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en

triangle.

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8

2

Moitié Longueur sur le plan, Produit de ce produit

formant de sa base. jde sa hauteur. lignes carrées. la surface

du triangle.

Ci-contre.
81. 2
31. 6

14

76
5 5

2
6 60

3
8 5
3

33 15
9

16
5 5
2

15 95

9 5

9

10 45
85
3 5

14
9
3 I
27 90

13
4 6 41 40
9

20

70
3 3
27

13 53
8
3 3

13 53
34
6

93
4 5

4

50 4 2.

82 5

12 4 9

6

4 20 3

3

50

1
4
15 36

68

52
6
3. 3

22
77

39
5

8
70

35

4 5

7 56

78

14
2
3

22 40 II
7

20 5

75 6 2

37 8

1

82 Total.... 225 30

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Le polygone contient donc 225 lignes carrées plus 30 centièmes ou 3 dixièmes de ligne carrée.

Examinons maintenant si la superficie totale des triangles extérieurs formera le complément de celle 1 du rectangle. En opérant de même pour les triangles extérieurs, dont (afin de les distinguer des autres), l'ordre est indiqué par la suite naturelle des nombres, on trouve pour résultat 542 lignes carrées plus 70 centièmes ou 7 dixièmes. Cette dernière quantité, formant l'ensemble de la surperficie des triangles

extérieurs étant ajoutée à 225 lignes carrées ; dixièmes ( qu'on vient de trouver pour la superficie du polygone obtenue par le calcul des triangles tracés dans l'intérieur de ce polygone), donne au total 768 lignes carrées, quantité égale à la surface du rectangle.

Le calcul en millimètres se faisant absolument de la même manière, on trouvera toujours pour les triangles intérieurs du même polygone (fig. 2.) 1146 millimètres carrés 5 dixièmes , et pour les triangles extérieurs 1925 millimètres carrés 5 dixièmes, ce qui présente un total de 3072 millimètres carrés, égal à la surface du rectangle dans lequel est inscrit le polygong; rectangle qui a, sur le papier, 64 millimètres de base ,sur 48 millimètres de hauteur.

. Procédé, par les carreaux.

Le second moyen, qui paroît mener d'une manière plus simple au même but, consiste à opérer à l'aide des carreaux.

Nous supposons le plan du bois dont il s'agit, (fig. 3.), toujours inscrit dans un rectangle divisé en carreaux : ces carreaux peuvent avoir servi à la réduction du plan, et se trouver ainsi tracés à l'avance.

On aura soin, comme dans les plans du cadastre, et ainsi qu'il est expliqué dans le supplément à l'instruction du 24 messidor an XII) de designer ces carreaux par des numéros et par des lettres, pour que chacun d'eux puisse , au besoin, être nommé et examiné séparément (1).

(1) Le supplément dont il s'agit est du 15 thermidor an XIII, et se tronve page 76 et suivantes du Mémorial de l'an XIV. L'instruetion du 24 messidor an XII, se trouve page 283 et suivantes du Mémorial de l'an XII.

Mais comme des carreaux de millimètre seroient trop petits pour que leur désignation, par

lettres et par numéros, pút avoir lieu commodément et sans confusion; il paroit convenable de ne prendre les carreaux de millimètre que de deux en deux (voyez figure 4), ce qui , pour chacun des carreaux ainsi désignés, donne quatre millimètres carrés (1), lesquels ne formeni encore qu'environ trois quarts d'une ligne carrée.

La manière de compter ces carreaux et d'en évaluer les fractions est simple, et cousiste à opérer comme il suit :

On suppose chacun de ces carreaux divisés en dis parties, dont un certain nombre se trouvera en dedans du polygone, et le surplus au dehors; en ob servant que ces deux quantités réunies doivent toujours former dix parties pour chaque carreau.

Prenant donc les carreaux par tranches horizon- . tales, dont chacune a sa lettre particulière, nous dirons, la première de ces tranches, cottée A, (fig. 3.), contient 32 carreaux numérotés de 1 à 32, et ne comprend aucune partie du polygone; ces 32 carreaux seront portés à la colonne des carreaux extérieurs, comme on le voit dans le tableau ci-après.

Passant ensuite à la seconde tranche horizontale, cottée B, on voit que les carreaux, de 1 à ir, ne comprennent aucune partie du polygone, il faut les por

(1) Ces 4 millimètres carrés ne valent pas une ligne carrée; en effet, le millimètre n'ayant en longueur que 0,4433 lignes, et 2 millimètres n'offrant dès lors qu'une longueur de 0,8866 lignes , les 4 millimètres carrés ne donnent en superficie que 0,786,045 de ligne carrée, revenant à un peu plus de trois quarts de ligne carrée.

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ter encore à la colonne des carreaux extérieurs; le carreau 12 se trouvant entamé d'une petite portion du polygone , qu'on évalue à i dixième de carreau, il faudra porter neuf dixièmes de carreau à la colonne extérieure et i dixième à celle intérieure, ce qui formera les 10 dixièmes ou le carreau entier.

On opérera de même et successivement pour chacune des tranches horizontales , jusqu'à la dernière cottée Z.

Récapitulant ensuite le nombre de carreaux et fractions de carreaux intérieurs , et le nombre de car. reaux et fractions de carreaux extérieurs, on trouvera pour les premiers 225 carreaux 3 dixièmes, et pour les autres 542 carreaux et 7 dixièmes ; ce qui fait au total 768 carreaux d'une ligne carrée chacun, ef conséquemment la surface entière du rectangle.

Voici le tableau indicatif de la marche de ces calculs et de leur résultat.

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