn. des Tems (no 58). Enfin, quand l'intervalle est de 24", on remplace dans nos équ. 12 par 24. On voit donc que ces formules peuvent s'appliquer aux lieux du Soleil, lorsqu'on exige plus de précision qu'on n'en obtient par le procédé du no 16, qui suppose que les diff. 1res sont constantes; mais il faut alors que les lieux donnés soient approchés aux 10"s de seconde. Au reste, la marche du Soleil n'est pas assez inégale pour que cette précision puisse présenter un grand intérêt, et l'on s'en tient le plus souvent à ce qu'on a dit no 16.

83. Observez que l'équ. (2) revient à la suivante,

en prenant pour 42 la demi-somme des différ. secondes, ou ce

que nous avons désigné par 2B. Or, 4'. serait la correction

12

de M', si l'on négligeait les diff. 2o; le dernier terme est donc la partie de cette correction qui est due à ces diff. M. Mathieu a construit une table des valeurs de ce dernier terme. Ainsi, on suppose la marche lunaire uniforme pendant 12", et l'on corrige le résultat ainsi obtenu, en prenant à vuc la petite quantité qui est donnée dans cette table; on la trouve à la la Conn. des Tems. En voici l'usage:

La i

p. 164 de

re colonne contient les temps écoulés t de 10' en 10'; les

unités de minutes des différ. 2es, et les secondes, de 10 en 10, sont indiquées en tête des autres colonnes, sur la 1 ligne horizontale. On prend, dans l'intérieur du tableau, les nombres correspondans à la ligne et à la colonne qui désignent l'heure proposée et la diff. 2° trouvée. La table est à double entrée, et l'on opère comme p. 63. On y lit, par ex. :

Ainsi, quand la moyenne entre les deux différ. 2o est

2' 50", et que l'heure proposée est 6' 10', on trouve dans la table, d'une part, 15",0, qui répond à 2'; d'autre part, 6",2, qui provient de 50": en tout +21",2. C'est la correction qu'il faut faire au nombre obtenu, lorsqu'on a supposé la marche lunaire uniforme, et qu'on a réparti la différ. 1 proportionnellement au temps écoulé 6 10't. Cette correction se prend d'ailleurs en signe contraire à la diff. 2o.

Quand l'heure proposée tombe entre les nombres de la ire colonne, on interpole à la manière propre aux tables à double entrée. (V. p. 63.)

Ainsi, dans l'ex. du 13 mai 1831, p. 100, on a

t = 9h 17′ 18′′, A' = 7° 52′ 46′′, A = 72°31′ 8′′
+ 6.5.56,2

La marche uniforme donne.
Les diff. 2es ont +1′23′′ pour moy. La corr. est pour 1'.

pour 23".

Asc. dr. demandée..... =

- 5,2

2,0

78.36.57,0.

84. Lorsqu'on demandera les lieux lunaires à une heure vraie évaluée sous un autre méridien que celui de Paris, on cherchera d'abord l'heure contemporaine de cette ville, d'après la différ. des longitudes des lieux, puis on fera le calcul pour

cette dernière heure. Ainsi, pour avoir le lieu de la Lune à 743′ de temps vrai à Berlin, comme cette ville est à 44′8′′ à l'orient de Paris, il est 6h 58′ 52" à Paris, et c'est l'heure pour laquelle il faut faire l'opération.

Et si l'heure proposée était en temps moyen ou sidéral, il faudrait d'abord chercher l'heure vraie correspondante. (V. n° 111.)

85. Il arrive quelquefois qu'on connaît y, et M', ainsi que les diff. A', ',... et qu'on demande t. Par ex., on cherche à quelle heure t la Lune avait une asc. dr. donnée. Tout est alors connu dans les équ. (3, 6), excepté le temps t, et il faut tirer la valeur de cette heure. On doit donc résoudre une équ. de degré supérieur. Appliquons ceci au cas où les diff. 2o sont regardées comme constantes, et où l'on a l'équ. (6), qui est du 2o degré en t. Comme B est fort petit, on en tire

Négligeant d'abord le petit terme B (t), on a cette ir ap

proximation,

t

12h

==

A

qui revient à supposer la marche

uniforme pendant 12h; mais on corrige ce résultat, en reprenant l'équ., et substituant cette valeur pourt dans le dénominateur, ce qui conduit à un nombre plus approché, lequel suffit le plus souvent. D'ailleurs, on peut approcher davantage, en recommençant le calcul avec cette nouvelle valeur det.

A quelle heure vraie de Paris, le 2 sept. 1830, la longit. lunaire est-elle 11'9° 53′ 21′′,78? Ce problème, inverse de celui de la p. 103, donne lieu à un calcul qui commence de même, et l'on a

On retrouve à fort peu près le nombre t de la page 103; et on l'aurait exactement, en recommençant le calcul avec la valeur trouvée.

86. Nous pouvons maintenant calculer les instans des phases lunaires, qu'on trouve indiquées au bas des pages de chaque mois. La néoménie, le premier quartier, la pleine Lune et le dernier quartier arrivent lorsque la longit. de la Lune, moins celle du Soleil, est o°, 90°, 180° ou 270°. Désignons par i celui de ces quatre nombres qui se rapporte à la phase qu'on veut annoncer; par C et les longit. des deux astres au midi ou minuit qui précède, instant où la diff. des longit. est un peu moindre que i; enfin, par m et m' les mouvemens horaires en longitude, donnés par la Conn. des Tems.

Dans le temps x, les accroissemens de longit. des deux astres sont mr et m'x; en sorte que ces longit. sont devenues C+mx, O+ m'x. Pour la phase cherchée, la différ. de ces quantités doit égaler i, savoir,

En faisant i=0, x est l'heure de la néoménie; i = 180° donne celle de la pleine Lune; i = 90°, celle du 1er quartier; enfin, i 270°, celle du dernier quartier. Cette heure x