Telles sont les valeurs particulières de e, e', e"... x, dans le cas supposé de S(ae) o, savoir, ¿ = až —m, i'′ = d' } — m, i" — a′′% — m, etc. = Mais si cette condition n'a pas lieu, on retombe sur les équ. (A) et (B), qui, en y introduisant les valeurs (C), deviennent Or, il est aisé de voir que les erreurs dépendent de l'une d'entre elles, qui, lorsqu'elle est donnée, détermine toutes les S (ae) eautres; car on tire S(a2) = et substituant a é'=i' += (e−1), e"=i"+ — (e — 1), etc. a a Ainsi la connaissance d'une seule e de ces erreurs entraînerait celle des autres, et elles ne seraient plus indépendantes, comme cela arrivait dans le cas où l'on faisait S (ae) = o. On voit donc que cette condition est la seule qui convienne, lorsque les erreurs sont indépendantes les unes des autres. Mais lorsqu'on considère l'équ. (B), qui est entre les constantes S (am), S (a), et les variables x et S (ae), sans avoir égard à son origine, elle existe entre deux variables dont l'une est donnée par l'autre, qui peut recevoir toute valeur arbitraire. Si l'on attribue à S(ae) toutes les grandeurs possibles, x prendra des valeurs correspondantes : et parmi ces quantités, il ne faut conserver que celle qui vient de S (ae) =o, parce que c'est la seule qui laisse x indépendante des erreurs d'observation. Et puisque cette condition est celle des moindres carrés, ce qui vient d'être dit démontre la méthode dont il s'agit. Ainsi dans tout système d'observations destinées à faire con naitre x, si les erreurs sont isolées et fortuites, tantôt par excès, tantôt par défaut, sans qu'aucune partie constante les affecte, sans dépendance mutuelle, il faudra nécessairement qu'on ait S (ae) =0, c'est-à-dire que x sera donné par la méthode des moindres carrés, parce qu'elle est la seule qui puisse remplir les conditions imposées. 295. Supposons qu'on ait a=1, savoir, e=x ·m, e = x - m'; e" = x — m", etc., ... =0; la règle ci-dessus se réduit à S (§) = 0, ou e′ + e′′ +é ainsi les sommes des erreurs par excès et par défaut sont égales. n étant le nombre des observations. On voit que le cas des moyennes arithmétiques est compris dans celui que nous avons analysé. Si l'on veut que les erreurs soient indépendantes les unes des autres, il faut que leur somme soit nulle, S() = 0; car sans cela, on aurait e' = ¿' + (e− s), e′′ = £′′ -+- (e—t), e"="+(e — £), Les erreurs comprendraient toutes une partie constante, qui les augmenterait d'une même quantité. Ce que nous avons dit d'une seule inconnue x, peut se dire de même de plusieurs, et il est aisé de généraliser la démonstration précédente, qui est due à M. Ivory. Nous ne pouvons appliquer nos méthodes à quelque exemple astronomique; le grand nombre des équ. de condition, celui des inconnues qui s'y trouvent engagées, rendent les calculs si volumineux, qu'ils ne sauraient trouver place ici. Mais nous pouvons prendre pour exemple la longueur du pendule à secondes. Il est démontré, par la théorie, que cette longueur 7 a pour valeur générale dans le lieu dont la latitude est x, r et y étant deux constantes inconnues qu'il faut trouver par observation. Supposons qu'on ait mesuré exactement les longueurs l du pendule en des lieux dont la latitude est à deux expériences suffiront, puisqu'en substituant ici les nombres correspondans qu'on aura obtenus, on aura deux équ. en xety, qui feront connaître ces quantités. Mais comme les observations les plus attentives sont sujettes à de petites erreurs, on multiplie les épreuves, et au lieu de deux équ., on en a une multitude. Pour abréger, nous n'en prendrons que six. Ainsi sous 6 latitudes connues, on a mesuré la longueur du pendule à secondes: pour chaque station, I et à sont connus, sauf les petites erreurs des observations. En les substituant dans l'équ. o=x+y sin'a-1, le 2o membre ne sera pas rigoureusement nul, comme il devrait l'être; ainsi il serae,ou e', ou e"... On trouvera donc 6 équ. de condition. En prenant les nombres consignés dans le Mémoire de M. Mathieu, Conn. des Tems de 1812, ces équ. sont Pour employer la méthode des moindres carrés, il faut multiplier ces six équ. par le coefficient de x dans chacune, ajouter et égaler à zéro; ce coefficient est un, ainsi il faut simplement faire leur somme; d'où 6x+y.3m,0657375-5m,c614793=0. De même multiplions chaque équ. par le coefficient de y, ajoutons, etc., nous avons = x.3m,0657375+y.1m,5933894-3m,0461977 0. L'élimination de x et de y entre ces équ. conduit à x=0,9908755, y=0,0052942, log y=3.7238509. Ainsi on a en général pour la longueur du pendule à secondes dans le lieu dont la latitude est a, 7=0m, 9908755+ƒ sin3λ, formule qui fait connaître cette longueur 7 dans un pays quelconque, sans qu'il soit désormais nécessaire de consulter l'expérience. Nous n'avons pas appliqué ici la méthode Mayer, non-seulement parce qu'elle est très facile à employer, mais encore parce que l'exemple ne s'en accommoderait pas bien, attendu que x et y ont mêmes signes dans les équ. de condition, et que les coefficiens de chaque inconnue y sont les mêmes ou peu différens. Détermination de l'obliquité de l'écliptique et des passages du Soleil aux solstices et aux équinoxes. 296. Nous avons indiqué, no 77, comment le calcul fait connaître l'obliquité a de l'écliptique; mais les élémens de cette opération sont tirés de l'observation. Voyons quels sont les procédés qui conduisent à cette détermination. Soit AB l'équateur (fig. 43), AS l'écliptique, A le point vernal V, l'angle A== l'obliquité apparente qu'on veut trouver par observation. S est le Soleil à un instant quelconque, AB son asc. dr. = AR, et SB sa déclin. =D. Si ces deux arcs étaient connus, le triangle sphérique rectangle ASB donnerait (équ. s, p. 5) tang D= sin AR tang ∞, d'où l'on pourrait tirer la valeur de . (1) Or, en observant, d'un lieu quelconque, l'heure du passage du Soleil au méridien et sa hauteur, on sait exprimer cette heure en temps sidéral (no 109), qui est l'asc. dr. AR en temps (n° 8). Les équ. (1) du no 144 font connaître la déclin. apparente D, d'après la hauteur h, ou la dist. zénith. z, au méridien : D=1-z=1— (90°-h). Ainsi le problème est résolu. 297. Mais on voit que ce procédé est affecté de l'erreur sur le temps absolu indiqué par la pendule. Pour éviter cette erreur, on observe l'instant où une étoile E passe au méridien, le même jour où l'on a observé le passage du Soleil S. La durée sidérale a qui s'écoule entre ces deux passages est l'arc CB d'équateur, arc qu'on peut regarder comme exactement connu, attendu que la pendule ne doit pas sensiblement varier dans l'intervalle; on peut d'ailleurs tenir compte par le calcul de ses petites variations (no 102). Ajoutant donc l'asc. dr. apparente de l'étoile, ou l'arc AC à l'arc CB d'équateur qu'on vient de trouver, on obtient l'arc ABAR. Il faut au contraire retrancher a de l'asc. dr. de l'étoile, quand elle passe au méridien après le Soleil: ainsi ROAR±a, + quand l'étoile passe la ire, dans l'autre cas. Quant à la hauteur méridienne du Soleil, on pourra faire des observations réitérées, tant avant qu'après le passage, et opérer comme il a été expliqué no 145. Par ex., le 9 juin 1818, on a obtenu, au mural de l'Observatoire royal de Paris, la dist. zénith, du centre du Soleil, correction faite de la collimation et de réfr. parall. ; on l'a trouvée de. La latitude de la salle est... z = 25°55′ 0′′77 5. 7.43,57. La Conn. des Tems donne une diff. de — 1",32 en déclin, et de en asc. dr. ; ces erreurs viennent de l'observation, etc. Ensuite, on a 3,17 - 6,93 23.27.46,63. |